Jean-François Babadjian 1 Curriculum Vitæ Etat civil Diplômes

Jean-François Babadjian
Post-doctorant au Laboratoire Jean Kuntzmann
Université Grenoble 1 Joseph Fourier
1 Curriculum Vitæ
Etat civil
Né le 26 novembre 1979 à Domont (Val d'Oise)
Situation de famille : célibataire
Nationalité française
Adresse personnelle : 21 rue de Noyon, 80400 HAM
Tél (pers.) : 06 08 07 23 28
Adresse professionnelle : Laboratoire Jean Kuntzmann, Tour IRMA, 51 rue des Mathématiques,
B.P. 53, 38041 GRENOBLE Cedex 9
Tél (prof.) : 04 76 63 56 29
Fax (prof.) : 04 76 63 12 63
Email : [email protected]
Page web : http ://ljk.imag.fr/membres/Jean-Francois.Babadjian/
Diplômes
2006 : Qualication aux fonctions de Maître de Conférences en sections 25 et 26 du CNU.
2005 : Doctorat de Mathématiques de l'Université Paris 13 sous la direction de G. Francfort.
Thèse intitulée
Réduction dimensionnelle pour des milieux hétérogènes, troués ou ssurés soutenue le 14 octobre 2005 à l'Université Paris 13.
Composition du jury : A. Braides (Rapporteur), A. Chambolle (Rapporteur), G. Francfort (Directeur de
thèse), O. Latte, H. Le Dret, J.-J. Marigo (Président du jury).
Mention très honorable avec les félicitations du jury.
2002 : Diplôme d'Ingénieur en Mathématiques Appliquées et Calcul Scientique de l'Institut
Galilée, Université Paris 13.
2002 : DEA d'Analyse Numérique de l'Université Paris 6, mention bien.
1999 : DEUG MIAS de l'Université Paris 13.
Experience professionnelle
Septembre 2007 août 2008 : Post-doctorant au Laboratoire Jean Kuntzmann de l'Université
Joseph Fourier à Grenoble, bourse du CNRS.
Octobre 2005 août 2007 : Post-doctorant à la Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati
(SISSA) à Trieste (Italie), bourse Marie Curie.
Octobre 2002 septembre 2005 : Allocataire-Moniteur à l'Université Paris 13.
Mars juin 2002 : Stage de DEA et de n d'études d'ingénieur au Laboratoire Central des
Ponts et Chaussées (LCPC) sous la direction de M. Frémond.
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Invitations à l'étranger
4 12 janvier 2006 : Instituto Superior Técnico, Lisbonne (invité par M. Baía).
21 mars 21 juin 2005 : Università degli Studi di Roma Tor Vergata (invité par A. Braides).
30 janvier 12 février 2005 : Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh
(invité par I. Fonseca).
16 29 novembre 2003 : Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh (invité
par I. Fonseca).
Thèmes de recherche
• Calcul des variations, équations aux dérivées partielles et théorie géométrique de la mesure.
• Réduction dimensionnelle, homogénéisation et problèmes aux discontinuités libres.
• Equation de Helmholtz, équations intégrales, théorie de Fredholm, calcul pseudo-diérentiel.
• Applications en mécanique des milieux continus (élasticité non linéaire, mécanique de la rupture)
et en électromagnétisme.
Enseignement
20062007 : TD de théorie de la mesure et intégration, SISSA et Université de Trieste.
20042005 : TD de mécanique du solide rigide, Université Paris 13.
20032004 : TD d'analyse (fonctions de plusieurs variables), Université Paris 13.
20022003 : TD et TP de langage C, Université Paris 13.
Participation à des congrès et colloques
Janvier Février 2008 : Winter School on Fracture and Damage, Paris.
Novembre 2007 : Journées EDP Rhônes-Alpes-Auvergne 2007, Lyon.
Juin 2007 : Fourth Summer School in Analysis and Applied Mathematics, Rome.
Février 2007 : Meeting on Geometric Measure Theory and Calculus of Variations, Levico Terme.
Novembre 2006 : Midterm meeting of the MULTIMAT network, Anvers.
Octobre 2006 : Workshop on Variational methods in Material Science, Pise.
Septembre 2006 : Summer School on Calculus of Variations and Applications, Açores.
Septembre 2006 : Workshop on Calculus of Variations, Lisbonne.
Mars 2006 : Fourth meeting of the MULTIMAT network, Cambridge.
Février 2006 : Meeting on Geometric Measure Theory and Calculus of Variations, Levico Terme.
Mai 2005 : INdAM Workshop on Recent Advances in Homogenization, Rome.
Mars 2005 : Second meeting of the MULTIMAT network, Paris.
Octobre 2004 : Kick-o meeting of the MULTIMAT network, Leipzig.
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Août septembre 2004 : Workshop on Analysis of rate independent processes, Villetaneuse.
Mai juin 2004 : 36ième Congrès National d'Analyse Numérique, Obernai.
Septembre 2003 : 16ième Congrès Français de Mécanique, Nice.
Juin 2003 : 35ième Congrès National d'Analyse Numérique, La Grande Motte.
Informatique
• Systèmes d'exploitation : Windows, Linux, Unix.
• Langages de programmation : Pascal, C, HTML.
• Logiciels scientiques : Matlab, Maple, LaTex.
Langues
• Anglais : Lu, parlé, écrit.
• Italien : Lu, parlé, écrit.
• Allemand : Scolaire.
Divers
• Referee pour :
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ;
Portugaliae Mathematica.
• Membre du réseau européen MULTIMAT.
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2 Publications
Les articles [P1] à [P10] sont téléchargeables à l'adresse
http ://ljk.imag.fr/membres/Jean-Francois.Babadjian/publication.html.
Articles publiés
[P1]
J.-F. Babadjian & G. A. Francfort : Spatial heterogeneity in 3D-2D dimensional reduction, ESAIM Control, Optimisation and Calculus of Variations, 11, no. 1 (2005), 139160.
[P2]
J.-F. Babadjian : Quasistatic evolution of a brittle thin lm, Calculus of Variations and
Partial Dierential Equations, 26, no. 1 (2006), 69118.
[P3]
J.-F. Babadjian & M. Baía : 3D-2D analysis of a thin lm with periodic microstructure,
Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A, 136, no. 2 (2006), 223243.
[P4]
J.-F. Babadjian & M. Baía : Multiscale nonconvex relaxation and application to thin
lms, Asymptotic Analysis, 48, no. 3 (2006), 173218.
[P5]
N. Ansini, J.-F. Babadjian & C. I. Zeppieri : The Neumann sieve problem and dimensional reduction : a multiscale approach, Mathematical Models and Methods in Applied
Sciences, 17, no. 5 (2007), 681735.
[P6]
J.-F. Babadjian, M. Baía & P. M. Santos : Characterization of two-scale gradient
Young measures and application to homogenization, Applied Mathematics and Optimization,
57, no. 1 (2008), 6997.
Articles acceptés
[P7]
J.-F. Babadjian & M. Barchiesi : A variational approach to the local character of Gclosure : the convex case, Prépublication SISSA 12/2007/M (2007), accepté aux Annales de
l'Institut Henri Poincaré, Analyse Non Linéaire (24 pages).
[P8]
J.-F. Babadjian
: Lower semicontinuity of quasiconvex bulk energies in SBV and integral
representation in dimension reduction, Prépublication SISSA 77/2006/M (2006), accepté
dans SIAM Journal on Mathematical Analysis (25 pages).
