Feuille de TD4 : fin du chapitre 1

Institut galilée
Mathématiques pour l’Informatique 2016
Sylviane R. Schwer
Mars-avril 2016
Feuille de TD4 : fin du chapitre 1
Exercice 1 Il n’y a pas de formule générale donnant nécessairement un nombre premier.
n
Fermat avait cru en trouver une dans la formule 22 +1. Les 5 premiers nombres de Fermat
sont premiers.
1. Montrons que F5 est multiple de 641, comme l’a prouvé Euler. Montrer que cela
revient à prouver que 232 ≡ −1
(mod 641)
2. En remarquant que 641 = 640 + 1 = 625 + 16 Montrer que
(a) 5 × 27 ≡ −1
(b) 54 ≡ −24
(c)
54
×
228
≡1
(mod 641)
(mod 641)
(mod 641)
3. Conclure en en déduisant que −232 ≡ 1
(mod 641).
Exercice 2 [Problème 2, Partiel 2015]
1. Etude de Z/7Z.
(a) Quels sont les éléments de Z/7Z ?
(b) A quoi est congru 14 modulo 7 ?
(c) Quel est le plus petit nombre positif auquel est congru −22 modulo 7 ?
(d) Quels sont les éléments inversibles de Z/7Z ?
(e) Donner la valeur de la fonction d’Euler ϕ(7). A quoi correspond ce nombre ?
2. Etude de Z/8Z.
(a) Quels sont les éléments inversibles de Z/8Z ?
(b) Donner leurs inverses.
(c) Calculer la valeur de la fonction d’Euler ϕ(8). Qu’évalue t-elle ?
3. Etude de Z/56Z.
(a) 35 est-il inversible dans Z/56Z ? Pourquoi ?
(b) Et 33 ? Pourquoi ?
(c) En utilisant la fonction d’Euler, calculer le nombre d’éléments inversibles dans
Z/56Z.
1
(d) Calculer 375 [56].
Exercice 3 CombienZ/79625Z possède-t-il d’éléments inversibles ?
Exercice 4
1. Montrer que ϕ(n) est pair pour tout n > 2.
2. Trouver tous les entiers n tels que ϕ(n) = 4.
3. Montrer qu’il n’existe pas d’entier n tel que φ(n) = 14
4. Trouver tous les entiers n tels que ϕ(n) = 100.
5. Trouver tous les entiers n tels que ϕ(n) 6≡ 0 (mod 4).
Exercice 5 Rappeler le petit théorème de Fermat. Calculer 32435 modulo 17.
Exercice 6 Un nombre de Carmichael1 : 561.
1. Soient m et n deux entier premiers entre eux. Montrer que si x ≡ y [m] et x ≡ y [n]
alors x ≡ y [mn].
2. Décomposer 561 en produit de facteurs premiers. Considérons un entier naturel a
premier avec 561. Montrer que a2 ≡ 1 [3], a10 ≡ 1 [11], a16 ≡ 1 [17].
3. En déduire que a560 ≡ 1 [561]. Que penser de la réciproque du th. de Fermat ?
Exercice 7 Soit p un nombre premier plus grand que 10 et l entier tel que 10l < p < 10l+1
1. Montrer que 97 est un nombre premier.
2. Montrer que si 1 ≤ a ≤ 9 et si n est un entier, les nombres a10n et 97 sont premiers
entre eux.
3. Montrer que si n = (a5 a4 a3 a2 a1 a0 )10 la représentation de n en base 10, alors n ≡
a0 + 10a1 + 3a2 + 30a3 + 9a4 − 7a5 modulo 97
4. Le numéro I.N.S.E.E. d’un individu est constitué de 15 chiffres lus de gauche à droite.
Le premier est 1 ou 2 selon qu’il s’agit d’un homme ou d’une femme.
Le second et le troisième désignent les deux derniers chiffres de l’année de naissance
les 4ème et 5ème le mois de naissance
les 6ème et 7ème le département de naissance
1
Voir l’exercice 15 pour aller plus loin.
2
les 8ème , 9ème et 10ème la commune de naissance
les 11ème , 12ème et 13ème le numéro d’inscription sur le registre d’état civil
les 14ème et 15ème forment une clé K ainsi calculée :
Soit B est le nombre entier constitué des 13 premiers chiffres du numéro
I.N.S.E.E. Soit A le nombre constitué par un numéro I.N.S.E.E. complet.
