Calculs du taux de rendement interne

Calculs du taux de rendement interne
Mickaël Clévenot
8 novembre 2014
Exercice 1 :
Un projet d’investissement dont le coût initial est de 5000 euros et le chiffre d’affaire après 1 an est de
6000 euros. Déterminer le taux de rendement interne (TRI) du projet.
Exercice 2 :
Supposons que le projet ait une durée de vie de 2 ans et que le chiffre d’affaire soit respectivement de
4000 euros la première année et de 2500 euros la deuxième année. Quelle sera la valeur du taux qui
annulerait la valeur actualisée nette ?
Solution
Pour calculer le TRI, il est nécessaire de définir préalablement la valeur actualisée nette (VAN). La
VAN correspond à la valeur actualisée du projet moins les coûts induits par la réalisation de ce projet.
La valeur actualisée d’une somme d’argent vise à évaluer la valeur d’une somme d’argent dans le future
de façon en donner son équivalent aujourd’hui. Pour bien comprendre cette idée, il est utile de revenir
à la formule de la capitalisation. La capitalisation vise à connaitre la valeur d’une somme d’argent dans
le future à partir d’une somme d’argent maintenant que l’on aurait placée à un taux d’intérêt r. La
difficulté de cette formule tient essentiellement à la notion de taux d’intérêt composé.
Vt = V0 ∗ (1 + r)t
(1)
V0 correspond à la valeur placée en début de période. Vt correspond à la valeur capitalisée en fonction
de t, le nombre d’années durant lesquelles on aura placé son argent. Si on place 100 durant une année
au taux r = 0.05, la valeur de la somme détenue l’année suivante sera de 105.
105 = 100 ∗ (1 + 0.05)(1)
(2)
Si on détient cette même somme d’argent durant 2 année, le montant capitalisé ne sera pas égale à
110, mais légèrement plus car le taux d’intérêt lors de la seconde année ne portera plus sur 100, mais
sur 105. On peut se servir des puissances pour simplifier les calculs.
110, 25 = 100 ∗ (1 + 0.05)(1) ∗ (1 + 0.05)(1) )
(3)
Entre crochet, on a la valeur capitalisée de la première année à laquelle on applique le taux d’intérêt
pour trouver la valeur capitalisée à la fin de la seconde année. On peut réduire l’écriture de cette formule en la factorisant ainsi.
110, 25 = 100 ∗ (1 + 0.05)(2)
(4)
L’actualisation c’est le raisonnement inverse de la capitalisation. Dans un an, ma somme d’argent de 105
ne vaut en réalité que 100 maintenant car si j’avais placé cette somme d’argent maintenant, il m’aurait
fallu 100 pour avoir 105 dans un an avec un taux d’intérêt de 5 %. Dans la logique de rentabilité qui est
1
celle du TRI, je dois pouvoir rapporter des flux monétaires dans le future à leur valeur de maintenant.
C’est pour cette raison que l’on doit actualiser les chiffres d’affaire dégagés par les différents projets
d’investissement.
V0 =
V1
=VA
(1 + r)1
(5)
Cette formule de la capitalisation n’est valable que pour une période, si on souhaite généraliser à n
périodes, on aura la formule suivante qui découle directement de la factorisation de l’équation de capitalisation précédente et de l’usage des puissances (des intérêts composées). La somme permettant de
facilité une écriture plus fastidieuse qui aurait la forme suivante
V0 =
n
X
i=1
Vn
=VA
(1 + r)n
(6)
La somme permettant de faciliter une écriture plus fastidieuse qui aurait la forme suivante
V0 =
V2
V3
V4
V1
+
+
+
1
2
3
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)4
(7)
Les équation
P 6 et 7 sont équivalentes simplement l’écriture de l’équation 6 est facilitée par le fonction
somme
Lorsque les flux de revenus sont constants on peut utiliser une formule qu’on ne démontrera
pas ici, car elle mobilise l’outil des suites. Si les flux de revenus sont constants on pourra utiliser cette
formule :
1 − (1 + r)−n
(8)
V A = V0 ·
r
Pour la VAN comme précédemment on soustrait l’investissement initial :
V AN = V0 ·
1 − (1 + r)−n
− I0
r
(9)
et le TRI :
0 = V0 ·
1 − (1 + r)−n
− I0
r
(10)
Dans le passage à la valeur actualisée nette, on retire les coûts de mise en œuvre du projet. Dans
nos petits calculs, pour simplifier les choses, on suppose que les coûts ne portent que sur la première
année alors qu’en réalité l’entreprise devra payer des salaires, amortir son capital sur l’ensemble des
périodes d’existence du projet, payer des impôts, des taxes, des frais financiers. On fait abstraction de
ces éléments ici, les coûts de l’investissement à la période initial sont notés I0 .