Articles soumis
[P9]
J.-F. Babadjian, E. Zappale & H. Zorgati
[P10]
J.-F. Babadjian & V. Millot
: Dimensional reduction for energies
with linear growth involving the bending moment, Prépublication LJK (2007), Ref.
ArXiv :0711.0591 (26 pages).
: Homogenization of variational problems under manifold
constraints, Prépublication LJK (2007), Ref. ArXiv :0712.1781 (46 pages).
Articles en préparation
[P11]
J.-F. Babadjian & A. Giacomini
[P12]
J.-F. Babadjian, E. Bonnetier & F. Triki
: Regularity of solutions in quasi-static crack evolution.
: Diraction on a perfectly conducting plane
perturbed by two sub-wavelength rectangular cavities.
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3 Communications orales
Séminaires
1. Modèles de membranes hétérogènes et non linéaires par analyse asymptotique 3D-2D.
Groupe de travail des thésards, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris 6 (30/10/2003).
2. Quasistatic crack growth of thin lms (sur invitation).
Università di Roma La Sapienza (27/04/2005).
3. Periodically perforated thin lms (sur invitation).
Università degli Studi di Padova, DMMMSA (16/05/2005).
4. Quasistatic crack growth of brittle thin lms (sur invitation).
SISSA, Trieste (18/05/2005).
5. Réduction dimensionnelle pour des milieux hétérogènes, troués ou ssurés.
Groupe de travail des thésards, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris 6 (11/10/2005).
6. Passage 3D-2D pour des milieux hétérogènes et homogénéisation de lms minces (sur invitation).
Ecole Polytechnique, CMAP, Palaiseau (18/10/2005).
7. A multiscale approach to the Neumann Sieve Problem in dimensional reduction (sur invitation)
SISSA, Trieste (23/11/2005).
8. A multiscale approach to the Neumann Sieve Problem in dimensional reduction (sur invitation).
Instituto Superior Técnico, Lisbonne (11/01/2006) .
9. Croissance quasi-statique de ssures dans des lms minces (sur invitation).
Séminaire EDP-MOISE, Laboratoire de Modélisation et Calcul, Université Grenoble 1 (18/05/2006).
10. Le problème de la passoire de Neumann en réduction dimensionnelle.
Groupe de travail d'homogénéisation, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris 6 (22/01/2007).
11. Le caractère local de la G-fermeture : une approche variationnelle (sur invitation).
Ecole Polytechnique, CMAP, Palaiseau (23/01/2007).
12. Croissance quasi-statique de ssures dans des lms minces.
Séminaire de l'équipe EDP, Laboratoire de Mathématiques, Université de Savoie, Chambéry (12/10/2007).
13. Une approche variationnelle au caractère local de la G-fermeture.
Groupe de travail d'homogénéisation, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris 6 (29/10/2007).
14. Une approche variationnelle au caractère local de la G-fermeture.
Séminaire du CEREMADE Analyse-Probabilités, Université Paris 9 (30/10/2007).
15. Homogénéisation dans les espaces de mesures d'Young.
Séminaire d'Analyse du Laboratoire d'Analyse, Géométrie et Modélisation, Université de CergyPontoise (19/11/2007).
16. Une approche variationnelle au caractère local de la G-fermeture (sur invitation).
Séminaire de l'équipe ACSIOM, I3M, Université Montpellier 2 (08/01/2008).
17. Croissance quasi-statique de ssures dans des lms minces.
Groupe de travail d'analyse non linéaire, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris 6
(16/01/08).
18. Croissance quasi-statique de ssures dans des lms minces.
Séminaire du Centre de Mathématiques et de Leurs Applications, ENS Cachan (31/01/08).
19. Une approche variationnelle au caractère local de la G-fermeture (sur invitation).
Séminaire EDP-MOISE, Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble 1 (07/02/2008).
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20. Homogénéisation de problèmes variationnels pour des applications à valeurs dans une variété.
Séminaire de Physique Mathématique, Institut Fourier, Université Grenoble 1 (25/02/2008).
21. Croissance quasi-statique de ssures dans des lms minces (sur invitation).
Laboratoire IMATH, Université de Toulon et du Var (28/02/2008).
22. Homogénéisation de problèmes variationnels pour des applications à valeurs dans une variété.
Séminaire EDP, IRMAR, Université de Rennes 1 (27/03/2008).
Conférences, colloques ou congrès
23. Modélisation de membranes hétérogènes par Γ-convergence (sur invitation).
Les journées du LPMTM, Université Paris 13, Villetaneuse (janv. 2004).
24. Modélisation de membranes hétérogènes par Γ-convergence.
36ième Congrès National d'Analyse Numérique, Obernai (juin 2004).
25. Thin lms with periodic microstructure.
Kick-o meeting of the MULTIMAT network, Leipzig (oct. 2004).
26. Reiterated homogenization and 3D-2D dimensional reduction.
INdAM Workshop Recent Advances in Homogenization , Rome (mai 2005).
27. Characterization of two-scale gradient Young measures.
Fourth meeting of the MULTIMAT network, Cambridge (mars 2006).
28. Stability of quasi-static crack evolution through dimensional reduction (sur invitation).
Summer School on Calculus of Variations and Applications, Ponta Delgada, Açores (sept. 2006).
29. The Neumann Sieve problem and dimensional reduction : a multiscale approach (sur invitation).
Midterm meeting of the MULTIMAT network, Anvers (nov. 2006).
30. Homogénéisation dans les espaces de mesures d'Young (sur invitation).
Journées EDP Rhônes-Alpes-Auvergne 2007, Lyon (nov. 2007).
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4 Activités d'enseignement
J'ai eectué trois années de monitorat à l'Université Paris 13 de Villetaneuse de 2002 à 2005. Initialement, j'ai été engagé en tant que moniteur en mathématiques. Cependant, j'ai eu l'opportunité d'eectuer
mon service dans trois disciplines diérentes : mathématiques, informatique et mécanique. Lors de mon
séjour post-doctoral à la SISSA de Trieste en Italie, j'ai pu également donner quelques heures de travaux
dirigés en théorie de la mesure et intégration. J'ai donc pu, au cours de ces années de monitorat et de
post-doctorat, diversier mes thèmes d'enseignement et ainsi élargir mon expérience pédagogique.
4.1 Monitorat
4.1.1 Première année : informatique
J'ai eectué ma première année de monitorat en tant que chargé de TD / TP d'informatique en DEUG
MIAS (Mathématiques, Informatique et Application aux Sciences) première année à l'Université Paris 13
lors du deuxième semestre de l'année universitaire 2002-2003. Mon service était divisé en deux : j'ai d'un
côté donné des travaux dirigés et pratiques de programmation impérative et d'initiation au langage C et
par ailleurs des travaux pratiques de Multimédia. Ces deux charges d'enseignement correspondaient au
même groupe d'étudiants. Le semestre était divisé en 14 semaines avec un partiel au milieu et un examen
nal.
Programmation impérative et initiation au langage C
Cours : Adeline Nazarenko.
Charge horaire : Un groupe d'étudiants, 42 heures de travaux dirigés et 21 heures de travaux
pratiques.
Programme : Tableaux, enregistrements, fonctions, pointeurs, chiers, listes chaînées, récursivité.
Il a été décidé lors de la première réunion de l'équipe pédagogique que la préparation des TD se ferait
par binôme et à tour de rôle. Sur tout le semestre, j'ai réalisé deux sujets et corrections de TD/TP à
l'aide d'un autre chargé de TD. Je n'ai pas participé à la préparation du partiel et de l'examen ; ceux-ci
ont été réalisés par la chargée de cours seule. Cependant, j'ai surveillé les deux épreuves et corrigé des
copies.
Multimédia
Cours : Younès Bennani.
Charge horaire : Un groupe d'étudiants, 21 heures de travaux pratiques.
Programme : Listes, tableaux, cadres, liens.
Les quatre premières séances consistaient en des travaux pratiques d'initiation au langage HTML.
Ensuite les étudiants devaient se mettre en binôme ou trinôme et, à l'aide des bases qu'ils avaient acquises,
avaient pour tâche de réaliser un site web. Ceci a donné lieu à un partiel à mi-semestre relatif aux
connaissances de base introduites lors des cours magistraux. L'examen nal a consisté en une soutenance
orale que j'ai organisée pour les étudiants de mon groupe qui devaient présenter leurs projets.
4.1.2 Deuxième année : mathématiques
J'ai eectué ma deuxième année de monitorat en tant que chargé de TD en mathématiques en DEUG
STPI (Sciences et Techniques Pour l'Ingénieur) deuxième année à l'Université Paris 13 lors du deuxième
semestre de l'année universitaire 2003-2004. Le semestre était réparti en 14 semaines avec un partiel au
milieu puis un examen nal.
Cours : Robert Oliver.
Charge horaire : Un groupe d'étudiants, 56 heures de travaux dirigés.
7
Programme : Espaces Euclidiens (produits scalaires, orthogonalisation de Gram Schmit), intégrales
impropres, fonctions de plusieurs variables (continuité, diérentiabilité, intégrales multiples, formes différentielles, intégrales curvilignes), fonctions de la variable complexe (fonctions holomorphes, calculs de
résidus).
Nous avons repris les mêmes sujets de TD que ceux de l'année précédente qui avaient été élaborés
par l'autre chargé de TD. J'ai participé à la réalisation des sujets de partiel et d'examen ainsi qu'à la
surveillance de l'examen nal et à la correction du partiel.
4.1.3 Troisième année : mécanique du solide rigide
J'ai eectué ma troisième année de monitorat en tant que chargé de TD en mécanique en DEUG
MIAS et STPI deuxième année à l'Université Paris 13 lors du premier semestre de l'année universitaire
2004-2005. Le semestre était réparti en 13 semaines avec un partiel au milieu puis un examen nal.
Cours : Michèle Coutris.
Charge horaire : Deux groupes et demi d'étudiants, 26 heures de travaux dirigés chacun.
Programme : Cinématique (vitesse, accélération, torseur cinématique), cinétique (distribution et
centre de masse, quantité de mouvement, moment cinétique, torseurs cinétique et dynamique), dynamique (force et moment, Principe Fondamental de la Dynamique).
Jusqu'au partiel j'ai eu la charge de deux groupes de TD et ensuite, j'ai récupéré en plus un autre
groupe. La préparation des sujets de TD, de partiel et d'examen a été faite en intégralité par l'enseignante
chargée du cours. J'ai surveillé le partiel et l'examen nal et corrigé une partie des copies du partiel.
4.2 Post-doctorat
Lors de ma deuxième année de post-doctorat à la SISSA à Trieste, j'ai pu continuer mon expérience
pédagogique en donnant des travaux dirigés ( esercitazioni ) à des étudiants de niveau équivalent au
Master 1 ( Laurea Specialistica ). Le programme couvrait la théorie abstraite de la mesure et l'intégration. Il s'agissait de former ces étudiants an de leur permettre de tenter le concours d'entrée à la SISSA
pour pouvoir commencer une thèse. Sur demande des responsables pédagogiques, les séances étaient en
anglais mais les étudiants avaient la possibilité de me poser des questions en italien.
Cours : Giovanni Alessandrini.
Charge horaire : Un groupe d'étudiants, 24 heures de travaux dirigés .
Programme : σ -algèbres, mesures, mesures extérieures, construction de la mesure de Lebesgue, fonc-
tions mesurables, intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence, mesures produit, théorème de Fubini,
mesures sur des variétés, formule de l'aire, espaces Lp .
J'ai donné douze séances de travaux dirigés de deux heures chacune. Etant donné que mon groupe
ne comprenait que très peu d'étudiants, j'en ai proté pour les faire passer au tableau aussi souvent que
possible. Je les incitais également à me rendre des exercices par écrit. Sur demande du professeur chargé
du cours, j'ai également mis à prot quelques séances pour compléter les notions abordées durant le cours.
8
5 Activités de recherche
Mes activités de recherche se situent dans les domaines du Calcul des Variations, des Equations aux
Dérivées Partielles et de la Théorie Géométrique de la Mesure, avec une attention particulière portée
aux applications en mécanique des milieux continus, en science des matériaux et récemment en électromagnétisme. Il s'agit principalement d'étudier des problèmes dépendant d'un ou de plusieurs paramètres
naturels traduisant la complexité du modèle et d'en eectuer une analyse asymptotique rigoureuse.
Au cours de ma thèse de doctorat à l'Université Paris 13, j'ai étudié des problèmes de Réduction
Dimensionnelle en élasticité non linéaire, qui rentrent dans le cadre général du Calcul des Variations. Ceci
m'a permis de m'initier à deux domaines particulièrement importants du Calcul des Variations à savoir
l'Homogénéisation et les Problèmes aux Discontinuités Libres, ainsi qu'aux théories de Γ-convergence
et des fonctions à variation bornée qui leurs sont inhérentes. J'ai pu ensuite développer ces deux axes
de recherche indépendamment lors de mon post-doctorat à la SISSA de Trieste. Dans le cadre de mon
actuel post-doctorat au LJK de Grenoble, j'ai commencé à m'intéresser à de nouvelles techniques basées
sur l'asymptotique de la fonction de Green de l'équation de Helmholtz et les équations intégrales en
électromagnétisme.
A l'heure actuelle, mes activités de recherche se sont concrétisées en l'élaboration de dix articles, dont
six sont publiés ([P1]-[P6]), deux sont acceptés ([P7, P8]) et deux sont soumis ([P9, P10]) dans des
revues internationales avec comité de lecture. Ma thèse a donné lieu à l'élaboration des cinq articles [P1][P5]. Les articles [P6]-[P10] ont, quant à eux, été réalisés lors de mon post-doctorat à la SISSA où j'ai
également commencé le travail toujours en cours [P11]. L'article en préparation [P12] a été commencé
depuis le début de mon post-doctorat au LJK.
C'est donc autour des quatre domaines que sont la réduction dimensionnelle, l'homogénéisation, les
problèmes aux discontinuités libres et l'étude de l'équation de Helmholtz que s'organise mon activité de
recherche.
5.1 Réduction dimensionnelle
La réduction dimensionnelle consiste à étudier un type de matériaux particuliers dits lms minces qui
correspondent dans leur conguration de référence à un cylindre Ωε = ω × (−ε, ε) de base ω ⊂ R2 et dont
l'épaisseur ε est beaucoup plus petite que les autres dimensions.