K = 97 − r avec r ∈ [0, 97[,
r≡100 × B (97)
(a) Vérifier votre numéro d’I.N.S.E.E.
(b) Montrer que B s’écrit de manière unique B = H × 106 + L avec 0 ≤ L < 106
(c) Montrer que r≡97 27 × H + L
(d) Montrer que si un seul chiffre de A est erroné, l’erreur est détectée
(e) Montrer que si deux chiffres consécutifs et distincts sont permutés, alors l’erreur
est détectée
(f) Donner un exemple d’erreur non détectée.
(g) Dire pourquoi K ne permet pas de fournir une preuve de validation du numéro
d’I.N.S.E.E.
Exercice 8 Un numéro RIB (relevé d’identité bancaire) est un nombre à 21 chiffres : les
5 premiers chiffres constituent le code banque (B), les 5 suivants le code guichet (G) et
les 11 suivants le numéro de compte (C).
A tout numéro RIB noté N on associe une clef RIB égale à K = 97 − r où r est le reste
dans la division euclidienne de 100N par 97.
1. En utilisant le fait que N = 1016 × B + 1011 × G + C, montrer que
r ≡ 89 × B + 15 × G + 3 × C [97]
2. On revient au cas général. Montrer que le nombre à 23 chiffres composé de N et K,
100N + K, est un multiple de 97.
En déduire que si l’on fait l’une des erreurs suivantes dans la saisie de ce nombre,
l’erreur est détectée :
- erreur de saisie de l’un des chiffres.
- permutation de deux chiffres consécutifs.
Exercice 9 Soient A un alphabet à 33 caractères que l’on identifiera à Z33 et f, g : Z33 →
Z33 les fonctions f (x) := 19x + 6 (mod 33) et g(x) := 21x + 3 (mod 33), respectivement.
On appelle fonction affine de codage de E → E les fonctions bijectives de la forme ax + b.
1. Les fonctions f et g sont-elles des fonctions de codage affine?
2. Si f (resp. g) est un codage affine, donner sa fonction de décodage et déchiffrer 9 et
17.
3
3. Si f (resp. g) n’est pas un codage affine, trouver x, y ∈ Z33 , x 6= y, tels que
f (x) = f (y) (resp. g(x) = g(y)).
Plus généralement, soient A un alphabet à n caractères que l’on identifiera à Zn et f :
Zn → Zn une application de la forme f (x) := ax + b (mod n) où a, b ∈ Z.
(iv) Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur a et b pour que f soit une fonction
de codage.
(v) Si f est une fonction de codage, donner sa fonction de décodage.
(vi) Quel est le nombre de fonctions de codage affines distinctes sur un alphabet à n
caractères?
Exercice 10
1. Montrer qu’une année ordinaire commence et termine par le même jour de la semaine.
2. Qu’en est-il des années bissextiles ?
3. Sachant que le premier janvier 2016 était un vendredi, quel sera le premier jour de
l’année 2058 ?
Exercice 11 Donner la procédure de calcul dans Z d’une équation de la forme ax ≡ b (n)
puis appliquer à
1. 7x ≡ 2
(15)
2. 7x ≡ 3
(15)
3. 7x ≡ 5
(15)
4. 5x ≡ 2
(15)
5. 5x ≡ 3
(15)
6. 5x ≡ 5
(15)
Exercice 12 La comète de Halley est passée près de la Terre en 1986 et a une période
de 76 ans. ¡la comète Mueller 5 est passée près de la Terre en 1994 et a une période de 13
ans.
1. Passeront-elles la même année près de la Terre ?
2. Quelles seront les années de passage attendues ?
3. Quelle est la prochaine année de passage des deux comètes.
4
Exercice 13 Combien l’armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par trois
colonnes il reste deux soldats, rangés par cinq colonnes, il reste trois soldats, et rangés par
sept colonnes, il reste deux soldats ?
Exercice 14 En 1583, le Romain Joseph Justus Scaliger a introduit la période julienne
de 7980 ans, sur laquelle est fondée le calendrier julien toujours utilisé par les astronomes.
Nous allons en expliquer l’origine et déterminer son année origine n0 . Nous rappelons
qu’une année julienne comporte 365 ou 366 jours selon le cycle suivant : 3 années de 365
suivie d’une année de 366 jours, soit un cycle régulier de 4 ans. On rappelle qu’il y a 7
jours dans une semaine.