V0 =
n
X
i=1
Vn
− I0 = V AN
(1 + r)n
(11)
On rappelle que le taux de rendement interne est le taux de rendement pour lequel la valeur actualisée
nette du projet est nulle. Les valeurs connues et fixées sont les flux de revenus et le coût de l’investissement initial. L’inconnue est donc constituée par le taux r. L’annulation de la VAN va consister à
résoudre l’équation suivante :
0=
n
X
i=1
n
X Vn
Vn
−
I
⇒
I
=
0
0
(1 + r)n
(1 + r)n
i=1
(12)
Calculer le TRI revient donc à répondre à la question suivante. A partir de quel taux de rendement
d’un projet est-il préférable d’investir sur le projet plutôt que placer son argent ? Par extension, ce
calcul permet de comparer différents projets. Ces projets pouvant avoir des durées différentes, alors
qu’avec la seule VAN en niveau on ne peut comparer que des projets de même durée.
2
Projet 1 Dans un premier temps on va écrire la VAN. Pour une seule période on peut utiliser la
formule simple sans la sommation.
V AN =
6000
(1+r)
V1
6000
− 5000 = 0
− I0 =
1
(1 + r)
1+r
= 5000 ⇒ 6000 = (1 + r) ∗ 5000 ⇒
6
5
=1+r ⇒
6
5
(13)
− 1 = 1, 2 − 1 = 0, 2
Le TRI vaut donc 20 %
Projet 2 Dans ce second exercice les flux de revenus sont différents et portent sur plus d’une période
on est obligé de recourir à la formule étendue (équation 7). Si les revenus avaient été identiques sur
l’ensemble des périodes on aurait pu utiliser directement la formule ”contracté” (équation 6). On
précisera ensuite dans une extension de l’exercice.
Pour calculer le TRI posons la VAN.
V AN =
2500
4000
+
− 5000
1 + i (1 + i)2
(14)
Il s’agit d’une équation du second degré. Nous allons donc devoir mobiliser la formule canonique pour
calculer le déterminant et le nombre de racines.
Pour rappel la formule canonique de l’équation du second degré :
a · x2 + b · x + c = 0
(15)
2500
4000
+
− 5000 = 0
1 + r (1 + r)2
4
2, 5
T RI =
+
−5=0
1 + r (1 + r)2
T RI = 8 · (1 + r)−1 + 5 · (1 + r)−2 − 10 = 0
T RI =
On a essayé de se rapprocher de l’équation canonique, mais
un problème avec le facteur
on a toujours
1
−1
devant a, b et c. Pour l’éliminer on va poser que x = 1+r = (1+r) et donc x2 = (1+r)−2 L’équation
canonique peut donc être réécrite de la façon suivante :
5 · x + 8 · x2 − 10 = 0
(16)
Ici a = 5, b = 8 et c =-10. On rappelle la formule du déterminant : ∆ = b2 − 4 · a · c Si le déterminant
est négatif, on a 2 racines avec une partie imaginaire. On ne saurait pas quoi en faire. Si le déterminant
est égal à zéro on une seule racine. Si le déterminant est positif on va obtenir 2 racines.
∆ = 82 − 4 · 5 · (−10) = 264
Le déterminant est positif, on doit identifier 2 racines :
X1 =
√
−b+ ∆
2·a
=
√
−8+ 264
2·5
= 0, 8248
et
X2 =
√
−b− ∆
2·a
=
√
−8− 264
2·5
= −3, 2498
X2 étant négatif, on ne retiendra que X1 . A présent, nous sommes donc en mesure de déterminer le
1
TRI en retransformant la variable. On sait que X = 1+r
En substituant X on a donc :
1
(1 − 0, 8248)
0, 8248 =
⇔ 0, 8248 · r + 0, 8248 = 1 ⇒ i =
⇒ r = 0, 2124 ' 21, 24 %
1+r
0, 8248
3
Si on avait du choisir entre les 2 projets et que l’entreprise n’ait pas de problème de trésorerie, on aurait
eu tendance à privilégier le second projet dont la rentabilité est légèrement supérieure 21 % contre 20
% pour le premier projet. En extension de cet exercice on peut considérer la situation suivante. Si
l’entreprise doit dépenser 10 000 et qu’elle compte récupérer 3000 de chiffre d’affaire durant 4 ans.