L'objet de ma thèse était d'obtenir des modèles de membranes, c'est-à-dire ne rendant compte que des
phénomènes d'étirement, dans le cadre de l'élasticité non linéaire. L'énergie de membrane étant d'ordre
ε, il est naturel de diviser l'énergie élastique par ε et donc d'étudier le comportement asymptotique de la
fonctionnelle
Z
1
u 7→
W ε (x; ∇u) dx
ε Ωε
lorsque ε → 0, où W ε : Ωε × R3×3 → [0, +∞) désigne le potentiel élastique qui est une fonction non
linéaire du gradient de déformation et à croissance 1 < p < ∞ uniformément en ε et x. Il convient
toutefois d'étudier un problème articiel équivalent, formulé sur un cylindre Ω = ω × (−1, 1) d'épaisseur
xe, dans lequel l'énergie rescalée est donnée par
µ µ
¶¶
Z
∂u ∂u 1 ∂u
u 7→
Wε x;
|
|
dx,
∂x1 ∂x2 ε ∂x3
Ω
où Wε s'obtient à partir de W ε par simple dilatation dans la variable transverse x3 . Au vu de cette
hypothèse (classique) de croissance 1 < p < ∞, le cadre fonctionnel naturel est l'espace de Sobolev
W 1,p (Ω; R3 ) muni de sa topologie faible puisqu'une suite minimisante à énergie nie sera relativement
compacte dans cet espace.
Un bon mode de convergence variationnelle utilisé en Calcul des Variations est la Γ-convergence
(voir Dal Maso [14]) car elle s'avère être bien adaptée pour décrire le comportement asymptotique de
fonctionnelles à minimiser et dépendant d'un paramètre. En eet, elle permet non seulement de dénir
une fonctionnelle énergie limite (la Γ-limite), mais en plus elle assure (sous des hypothèses de compacité
sur les suites minimisantes) la convergence des éventuels minimiseurs ainsi que de la valeur minimale de
l'énergie.
La quasi totalité de ma thèse a traité de problèmes de réduction de dimension par Γ-convergence (voir
[P1]-[P5]). J'ai toutefois continué à travailler dans ce domaine lors de mon post-doctorat à la SISSA
(voir [P8, P9]).
9
5.1.1 Description d'hétérogénéités macroscopiques
Tout d'abord, j'ai étudié en collaboration avec Gilles Francfort, des lms minces totalement
hétérogènes dans la mesure où cette hétérogénéité est indépendante du paramètre ε. Ceci se traduit
physiquement par la présence d'hétérogénéités macroscopiques du matériau en question. Plus précisément,
il s'agit de considérer des potentiels élastiques du type Wε (x; ξ) = W (x; ξ). Ce travail a donné naissance
à un article [P1] dans lequel nous obtenons un résultat de Γ-convergence, généralisant les travaux de
Le Dret & Raoult [26] et de Braides, Fonseca & Francfort [12]. Nous avons également pris
en compte la possibilité que des forces de surface induisent un moment échissant, généralisant ainsi le
résultat de Bouchitté, Fonseca & Mascarenhas [10]. Dans ce dernier cas, on cherche une Γ-limite
plus riche qui dépend non seulement de la limite faible dans W 1,p des suites minimisantes uε (comme
R1
ε
précédemment), mais aussi de la limite faible dans Lp de la suite 1ε −1 ∂u
∂x3 dx3 . Notons que ce dernier
résultat est à la base de la caractérisation des mesures d'Young engendrées par des suites de gradients
rescalés (i.e. après changement d'échelle) obtenue par Bocea & Fonseca dans [8].
Nous avons introduit une méthode de dédoublement de variables qui consiste à isoler cette variable
macroscopique de la variable d'intégration, permettant ensuite de se ramener à un problème homogène.
Cette méthode est basée sur un résultat d'équi-intégrabilité dû à Bocea & Fonseca [7], qui permet de
sélectionner des suites minimisantes, sans toutefois restreindre la généralité, dont le gradient rescalé est
p-équi-intégrable. Ceci nous permet d'extraire des propriétés a priori inattendues sur le potentiel élastique
W , à des ensembles de mesure arbitrairement petite près. Grâce à l'équi-intégrabilité et la croissance p
de la fonctionnelle, la contribution de l'énergie sur ces ensembles sera négligeable. Notons que le champ
d'action de cette méthode a un spectre beaucoup plus large que celui de la réduction dimensionnelle car
elle s'applique à une large classe de problèmes variationnels où l'intégrande dépend explicitement de la
variable spatiale.
5.1.2 Description d'hétérogénéités microscopiques
J'ai ensuite étudié avec Margarida Baía des problèmes d'homogénéisation périodique. Cette collaboration a donné lieu à deux séjours de deux semaines chacun au Center for Nonlinear Analysis de
la Carnegie Mellon University de Pittsburgh et s'est concrétisée en deux articles [P3, P4]. Nous avons
continué dans cette même perspective de décrire des lms minces hétérogènes en autorisant cette fois-ci
aux hétérogénéités de dépendre périodiquement du paramètre ε. Ceci engendre des phénomènes couplés
de réduction dimensionnelle et d'homogénéisation réitérée. Nous avons d'abord généralisé des résultats
classiques d'homogénéisation pour des énergies moins restrictives que celles considérées par les précédents
auteurs (voir section 5.2.1). Nous avons ensuite appliqué ces mêmes techniques au cas du passage 3D-2D
en ranant la méthode de dédoublement de variables introduite dans [P1]. Nous avons plus précisément
considéré le cas d'une densité d'énergie élastique de la forme Wε (x; ξ) = W (x, x/ε, x/ε2 ; ξ). Cette étude
contient entre autres le cas de l'homogénéisation d'un lm mince dans la variable transverse x3 où les
deux phénomènes de réduction de dimension et d'homogénéisation sont mis en compétition à la même
échelle.
5.1.3 Le problème de la Passoire de Neumann Lors d'un séjour de trois mois à l'Université Rome 2 Tor Vergata , invité par Andrea Braides,
j'ai étudié dans [P5] en collaboration avec Nadia Ansini et Caterina Ida Zeppieri, le comportement
asymptotique de l'énergie élastique d'un matériau formé de deux couches minces et dont l'interface est
constituée de zones de connexion périodiquement distribuées. Le matériau considéré occupe dans sa
conguration de référence l'ouvert de RN
h
i h [ ¡
i h
i
¢
Ωε,δ,r := ω × (−ε, 0) ∪
ω ∩ B 0 (iδ, r) × {0} ∪ ω × (0, ε) ,
i∈ZN −1
où ω est un ouvert borné de RN −1 et B 0 (iδ, r) est la boule dans RN −1 de centre iδ et de rayon r. Il
s'agit d'un problème de type Passoire de Neumann , déjà abordé dans le contexte de la réduction
dimensionnelle par Ansini dans [4]. Nous supposons que les deux couches minces sont occupées par un
même matériau homogène de densité d'énergie élastique Wε (x; ξ) = W (ξ).
Dans cette étude multi-échelle, nous sommes confrontés à trois petits paramètres : ε l'épaisseur des
cylindres, δ la période de distribution des zones de connexion et r leur rayon. Il convient alors de connaître
10
leurs taux de convergence mutuels. Il est naturel de s'attendre à ce que r ¿ δ car sinon les connexions
risqueraient de s'intersecter deux à deux. Dans [4], Ansini a traité le cas où ε ∼ δ et notons que les
mêmes arguments auraient pu servir à étudier le cas où δ ¿ ε. Nous supposons donc que ε ¿ δ et il reste
encore à xer le comportement de r vis-à-vis de ε. En notant ` = lim r/ε, nous constatons que les cas
` = 0, ` ∈ (0, +∞) et ` = +∞ correspondent à trois régimes diérents qu'il convient de distinguer lors
de l'analyse asymptotique.
Pour des rayons r bien précis (dépendant du régime `), nous obtenons un résultat de Γ-convergence
(pour une sous suite) où apparaît à la limite un terme d'énergie interfaciale dépendant du saut de
déformation à l'interface. La technique utilisée repose sur une méthode introduite par Ansini & Braides
[5] qui consiste à isoler les zones de connexion en imposant (sans toutefois être restrictif) aux suites
minimisantes une valeur constante sur le bord latéral de cylindres convenablement choisis et entourant
chacun des trous de la passoire. Nous donnons également des formules explicites de type capacité non
linéaire pour décrire ces densités d'énergie interfaciale.
5.1.4 Croissance quasi-statique de ssures dans des lms minces
Selon la théorie de Grith, le modèle variationnel d'évolution quasi-statique proposé par Francfort
[21] est basé sur la compétition entre une énergie de volume (l'énergie élastique) et une énergie
de surface pénalisant la présence de la ssure et proportionnelle à l'aire de celle-ci.
La formulation faible du problème statique, qui consiste à remplacer la ssure par l'ensemble des discontinuités du champ des déformations, s'avère être bien posée dans l'espace SBV des fonctions spéciales
à variation bornée. Dans [P2], j'ai établi un résultat de Γ-convergence pour une densité d'énergie de
volume homogène Wε (x; ξ) = W (ξ) et avec une énergie de surface de type Grith rescalée ¶¯
Z ¯µ
¯
¯
¯ (νu )1 , (νu )2 , 1 (νu )3 ¯ dH2 ,
(1)
¯
¯
ε
Su
& Marigo
où H2 est la mesure de Hausdor bi-dimensionnelle, Su est l'ensemble des sauts de u ∈ SBV et νu =
¡
¢
(νu )1 , (νu )2 , (νu )3 en est la normale. Une telle énergie de surface s'avère ne pas donner de compacité
aux suites minimisantes dans BV , contrairement à l'étude de Braides & Fonseca [11]. Ce problème
est surmonté grâce à un argument de troncature introduit par Fonseca & Francfort [19] pour un
résultat de relaxation classique, que j'ai adapté à la réduction dimensionnelle. En particulier la Γ-limite
est donnée par la somme d'une énergie de volume du même type que celle obtenue par Le Dret &
Raoult [26] pour un matériau homogène, et d'une énergie de surface toujours de type Grith.
Pour l'étude du problème quasi-statique, le matériau est soumis à une déformation sur le bord latéral
au cours du temps. Sous ce chargement, l'existence d'une évolution quasi-statique du problème 3D i.e.
d'un couple déformation-ssure satisfaisant (i) une propriété d'irréversibilité en temps, (ii) un principe
de moindre énergie à chaque instant et (iii) un principe de conservation d'énergie a été établie par Dal
Maso, Francfort & Toader [15, 16]. Sous l'hypothèse qu'il n'y ait pas de ssure préexistante, j'ai
démontré que cette évolution quasi-statique converge, en un certain sens, vers une évolution quasi-statique
2D associée au modèle Γ-limite (i.e. satisfaisant les propriétés (i)-(iii) pour la Γ-limite). En particulier,
j'ai établi la convergence des énergies de surface et de volume 3D vers leurs analogues 2D. Tout comme
dans [16], je me suis limité au cas où le champ des déformations reste borné dans L∞ uniformément en
ε. Cette hypothèse, purement arbitraire, n'est justiable que dans le cas scalaire mais permet de rester
dans le cadre fonctionnel de l'espace SBV . Il est cependant possible de lever cette restriction tout comme
dans [15], en imposant des forces de surface et de volume de type conservatives, de façon à obtenir de la
compacité dans un sous espace convenable de GSBV (fonctions spéciales à variation bornée généralisées).
5.1.5 Structure des gradients rescalés en réduction dimensionnelle
Dans [P8], j'ai étudié la structure de gradients approchés rescalés µ
¶
µ
¶
¯1
∂uε ∂uε 1 ∂uε
¯
∇α uε ¯ ∇3 uε :=
|
|
ε
∂x1 ∂x2 ε ∂x3
lorsque uε est une suite de fonctions SBV , où ∇uε = (∇α uε |∇3 uε ) est la partie absolument continue
de la dérivée distributionnelle Duε de uε (qui est une mesure) par rapport à la mesure de Lebesgue.
En utilisant un théorème de Larsen [25], j'ai généralisé le résultat d'équi-intégrabilité de Bocea &
11
[7] au cadre des fonctions SBV . Plus précisément, j'ai démontré que toute suite uε dans SBV
dont le gradient approché rescalé est borné en norme Lp (p > 1) et dont la partie singulière de la
mesure Duε (par rapport à la mesure de Lebesgue) tend vers zéro, peut être énergétiquement remplacée
par une suite de fonctions Lipschitz zε dont le gradient approché rescalé est p-équi-intégrable et telle
que la diérence uε − zε tend vers zéro en mesure.
Ce résultat a une application immédiate dans les problèmes de réduction dimensionnelle posés dans les
espaces SBV . J'ai tout d'abord établi un résultat de représentation intégrale pour un problème général
de passage 3D-2D dans W 1,p , en tenant compte du moment échissant (tout comme dans Bouchitté,
Fonseca & Mascarenhas [10] et [P1]) et généralisant par là même le résultat de représentation intégrale démontré par Braides, Fonseca & Francfort [12]. Ensuite, j'ai établi que la partie volume
de la représentation intégrale d'un problème analogue de Γ-convergence dans SBV (c'est-à-dire en rajoutant une énergie de surface de type (1)) coïncide avec la Γ-limite dans W 1,p . La démonstration de ce
résultat est basée sur le résultat d'équi-intégrabilité décrit ci-dessus et sur une extension de la méthode
de dédoublement de variables introduite dans [P1] et développée dans [P3, P4]. Pour illustrer la portée
de la technique utilisée, j'ai également redémontré le théorème de semi-continuité inférieure dans SBV
pour des intégrandes quasiconvexes dû à Ambrosio [3].
Fonseca
5.1.6 Energies à croissance linéaire
Dans un travail en collaboration avec Elvira Zappale et Hamdi Zorgati [P9], nous avons traité
des problèmes de réduction dimensionnelle pour des énergies à croissance linéaire, i.e. quand p = 1. Il
s'agit d'un cas critique car l'espace de Sobolev W 1,1 n'étant pas réexif, les suites minimisantes ne seront
(relativement) compactes que dans l'espace plus large des fonctions BV à variation bornée. Tout comme
dans [10] et [P1, P8], nous prenons en compte la présence d'un moment échissant. Nous considérons
ici une densité d'énergie élastique de la forme Wε (x; ξ) = W (ξ) et, étant donnée une suite minimisante
R1
ε
{uε } ⊂ W 1,1 (Ω; R3 ) à énergie nie telle que uε * u faible* dans BV (Ω; R3 ) et 1ε −1 ∂u
∂x3 dx3 * b faible*
au sens des mesures de Radon, nous cherchons l'expression de la Γ-limite en fonction des champs u et b.