Numérotation d’une année : dans le système grégorian, l’année 1AEC (avant l’Ere Commune) est suivie par l’année 1EC, soit -1 est suivi par +1, ce qui pose problème mathématiquement. Nous représentons donc nEC par +n et nBEC par -n+1. L’année 0 est l’année
-1BEC.
1. Décomposer 7980 en puissance de nombre premiers
2. Montrer que 28, 15 et 19 sont trois diviseurs de 7980 qui sont premiers deux à deux.
3. Montrer que tous les 28 ans, le premier janvier tombe un même jour de la semaine.
Le cycle de 28 ans est donc un cycle hebdo-solaire, généralement appelé cycle solaire.
On appelle nombre solaire d’une année son rang dans le cycle solaire.
4. Sachant que l’année 1560 du calendrier julien a pour nombre solaire 1, comme l’année
origine n0 , montrer que
n0 ≡ 20 (28)
(0.0.0.1)
Le cycle de 19 ans correspond au cycle de Méton, astronome grec du cinquième siècle
avant l’ère commune, et correspond à la période qui permet de retrouver les phases
lunaires aux mêmes dates dans l’année (de façon approximative puisqu’il faut 235
mois synodiques). le nombre associé est le nombre d’or2 En 532, Dionysius proposa
un cycle pascal de 532 ans de nombre 1 pour l’année 03 , et donc aussi 1 pour l’année
532. 1 est également le nombre d’Or de l’année n0 . Montrer que
n0 ≡ 0
(19)
(0.0.0.2)
Le cycle de 15 ans correspond au cycle de l’indiction, cycle de taxation introduit par
Dioclétien en +287 et officialisé par Constantin en +313, qui a donc pour nombre
d’indiction 1, comme l’année n0 .
5. Montrer que
n0 ≡ 13
2
3
(15)
Ce n’est pas celui associé à la suite de Fibonacci, solution de x2 − x − 1 = 0.
année 1BEC, année conventionnelle de l’incarnation du Christ
5
(0.0.0.3)
6. Montrer que pour trouver n0 , on peut appliquer le théorème des restes chinois et
justifier que pour calculer n0 , il suffit de résoudre séparément les trois équations :
532x15 ≡ 1
(15)
(0.0.0.4)
420x19 ≡ 1
(19)
(0.0.0.5)
285x28 ≡ 1
(28)
(0.0.0.6)
(a) Réduire et calculer l’ensemble des commencement possibles de périodes juliennes.
7. En déduire que -4712 soit 4713 AEC est le début de notre cycle julien.
Exercice 15 [Facultatif] Nombre de Carmichael : Pour aller plus loin
Soit a un nombre entier ≥ 2 et n premier avec a. On dit que n est a-pseudo-premier
si an−1 ≡ 1 (mod n). Le test de primalité probabiliste le plus simple, basé sur le petit
théorème de Fermat, consiste a vérifier (en utilisant l’exponentiation rapide) que le nombre
testé est a-pseudo-premier pour plusieurs bases a. Cependant, un défaut de cet algorithme
est qu’il existe des nombres non-premiers qui sont a-pseudo-premiers pour tout a. On les
appelle les nombres de Carmichael.
(i) Soit n un entier non-premier sans facteurs carrés et tel que pour tout nombre premier
p divisant n, p − 1|n − 1. En utilisant le petit théoreme de Fermat et le théorème
chinois, montrer que n est un nombre de Carmichael. On admettra dans la suite de
l’exercice que la réciproque est vraie (critère de Korselt).
(ii) En utilisant le critère de Korselt, montrer qu’un nombre de Carmichael a au moins
trois facteurs premiers.
(iii) Montrer que 561, 1105 et 1729 sont les trois plus petits nombres de Carmichael.
(iv) Monter que si k est tel que 6k + 1, 12k + 1 et 18k + 1 sont tous les trois premiers,
alors leur produit est un nombre de Carmichael, et vérifier que 1729 est de cette
forme.
On sait (seulement depuis 1994 !) qu’il existe une infinité de nombres de Carmichael.
Cela n’empêche pas le test de Fermat d’être utilisé dans certaines situations, mais montre
l’intérêt de tests plus fins comme le test de Miller-Rabin.
6