Est-ce un meilleur projet que ceux vu jusqu’à présent.
Projet 3 : Dans cette configuration du problème on va pouvoir immédiatement mobiliser la formule
de l’équation 10.
0 = V0 ·
1 − (1 + r)−4
1 − (1 + r)−n
− I0 ⇒ 10000 = 3000 ·
− I0
r
r
(17)
Nous voilà face à un problème qui dépasse de loin le cadre du cours d’une L1 de science éco, mais
pour le plaisir de mobiliser Excel et maxima, on va opérer une résolution graphique puis une résolution
par logiciel. On va inscrire l’équation dans Excel et faire varier r jusqu’à qu’on se situe à proximité de
zéro. Lorsqu’on aura identifié l’intervalle entre 2 unités on se trouvera à proximité de la valeur de r qui
annule la VAN. Enfin, on réalisera une interpolation linéaire pour déterminer avec plus de précision la
valeur du TRI. Le fichier Excel de la correction est disponible lien
http://mickael-clevenot.fr/IMG/xlsx/tri_4.xlsx
Figure 1 – Le TRI obtenu par résolution graphique sous Excel
Lors d’un exercice, les étudiants n’auront pas accès à un ordinateur, pour résoudre cet exercice on
pourra donner des indications sur la zone où il faut chercher le TRI. Ainsi on indiquera de chercher le
TRI entre les bornes de 5 et 10 %. Dans ce cas on pourra demander aux étudiants de fournir le TRI par
la méthode de l’interpolation linéaire à partir des taux qui encadrent le Tri à plus ou moins 1 %. Ici on
4
voit que le Tri se situe entre 7 et 8 %. Sans ordinateur, il faut entrer la formule dans la calculatrice et
tester si on se trouve au dessus ou en dessous de zéro. L’interpolation linéaire va consister à supposer
que l’on puisse considérer le TRI comme une fonction linéaire, une droite. Sur le graphique tirer une
droite au dessus de la courbe apparaı̂t comme une approximation raisonnable de la fonction qui est
trop compliquée pour qu’on puisse la résoudre mathématiquement. Dans ce cas on va pouvoir réaliser
un produit en croix pour obtenir une bonne approximation du TRI.
Dans un premier temps, par tâtonnement, on aura identifié que le TRI se trouve entre 7 et 8 %. La
valeur de la VAN vaut 161,63 et -63,61. La distance entre la borne haute et la borne basse vaut 161,63(-63,61) = 225,25. 1 % de la VAN doit correspondre à 1% de taux d’intérêt. L’écart à 0 à la VAN est de
161,63
= 71, 75% Le TRI interpolé vaudra donc 7 + 0,7175
161,63 en partant de 7%. 161,63 représente 225,25
= 7,7175 %.
Avec Maxima, notre grosse calculatrice scientifique libre et gratuite, on obtient le résultat suivant avec
cette ligne de commande où on lui demande de résourdre notre équation du 4ème degré :
{solve([3000*(1-(1+x)^-4)/x -10000], [x]); }
Ce résultat est donné pour la beauté des racines... En valeur approchée on obtient : 7,71 %. Le TRI
constitue une approximation de l’efficacité marginale du capital. Une approximation car chez Keynes la
possibilité de prévoir est limitée, on se trouve face à une incertitude radicale. La possibilité de prévoir
les flux de revenus à venir paraı̂trait impossible à Keynes. Pourtant, même si on se trompe, il semble
toujours utile d’essayer de prévoir ces flux. Poser des hypothèses revenus permet de voir si un projet
n’est pas trop fragile a priori. De plus, afin de formaliser le comportement des entrepreneurs, on supposera que l’on se trouve en capacité de réaliser une bonne prévision. En tout cas, on fait comme si
et ça permet de donner aux étudiants les intuitions qui guident le raisonnement que les économistes
prêtent aux entrepreneurs.
Pour Keynes au final sans capacité de prévision efficace, les entrepreneurs au delà de calculs imparfaits
s’en remettront à leur bonne étoile. C’est donc les esprits animaux qui gouvernent les choix d’investissement des entrepreneurs. Les esprits animaux sont à prendre au sens où les entrepreneurs ont des
comportements différents du reste de la population, ils sont capables de prendre plus de risque mais ils
ont également des comportements qu’on pourrait qualifier de cyclotomique, lorsqu’ils sont optimistes,
ils sont très optimistes et lorsqu’ils sont pessimistes, ils sont trop pessimistes.
Si on a du mal à prévoir le niveau d’investissement en fonction des prévisions ce que l’on peut dire
sans difficulté est que la volonté d’investir des entreprises sera d’autant plus forte que le rendement de
l’épargne sera faible.car la philosophie du TRI c’est d(identifier le coût d’opportunité entre un investissement financier et un investissement physique. On observe donc une relation négative entre le taux
d’intérêt et le taux d’investissement. Ce raisonnement tient lorsque l’environnement global des entreprises ne change pas. Mais si la conjoncture se dégrade, les entreprises vont former des prévisions à la
baisse de la demande globale de l’offre globale et finalement de la demande effective ce qui va conduire
à un déplacement vers le bas de la courbe représentant l’efficacité marginale du capital. On passe de
EM C0 à EM C1 sur la graphique. Si l’environnement n’avait pas changé une baisse du taux d’intérêt
aurait du faire passer l’investissement de I0 à I1 , mais avec la baisse de morale, la réduction du taux
d’intérêt n’a aucun effet lorsqu’on passe de EM C0 à EM C1 . Dans ce cas, une réduction même importante des taux d’intérêt pourrait ne pas relancer l’investissement privé. Cette situation d’incertitude
sur les carnets de commandes, les débouchés est appelée trappe à liquidité car les banques centrales
ont beau essayer d’accroı̂tre la liquidité en baissant les taux d’intérêt, l’investissement ne redémarre
5
Figure 2 – Efficacité marginale du capital en fonction du climat des affaires
pas ou pas autant qu’aurait pu le laisser espérer la baisse des taux.
Cette atonie de l’investissement est largement liée à la faiblesse des perspectives sur la demande. Les
ménages sont inquiets. La hausse du chômage conduit à une montée de l’épargne de précaution et les
plus malins attendent que les prix baissent pour des achats importants. Mais ce comportement d’attente
s’il est rationnel pour un individu pose de gros problèmes au niveau global puisqu’il risque d’enclencher
le phénomène le plus violent pour l’économie capitaliste, la déflation. La déflation apparaı̂t lorsqu’on
assiste à une montée des taux d’intérêt en raison d’une diminution plus rapide de l’inflation que des
taux nominaux.
Dans cette situation, la politique à privilégier est la politique budgétaire. Mais la situation des finances
publiques dans de nombreux pays européens limite le recours à cet instrument au niveau national.
D’autre part, une relance non concertée conduirait rapidement à la dégradation de la balance commerciale et probablement de la situation financière dans le pays qui tenterait de la conduire seul et à
contre-courant (cf. 1981 en France). L’une des solutions consisterait à demander des efforts en terme
de relance aux pays qui ont des situations financières assainies. L’Allemagne s’est engagée à créer un
salaire minimum, cela pourrait relancer un peu l’économie. Un plan de relance coordonné au niveau
de l’union monétaire, voire de l’Europe entière, financé par la Banque Européenne d’Investissement
BEI. Ceci permettrait d’éviter d’endetter individuellement des pays qui sont en situation de fragilité
financière tout en autorisant une relance budgétaire. Ces dépenses pourraient servir à la transition
écologique, isoler les bâtiments anciens tout en relançant le secteur de la construction en souffrance...