Contrairement au cas surlinéaire, u ∈ BV et b est une mesure de Radon et par conséquent, nous nous
attendons à ce que la Γ-limite ait une forme beaucoup plus complexe.
Comme la plupart des problèmes variationnels à croissance linéaire, la décomposition du gradient
Du d'une fonction u ∈ BV en une partie volume, saut et Cantor suggère d'identier les trois parties
correspondantes de la Γ-limite. Nous démontrons sur un contre-exemple que la mesure b peut se concentrer
sur un ensemble de mesure Du nulle. En d'autres termes, il se peut que les mesures b et Du soient
étrangères. Ceci laisse penser qu'il devrait y avoir un quatrième terme singulier par rapport à Du dans
la Γ-limite, ce qui est eectivement le cas.
La stratégie que nous employons pour calculer la Γ-limite consiste à utiliser la méthode de blow-up
introduite par Fonseca & Müller dans [20]. Cette technique consiste à localiser l'énergie autour de
points de Lebesgue convenablement choisis et de tirer prot des propriétés nes des fonctions BV et des
mesures de Radon. En étendant cette méthode à des fonctionnelles dépendant de paires fonction/mesure,
nous sommes ainsi capables d'isoler les quatres termes de la Γ-limite correspondant à la décomposition
de la mesure b en parties volume, saut, Cantor et singulière.
5.2 Homogénéisation
Je me suis initié à l'homogénéisation de problèmes variationnels dès le début de ma thèse, à travers
la réduction de dimension (voir [P3, P4, P5]). C'est à partir de mon post-doctorat à la SISSA que
j'ai commencé à travailler dans ce domaine à proprement parlé. Tout comme dans le cadre du passage
3D-2D, l'outil principal que j'utilise est la Γ-convergence lorsque le paramètre d'hétérogénéité tend vers
zéro. Je me suis également initié à d'autres techniques comme les mesures d'Young (voir Pedregal
[29]) ou encore la convergence à double échelle (voir Allaire [1]) qui permettent de donner d'autres
renseignements sur l'asymptotique de tels problèmes.
5.2.1 Homogénéisation réitérée
Dans [P4], j'ai étudié avec Margarida Baía des problèmes variationnels d'homogénéisation réitérée,
c'est-à-dire quand la microstructure possède (plus de) deux échelles d'hétérogénéités. Le cas type que
12
nous avons traité consiste à regarder le comportement asymptotique (au sens de la Γ-convergence) de la
fonctionnelle intégrale
Z
³ x x
´
W 1,p (Ω; Rd ) 3 u 7→
f x, , 2 ; ∇u dx,
ε ε
Ω
où Ω est un ouvert borné de RN et f : Ω × RN × RN × Rd×N → [0, +∞) est une intégrande 1-périodique
par rapport aux deuxième et troisième variables et à croissance p > 1 par rapport à la dernière variable.
Lorsque N = d = 3, cette fonctionnelle peut être vue comme l'énergie élastique d'un matériau hétérogène,
non linéairement élastique, occupant dans sa conguration de référence l'ouvert Ω et dont la microstructure est périodiquement distribuée de période ε et ε2 . Il s'agit d'un problème modèle qui se généralise
aisément par récurrence au cas d'un nombre ni d'échelles correspondant à une fonction innitésimale
arbitraire de ε (et non pas forcément une puissance de ε).
Nous démontrons que la Γ-limite est la même que si nous avions remplacé ε2 par un autre paramêtre
δ avec δ ¿ ε. En d'autres termes, la Γ-limite
Z
1,p
d
W (Ω; R ) 3 u 7→
f hom (x; ∇u) dx
Ω
est calculée en itérant successivement la formule classique d'homogénéisation.
5.2.2 Caractérisation de mesures d'Young à double échelle
J'ai étudié en collaboration avec Margarida Baía et Pedro Santos, une classe de mesures d'Young
apparaissant naturellement dans des problèmes d'homogénéisation périodique. Ce travail a donné lieu à
un article [P6] ainsi qu'à un séjour d'une dizaine de jours à l'Instituto Superior Técnico de Lisbonne.
Etant donnés un ouvert borné Ω ⊂ RN et une intégrande f : Ω × [0, 1)N × Rd×N → [0, +∞) à croissance
1 < p < +∞, le but est d'analyser le comportement asymptotique de la fonctionnelle
Z
³ DxE
´
1,p
d
W (Ω; R ) 3 u 7→
f x,
; ∇u dx
ε
Ω
lorsque le paramètre ε tend vers zéro. Dans l'expression précédente, hx/εi représente la partie fractionnaire
du vecteur x/ε, ce qui est une façon d'écrire que l'intégrande f est 1-périodique par rapport à la deuxième
variable.
Fixons une suite minimisante {uε } à énergie nie et convergeant faiblement dans W 1,p (ce qui est
toujours vrai pour une sous suite grâce à la croissance p de l'énergie). On appelle mesure d'Young à
double échelle engendrée par la suite de gradients {∇uε }, toute mesure de probabilité µx dans RN ×Rd×N ,
paramétrée par x ∈ Ω, qui est limite faible* au sens des mesures de Radon de la suite de masses de Dirac
δ(hx/εi,∇uε (x)) . Dans [P6], nous avons obtenu une caractérisation complète de ces mesures d'Young dans
le même esprit que Kinderlehrer & Pedregal [24]. Plus précisément, nous avons démontré que si µx
est une famille de mesures de probabilité sur RN × Rd×N paramétrées par x ∈ Ω, alors µx est une mesure
d'Young à double échelle engendrée par une suite de gradients si et seulement si il existe une suite {uε }
dans W 1,p telle que
le moment d'ordre 1 coïncide avec la limite à double échelle de ∇uε ;
µx satisfait une inégalité de type Jensen impliquant la densité d'énergie homogénéisée (obtenue par
Γ-convergence) ;
le moment d'ordre p est ni.
Ce résultat permet de créer un lien entre trois théories diérentes de l'homogénéisation à savoir les mesures d'Young, la Γ-convergence et la convergence à double échelle. Par ailleurs, cela nous a permis non
seulement d'établir un résultat de Γ-convergence pour des intégrandes f admettant de fortes discontinuités par rapport aux deux premières variables, mais aussi d'établir une représentation intégrale de la
fonctionnelle homogénéisée par rapport à ce type de mesures, beaucoup plus simple que celle usuellement
trouvée dans la littérature en terme de fonctions dans les espaces de Sobolev. En eet, cette nouvelle
formule est obtenue en résolvant un seul problème de minimisation qui admet toujours des solutions dans
l'espace des mesures d'Young, alors que la formule de cellule classique est donnée par une innité de
problèmes de minimisation n'admettant en général pas de solution.
13
5.2.3 Problème de G-fermeture
Cette problématique a fait l'objet d'un travail [P7] en collaboration avec Marco Barchiesi. Nous
avons généralisé au cas d'énergies convexes, le caractère local de la G-fermeture démontré dans le cas quadratique par Dal Maso & Kohn dans un article non publié (voir une démonstration dans Allaire [2]).
L'idée consiste à essayer de caractériser l'ensemble de toutes les limites eectives possibles de matériaux
composites, obtenus en mixant deux matériaux, avec une proportion locale θ(x) ∈ [0, 1] a priori connue.
