LFB: Kurvenanpassung mit EXCEL-Funktionen - Carl-Engler

LFB: Kurvenanpassung mit EXCEL-Funktionen
Kurvenanpassung mit EXCEL-Funktionen
1 Glättung, Interpolation und Approximation
Drei typische Verfahren, den Verlauf einer Datenreihe zu beschreiben bzw. zu beeinflussen
sind:
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
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Glättung
Jeder y-Wert eines Datenpunktes wird ersetzt durch einen Wert, der aus den yWerten der Nachbarn errechnet wurde.
Der Einsatz eignet sich bei verrauschten Signalen.
Interpolation
Zwischen zwei benachbarte Punkte wird eine Verbindungslinie erstellt.
Am einfachsten ist eine Verbindung durch Geraden (Fieberkurve).
Der Einsatz eignet sich bei guter Genauigkeit der Datenpunkte.
Approximation (Anpassung, Ausgleich, Fit, Regression)
Durch das Datenfeld wird eine einfache, glatte Kurve gelegt, die zwischen den
Punkten verläuft.
Der Einsatz eignet sich, wenn der zu Grunde liegende Funktionstyp bekannt ist,
oder wenn eine einfache, zusammenhängende Funktionsgleichung gewünscht ist.
Die Trendlinie der Tabellenkalkulation stellt in der Regel eine Approximation dar.
Die Koeffizienten der Gleichung lassen sich nicht einfach als Rechenwerte in die Tabelle
kopieren. Beim Abschreiben muss unbedingt auf eine ausreichende Anzahl signifikanter
Stellen geachtet werden, um Rundungsfehler zu reduzieren. Das Format der Anzeige lässt
sich über „Trendlinienbeschreibung formatieren“ entsprechend anpassen. Bei einer
Änderung der Daten müssen die Koeffizienten jedes Mal neu abgeschrieben werden. Nur
für die Lineare Regression gibt es entsprechende Tabellenformeln.
2 Lineare Regression
Die Lineare Regression (Ausgleichsgerade, Linearer Fit) hat die Funktionsgleichung
y(x)=m*x+b (in der Norm y(x)=b*x+a). Es werden die Koeffizienten m und b bestimmt.
Die entsprechenden Tabellenformeln für die Berechnung der Größen sind:
=STEIGUNG(ywerte,xwerte)
=ACHSENABSCHNITT(ywerte,xwerte)
=BESTIMMTHEITSMASS(ywerte,xwerte)
=KORREL(ywerte,xwerte)
Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient sind Maße für die Streuung der Datenpunkte
um die Gerade.
3 Potenzfunktion
Die Potenzfunktion hat die Funktionsgleichung y(x)=A*xB. Es werden die Koeffizienten A und B
bestimmt.
Die Anpassung kann nur für y-Werte ohne Vorzeichenwechsel berechnet werden.
Da auch negative Exponenten möglich sind, eignet sich diese Funktion besonders für
umgekehrt proportionale Abhängigkeiten.
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LFB: Kurvenanpassung mit EXCEL-Funktionen
4 Polynomfunktion
Die Polynomfunktion hat die Funktionsgleichung y(x)=an*xn + ... +a2*x2 + a1*x + a0.
Es sind Polynome bis zum Grad (hier fälschlich Reihenfolge genannt) n=6 möglich.
Der Einsatz ist sinnvoll, wenn die Anzahl der Datenpunkte deutlich über dem Grad des
Polynoms liegt.
Für n+1 Datenpunkte erhält man mit einem Polynom n-ten Grades eine Interpolation, die
aber wegen starker Schwingungen meist nicht verwendbar ist.
5 Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion zur Basis e hat die Gleichung y(x)=A*exp(B*x). Es werden die
Koeffizienten A und B bestimmt.
Die Anpassung kann nur für y-Werte mit y>0 berechnet werden.
6 Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion (natürlicher Logarithmus, Basis e) hat die Gleichung
y(x)=A*ln(B*x). Es werden die Koeffizienten A und B bestimmt.
Die Anpassung kann nur für x-Werte mit x>0 berechnet werden.
7 Gleitender Durchschnitt
Der gleitende Durchschnitt ist ein Glättungsverfahren, das hier allerdings nur die (zeitlich)
davor liegenden Werte auswertet (kausales Verfahren). Da dadurch die geglättete Kurve
nach hinten verschoben wird, sollte diese Funktion nicht zur Auswertung bereits
vorliegender Messdaten verwendet werden.
8 Ausblick
In EXCEL sind nur solche Funktionen angeboten, bei denen mit Hilfe der Umkehrfunktion
eine Linearisierung, eine Lineare Regression und eine anschließende Rücktransformation
(oder beim Polynom mit Matrix-Funktionen) möglich ist. Daher wird auch nicht immer nach
dem Prinzip der kleinsten Quadrate optimiert. Die Gewichtung der einzelnen Datenpunkte
ist dann nicht gleich.
Eine Anpassung an beliebige Funktionstypen ist mit Hilfe des SOLVERs möglich.
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