Des considérations plus circonstancielles en matière de politique économique nationale. La situation
financière des entreprises françaises est mauvaise ce qui justifie un soutien de la part du gouvernement à
travers le CICE et le pacte de responsabilité et de solidarité qui vise à réduire le coût du travail afin de
réduire la chômage et améliorer la rentabilité des entreprises. Cette politique d’offre pourrait néanmoins
se heurter à la faiblesse de la demande, si les efforts réalisés ne permettaient pas aux entreprises de
regagner suffisamment de compétitivité, c’est à dire des débouchés plus importants à l’extérieur car
6
à l’intérieur la faiblesse de la demande devrait se maintenir. Ces efforts seront-ils payant ? On peut
en douter car la restauration de la compétitivité française nécessite une réduction des coûts de production nettement plus forte que ce que vont autoriser les politiques mises en œuvre récemment. Les
économistes spécialistes du commerce extérieur chiffrent à au moins 20 % la réduction des coûts de
production nécessaires pour restaurer la compétitivité. Tout ceci en l’absence d’une politique de change
autonome nécessiterait une baisse radicale des salaires. Mais d’un autre côté, les salaires et la demande
des ménages constitue le dernier moteur de la croissance. Le déstabiliser pourrait provoquer la déflation.
Comme vous pouvez le constater la situation est complexe et nécessite l’expertise des économistes,
mais en dernière analyse ce sont les politiques qui décident. Si les choses sont bloquées en Europe c’est
largement lié aux intérêts contradictoires des États qui forment l’union monétaire. Et c’est souvent la
peur de l’approfondissement de la crise qui permet de dépasser temporairement ces conflits nationaux.
Espérons que des solutions plus coopératives seront adaptées avant que l’Europe ne sombre dans la
déflation.
Le choix des études de science économique permet de construire une grille d’analyse du fonctionnement
du monde à travers les relations économiques qui, si elles n’épuisent pas toute la complexité de la
société, en constituent néanmoins une donnée majeure. Les débouchés sont nombreux car nous avons
maintenu un niveau d’exigence important tant dans les matières quantitatives que dans les domaines
plus littéraires : comme les matières de méthode et enjeux de l’économie, la sociologie, ou encore l’histoire de la pensée économique. L’examen terminal de macroéconomie est constitué par une dissertation
où les les éléments quantitatifs et théoriques doivent mobiliser ensemble dans la rédaction d’un texte
cohérent où finalement les aspects quantitatifs et littéraires marchent de paire. Sorti de la licence
d’économie de Dijon avec une moyenne raisonnable vous pourrez postuler sans rougir à de nombreux
masters à Dijon et ailleurs.
PS. Le cours que j’ai tenté de délivrer dans les conditions particulières que vous savez n’est pas
représentatif de ce que je fais habituellement. Les conditions particulières de cet exercice n’ont pas
été très favorables. Pour vous en assurer, j’ai réalisé pour vous cette correction très approfondie. J’ai
choisi cet exercice car je souhaitais réaliser un lien avec vos cours de math et d’éco du lycée pour vous
montrer que ce que vous apprenez au lycée vous servira directement chez nous.
Les difficultés que j’aurais eu à faire passer ce message peuvent avoir comme effet positif de clairement
vous montrer qu’il ne faut pas être fâché avec les mathématiques pour venir vers nous, même si une
bonne compréhension des mécanismes économiques doit permettre de réussir en L1 malgré quelques
faiblesses en math. Difficultés qu’il faudra combler tout ou tard. Les modules de tutorats que nous
organisons sont là pour ça. Nous avons collectivement fait le choix de maintenir un niveau important
en math pour vous offrir un éventail plus grand de débouchés et aussi pour les prépas de l’ENS Cachan
que nous accueillons en L1 et L2 dans le cadre d’une prépa intégrée avec le lycée Eiffel. À ce propos,
j’attire votre attention sur l’existence d’une convention qui permet pour ceux qui auraient hésité avec
une prépa et qui auront d’excellents résultats en 1ère année de pouvoir éventuellement intégrer directement la prépa en L2. 6 étudiants l’année dernière ont bénéficié de ce dispositif.
Enfin, je dois bien l’avouer j’ai été peiné par l’attitude négative de certains qui ne m’aura pas permis de finir ma démonstration dans de bonnes conditions. C’était la première fois que nous recevions
autant de lycéens. Pour vous c’était aussi très nouveau, aussi je souhaiterais que vous ne vous fassiez
pas une idée définitive sur l’économie à Dijon à partir de cet échantillon de cours peu représentatif.
Nous avons beaucoup à vous offrir. Nous sommes tous très impliqués dans cette mission de transmission de connaissances. La longue correction que je vous transmets en constituera je l’espère une bonne
démonstration.
En espérant vous revoir nombreuses et nombreux l’année prochaine en L1 d’économie
Mickaël Clévenot
ère
Directeur de la 1 année d’économie de Dijon.
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