En utilisant des outils de G-convergence, Dal Maso & Kohn ont démontré que localement, toute énergie eective de ce type peut être obtenue comme limite ponctuelle d'une suite de mixtures périodiques de
même proportion constante θ(x). Autrement dit, dans le cas des mixtures, l'homogénéisation périodique
capture tous les phénomènes d'homogénéisation, ce qui permet de restreindre l'étude de tels problèmes à
des géométries périodiques et à des matériaux eectifs homogènes.
Nous avons utilisé une approche variationnelle pour généraliser ce problème de localité de la Gfermeture par Γ-convergence. Nous avons obtenu un résultat similaire dans le cas où les deux matériaux
mixés possèdent des densités d'énergie élastique W1 et W2 convexes. Plus précisément, si χk est une suite
de fonctions caractéristiques (correspondant à la microstructure, i.e. à la géométrie du mélange des deux
matériaux), alors
 Z
Z
¡
¢

∗
W (x; ∇u) dx = Γ- lim
χk (x)W1 (∇u) + (1 − χk (x))W2 (∇u) dx,
k→+∞
 χΩ * θ faible* dans L∞ (Ω), Ω
k
si et seulement si, pour presque tout x ∈ Ω xé, W ∗ (x, ·) est la limite ponctuelle d'une suite de densités
d'énergies homogénéisées obtenues comme mixtures périodiques de W1 et W2 avec une proportion θ(x).
Autrement dit, dans le cas convexe, les mixtures périodiques capturent tous les types de mixtures. Ce
résultat se généralise aisément au cas de mixtures d'un nombre ni (mais xé) de matériaux et c'est
d'ailleurs ce cadre plus général que nous avons considéré dans [P7]. En utilisant des techniques de mesures
d'Young, nous avons également démontré sur un exemple basé sur le carré de Tartar que notre résultat est
optimal, en ce sens qu'il existe un matériau composite (obtenu comme une mixture de quatre matériaux)
pour le lequel l'énergie homogénéisée n'est pas donnée exactement par une formule d'homogénéisation
périodique.
Le cas où W1 et W2 sont quasiconvexes semble beaucoup plus délicat à traiter car, en général, la
formule d'homogénéisation est donnée par une innité de problèmes de minimisation contrairement au
cas convexe où il s'agit d'une seule formule de cellule. Il n'y a, par ailleurs, aucun espoir que ces deux
formules coïncident dans le cas quasiconvexe d'après le contre-exemple de Müller [28]. A cet eet, nous
avons également illustré ce phénomène en présentant un nouveau contre-exemple beaucoup plus simple,
montrant que l'on ne peut espérer une simple formule de cellule dans le cas quasiconvexe.
5.2.4 Homogénéisation avec contrainte dans une variété
En collaboration avec Vincent Millot, j'ai étudié dans [P10] des problèmes variationnels d'homogénéisation où l'on impose aux suites minimisantes de prendre leurs valeurs dans une variété M donnée.
Notre travail est motivé par des problèmes d'équilibre de cristaux liquides ou encore de micromagnétisme
où la variable d'état est contrainte à prendre ses valeurs dans la sphère unité.
Nous avons obtenu un premier résultat pour une énergie à croissance p > 1. Dans ce cas, nous
démontrons que la Γ-limite est une fonctionnelle locale où la densité d'énergie est donnée par une formule
d'homogénéisation tangentielle (par analogie avec la quasiconvexication tangentielle introduite par
Dacorogna, Fonseca, Malý & Trivisa [13]) très semblable à la formule d'homogénéisation classique,
excepté que les fonctions tests sont contraintes à prendre leurs valeurs dans l'espace tangent à la variété.
En particulier, ce résultat met en avant un phénomène assez étrange : même si la fonctionnelle de départ
Z
´
³x
1,p
, ∇u dx
W (Ω; M ) 3 u 7→
f
ε
Ω
ne dépend pas explicitement de u, la Γ-limite quant à elle
Z
W 1,p (Ω; M ) 3 u 7→
fhom (u, ∇u) dx
Ω
14
en dépendra toujours. Ce phénomène peut être interprété comme l'apparition de multiplicateurs de Lagrange associés à la contrainte variété.
Nous avons également traité le cas d'une énergie à croissance linéaire p = 1. Dans ce cas, la principale
diculté réside dans le fait que le domaine de la Γ-limite n'est pas l'espace de Sobolev W 1,1 mais l'espace
BV des fonctions à variation bornée. Nous avons démontré que la Γ-limite est une fonctionnelle obtenue
comme la somme de trois termes : un terme de volume du même type que celui obtenu dans l'analyse dans
les espaces de Sobolev, un terme d'énergie de surface et enn un terme faisant intervenir la partie Cantor
de la dérivée distributionnelle (qui est une mesure). La démonstration est basée sur l'adaptation non
triviale du résultat de relaxation (sans contrainte) de Fonseca & Müller [20], le résultat de Béthuel
[6] sur la régularité des fonctions régulières à valeur dans une variété dans W 1,1 (Ω; M ), ainsi que sur une
technique de projection due à Hardt & Lin [23].
5.3 Problèmes aux discontinuités libres
Tout comme pour les problèmes d'homogénéisation, j'ai commencé à m'intéresser aux problèmes aux
discontinuités libres dès mon doctorat, à travers l'étude d'un modèle de mécanique de la rupture en
réduction dimensionnelle (voir [P2] et section 5.1.4). J'ai également continué cette thématique lors de
mon post-doctorat à la SISSA (voir [P8] et section 5.1.5).
L'expression problèmes aux discontinuités libres a été introduite par De Giorgi pour qualier une
classe de problèmes variationnels dépendant d'un couple fonction-ensemble (u, K). Ces problèmes sont
souvent étudiés sous une forme dite faible, dans le cadre des fonctions SBV spéciales à variation bornée,
en remplaçant K par l'ensemble des sauts de u. Ils font par conséquent appel à des outils de Théorie
Géométrique de la Mesure (voir Federer [18]).
5.3.1 Régularité des solutions en mécanique de la rupture
Dans [P11], en collaboration avec Alessandro Giacomini, nous adressons la question de la régularité des solutions faibles d'un modèle de croissance quasi-statique de ssures introduit par Francfort
& Marigo [21]. Nous nous plaçons dans le même cadre que celui de Francfort & Larsen [22] qui ont
démontré un résultat d'existence de la formulation faible (dans SBV ) de ce problème.
Soient Ω un ouvert borné de RN dont la frontière est susamment régulière, [0, T ] un intervalle
de temps et g(t) une donnée sur le bord ∂Ω ayant également une régularité susante en espace et en
temps. A l'instant initial, on se donne un couple déplacement-ssure (u0 , Γ0 ) qui satisfait une propriété
de minimalité. Le résultat que nous sommes en train de démontrer arme que pour tout t ∈ [0, T ], il
existe un couple (u(t), Γ(t)) tel que Γ(t) ⊂ Ω est fermé, u(t) ∈ C 1 (Ω \ Γ(t)) ∩ C 0 (Ω \ Γ(t)), u(t) = g(t) sur
∂Ω et les trois propriétés suivantes ont lieu :
Irréversibilité : Γ(t1 ) ⊂ Γ(t2 ) pour tout 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T ;
Minimalité : pour tout couple (v, K) tel que Γ(t) ⊂ K ⊂ Ω est fermé, v ∈ C 1 (Ω \ K) ∩ C 0 (Ω \ K) et
v = g(t) sur ∂Ω, on a
Z
Z
2
N −1
E(t) :=
|∇u(t)| dx + H
(Γ(t)) ≤
|∇v|2 dx + HN −1 (K);
Ω\Γ(t)
Ω\K
Conservation de l'énergie : l'énergie totale E(t) est absolument continue et
Z tZ
E(t) = E(0) + 2
∇u(τ ) · ∇ġ(τ ) dx dτ.
0
Ω
L'approche classique de ces problèmes d'évolution quasi-statique repose sur une discrétisation temporelle et sur une analyse asymptotique lorsque le pas de temps δ → 0. L'idée consiste à employer deux
méthodes diérentes, l'une pour obtenir la régularité escomptée de la formulation discrète en temps, et
l'autre pour permettre de conserver cette régularité lors de l'analyse asympotique. En eet, une simple
adaptation de la méthode de formulation faible dans SBV de De Giorgi, Carriero & Leaci [17]
assure l'existence d'une évolution discrète (uδ (t), Γδ (t)) régulière. La principale diculté consiste à faire
perdurer cette propriété lors du passage à la limite δ → 0. Pour ce faire, le point crucial consiste à démontrer que Γδ (t) possède une propriété de densité inférieure uniforme en δ et t, i.e. qu'il existe θ0 > 0
(indépendant de δ et t) tel que quels que soient δ > 0 et t ∈ [0, T ],
HN −1 (Γδ (t) ∩ Bρ (x)) ≥ θ0 ρN −1
15
(2)
pour tout x ∈ Γδ (t) et tout ρ ≤ 1. En eet, si cette propriété a lieu, il est possible de démontrer qu'il
existe un ensemble fermé et (N − 1)-dimensionnel Γ(t) ⊂ Ω tel que Γδ (t) → Γ(t) au sens de Hausdor et
que la mesure de Hausdor HN −1 est semi-continue inférieurement (voir Morel & Solimini [27]).
Nous avons déjà démontré ce résultat en dimension 2. Notons que pour des champs u scalaires tels
que ceux considérés dans cette étude, seule la dimension 2 a un véritable sens physique. Il s'agit alors
d'un problème anti-plan en élasticité linéarisée où le véritable champ des déplacements est donné par
l'application (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 , x2 , u(x1 , x2 )).
Nous essayons toutefois d'établir une démonstration valable en n'importe quelle dimension, ceci dans
le but d'établir un premier pas vers le problème vectoriel en élasticité non linéaire. Pour ce faire, nous
employons la méthode d'excision de Solimini [30] qui consiste à démontrer que si la propriété (2) n'a pas
e δ (t) pour lequel l'énergie associée
lieu, on peut modier légèrement Γδ (t) pour construire un ensemble Γ
est strictement plus petite que celle associée à Γδ (t), ce qui contredit la propriété de minimalité de Γδ (t).
5.4 Equation de Helmholtz dans des structures de petite taille
C'est depuis le début de mon post-doctorat au LJK de Grenoble que j'ai commencé à m'intéresser à
des problèmes de diraction d'ondes sur des surfaces rugueuses. Ceci m'a permis de m'initier à la théorie
des équations intégrales ainsi qu'à des techniques d'analyse asymptotique de la fonction de Green de
l'équation de Helmholtz.
En collaboration avec Eric Bonnetier & Faouzi Triki, nous adressons un problème de diraction
d'ondes électromagnétiques (pour des fréquences dans le domaine du visible) sur une surface contenant
un nombre ni de cavités de dimension sub-longueur d'onde. Ce type de problèmes a des applications
immédiates en nano-technologies où l'on montre un intérêt croissant à la fabrication d'objets miniatures
dont la dimension est beaucoup plus petite que la longueur d'onde de la lumière incidente. Nous essayons
ainsi de mettre en évidence la présence d'ondes de surface s'ajoutant aux ondes diractées. Plus précisément, dans le cas de deux cavités de largeur w, de hauteur h et distantes de dw (où d > 1), le domaine
d'étude
Ωw := R2+ ∪
£¡
¢
¤ £¡
¢
¤
(−d − 1)w, (−d + 1)w × (−h, 0] ∪ (d − 1)w, (d + 1)w × (−h, 0]
est un demi plan percé de deux cavités. Il s'agit d'eectuer une analyse asymptotique de la fonction de
Green Gw (x, y) de l'opérateur de Helmholtz
∆Gw (·, y) + k 2 Gw (·, y) = δy
dans D0 (Ωw ),
satisfaisant une condition de Neumann sur ∂Ωw et une condition de radiation de Sommerfeld à l'inni.
Ici y ∈ R2 est une source et k désigne la fréquence.
L'idée consiste à écrire la formulation intégrale de ce problème qui permet de déterminer explicitement
la fonction de Green Gw dans tout Ωw en fonction de sa valeur sur le bord supérieur des deux cavités.
(1)
(2)
Nous obtenons ainsi un système de deux opérateurs intégraux couplés Sw (k) et Sw (k) dépendants à la
fois de w et de k . En utilisant la représentation explicite des fonctions de Green de l'équation de Helmholtz
dans le demi plan R2+ et dans les deux cavités (qui déterminent complètement le noyau des sopérateurs
(i)
intégraux), nous eectuons dans un premier temps un développement asymptotique rigoureux des Sw (k)
par rapport à w. En utilisant des arguments basés sur l'Alternative de Fredholm, il est possible d'inverser
le terme dominant de ces opérateurs. Ensuite, nous cherchons à calculer les résonnances, i.e. les valeurs de
(i)
k pour lesquelles les opérateurs Sw (k) ne sont pas inversibles. Nous constatons que celles-ci convergent
vers les résonnances d'un quadripôle, ce dernier correspondant à la conguration limite des deux
cavités lorsque w → 0.
16
Références
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146, Springer Verlag (2002).
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(1994) 405-425.
[4] N. Ansini : The nonlinear sieve problem and applications to thin lms, Asympt. Anal. 39 (2004)
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[5] N. Ansini & A. Braides : Asymptotic analysis of periodically-perforated nonlinear media, J. Math.
Pures Appl. 81 (2002) 439-451.
[6] F. Béthuel : The approximation problem for Sobolev maps between two manifolds, Acta Math.
167 (1991) 153206.
[7] M. Bocea & I. Fonseca : Equi-integrability results for 3D-2D dimension reduction problems,
ESAIM : COCV 7 (2002) 443-470.
[8] M. Bocea & I. Fonseca : A Young measure approach to a nonlinear membrane model involving
the bending moment, Proc. Royal Soc. Ed. Sect. A 134 (2004) 845-883.
[9] E. Bonnetier & F. Triki : Asymptotic of the Green function for the diraction by a perfectly
conducting plane perturbed by a sub-wavelength rectangular cavity, en préparation.
[10] G. Bouchitté, I. Fonseca & L. Mascarenhas : Bending moment in membrane theory, J.
Elasticity 73 (2003) 75-99.
[11] A. Braides & I. Fonseca : Brittle thin lms, Appl. Math. Optim. 44 (2001) 299-323.
[12] A. Braides, I. Fonseca & G. A. Francfort : 3D-2D asymptotic analysis for inhomogeneous
thin lms, Indiana Univ. Math. J. 49 (2000) 1367-1404.
[13] B. Dacorogna, I. Fonseca, J. Malý & K. Trivisa : Manifold constrained variational problems,
Calc. Var. 9 (1999) 185206.
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