Balken und Stabtragwerke
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Balken und Stabtragwerke
3.5 Elasto-Plastizität für Balken und Stabtragwerke LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN Voraussetzungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.1 Grenzmomente Spannung Dehnung LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN Grenzmomente M M el : Elastischer Bereich M σF W M M el : An der Fließgrenze M el σF W M el M M pl : Elastisches Grenzmoment Elastisch-plastischer Bereich σF M M pl : M el σ F W und F Vollplastischer Zustand σF LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK im Gesamtquerschnitt, neutrale Faser verschiebt sich. UNIVERSITÄT SIEGEN Grenzmomente Ao F Au F 0 N 0 Ao Au A / 2 M pl A σ F ( zo zu ) σ F W pl 2 Plastisches Grenzmoment zo Abstand des Schwerpunktes der oberen Teilfläche von der Nulllinie zu Abstand des Schwerpunktes der unteren Teilfläche von der Nulllinie W pl LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK A ( zo zu ) : plastisches Widerstandsmoment 2 UNIVERSITÄT SIEGEN Grenzmomente Formfaktor (plastische Reserve): pl M pl M el W pl W Bsp.: Rechteckquerschnitt A bh W pl ( zo zu ) 2 4 2 bh W 6 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 2 3 pl 1.5 2 UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung Rechteckquerschnitt: Teilplastischer Bereich F h/2 h/2 F F zF zF F b Dehnung LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Spannung UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung 1.) Elastischer Bereich M EI κ M κ M el κ el M el EI κ el Bestimmung von M el EI κ el κ pl : (elastischer Grenzfall) ε κz Daraus folgt: M el EI κ el κ el M pl EI κ pl κ pl LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Lineare Beziehung κ κ el z κ pl M pl M el F zF F h/2 κ el pl κ el UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung 2.) Teilplastischer Bereich 2 h / 2 zF 1 M 2 F b(h / 2 z F ) z F F bz F z F 2 3 2 bh 2 F 6 3 2 z F2 2 2 h F E κ el h / 2 3 2 z F2 M el 2 2 h F h/ 2 F F E κ zF zF zF (elastischer Grenzfall) F κ h κ el 2 z F LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK (teilplastisch) F z F 1 κ el h 2 κ UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung M 1 3 1 2 M el 2 3(κ/κ el ) Daraus folgt: M M el 1.5 1 1 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK κ κ el UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone Einfeldträger unter Einzellast l/2 F l/2 x Momentenlinie: Dimensionslose Koordinaten: Elastischer Grenzzustand: LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK x Fl 1 2 l , x 0 M ( x) 4 1 2 x , x 0 l x zF ; 2 l h bh 2 M el σ F W σ F 6 UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone Fel l bei 0 M el 4 2 bh 2 Fel F 3 l Traglastzustand: M pl M pl bh 2 σ F W pl σ F 4 Fpl l 4 bh 2 1.5 Fel FT F l Teilplastischer Zustand: Fel F FT LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich zF: h M h zF 3 2 2 M el 2 Bei Traglast: FT 1.5Fel M F 3 2 3 2 (1 2 ) M el Fel 2 2 6 Parabelförmige Grenzkurve Ausdehnung der plastischen Zone: 1 LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1 l bzw. x 6 6 UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone F Fel Fel F FT F FT LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK x, z, zF Plastische Zone l /6 UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.4 Biegelinie 1.) Elastischer Bereich M w( x) EI M EI κ EI w Mit M ( x) M el m( x) (| m( x) | 1) bh bh ; I M el F 6 12 2 3 2 F w( x) m( x ) Eh LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN 3.5.4 Biegelinie 2.) Teilplastischer Bereich M 3 1 1 2 M el 2 3(κ/κ el ) Mit 3 1 m( x) 1 2 2 3(κ/κ el ) 2 F κ el ; κ w Eh 2 F 1 w( x) Eh 3 2 m( x ) LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN