Cours de Modélisation Moléculaire :

Cours de Modélisation Moléculaire :
Introduction
Modélisation moléculaire = Description des molécules et de leurs interactions.
Expériences in vivo, in vitro et in silico.
BioInformatique (il n’existe pas de termes pour physico-informatique)
En fait, BioInformatique == biologie in silico
Champ d’applications : Analyse de séquence, Modélisation moléculaire.
Cherche à connaître la structure 3D des molécules et leurs interactions.
Le point de vue est ici « atomique ».
Chimie quantique :
C’est la théorie qui explique la liaison chimique et la réactivité chimique.
C’est seulement dans les années 1960 que la molécule d’hydrogène a été calculée
complètement (précision de 6 chiffres).
Mais les calculs de mécanique quantique sont applicables seulement sur des
systèmes de quelques dizaines d’atomes.
(Analogie avec le début du siècle : on ne peut résoudre des systèmes à grand
nombre de variables : thermodynamique statistique)
Mécanique moléculaire :
Utilisation de la mécanique newtonienne pour approcher les structures des
molécules. On va modifier les coordonnées des atomes afin d’avoir la
conformation de la molécule à l’état d’énergie minimum (en fait, un cliché de la
molécule dans des conditions statiques à 0°K). Le modèle représente les atomes
dans les molécules par des « boules de mousse électrifiées et reliées par des
ressorts ». L’ensemble des constantes de force et coefficients d’interactions pour
les forces s’exerçant est appelé champ de force : ses paramètres sont basés sur
des calculs de spectroscopies, de mécanique quantique et optimisés sur des
structures connues.
Pour trouver la géométrie optimum d’un ensemble d’atomes, il faut minimiser 3
coordonnées cartésiennes par atome (pour une protéine de 1000 atomes = 3000
coordonnées cartésiennes). Donc il faut trouver le minimum d’une fonction
(l’énergie) dans un espace à quelques milliers de variables. Toutes les méthodes
d’optimisation connues ne peuvent trouver qu’un minimum local (cf. “plateau
d’oeufs”). On ne sait pas trouver un minimum global d’énergie : donc on n’est
jamais sur de trouver ce minimum global de l’énergie pour une molécule. Il
existe des méthodes (ex : Monte-Carlo) qui permettent d’approcher ce minimum
global.
Enfin, la modélisation moléculaire est utilisée pour le raffinement des structures
obtenues par diffraction des rayons X et RMN
Dynamique moléculaire :
On sait que les structures ne sont pas figées aux températures auxquelles on veut
les étudier. On va simuler le mouvement des atomes d'une molécule en intégrant
les équations de Newton F = ma (F vecteur force, a : vecteur accélération). Les
atomes sont alors modélisés par des « boules de mousse en mouvement
électrifiées et reliées par des ressorts ». Pour un système de milliers d’atomes, on
calcule les forces sur chaque atome, puis leur accélération, et enfin leur vitesse,
leurs nouvelles positions, et donc les nouvelles forces. Vu que les forces changent
suivant les positions des atomes, il faut calculer avec des pas petits (pas
d’intégration) : on prend des pas de 1 femtoseconde (10-15 seconde), si on prenait
des pas plus grands, la simulation serait plus fausse, car les forces auraient
réellement changé pendant le pas d’intégration, et ce changement n’aurait pas
été pris en compte. Exemple : modèle de Karplus : Hémoglobine, l’atomes
d’oxygène est piégé et ne peut pas sortir ou entrer dans le site de l’hème. Karplus
a trouvé par des calculs de dynamique moléculaire un canal par lequel l’oxygène
peut passer, ce canal est ouvert ou fermé.
Applications : Pharmacologie (drug design), enzymologie.
Considération préliminaires - Chimie quantique
Interactions, force et énergies.
Il est conventionnel de parler de classes différentes d'interactions agissant entre
les atomes comme des "forces" (exemple, force de van der Waals, donner une
équation pour l'énergie potentielle d’une interaction particulière. Les interactions
électromagnétiques dominent à l'échelle moléculaire (les interactions
gravitationnelles et nucléaires étant complètement négligeables à l'échelle de la
chimie). Le comportement d'une molécule peut être décrit complètement par
l'équation de Schrödinger : Hˆ Ψ(x1 , x2 , ...) = EΨ(x1 , x 2, ...)
où x sont les positions du noyau et des électrons de la molécule, Ψ est la fonction
d'onde qui contient toute l'information sur les propriétés dynamiques du
système et E est l'énergie pour l'état. L'opérateur Hamiltonien est donné par :
n
ziz j e2
−h 2 n n
Hˆ = ∑
pi + ∑ ∑
i =1 2m
i =1 j =i +1 4πε 0 x i − x j
• où n est le nombre de particules, mi est la masse de la particule i, zi sa charge
et les autres symboles ont leur signification conventionnelle (p : quantité de
mouvement, ε0 permittivité du vide, h constante de Planck / 2π). Le premier
terme correspond à l'énergie cinétique classique et le deuxième à l'énergie
électrostatique (Coulomb). Les propriétés de toutes les molécules sont
gouvernées par cette équation (en excluant les petits effets dus à des
considérations relativistes). La chimie quantique peut (théoriquement) traiter
toutes interactions moléculaires. Malencontreusement, la solution de cette
équation n'est pas possible analytiquement même pour la molécule la plus
simple H2+ (cad. deux protons et un électron), sans faire une approximation.
L'approximation de Born-Oppenheimer
Born et Oppenheimer (Ann. Phys. 84 :457-484, 1927) ont montré qu'une bonne
approximation était de traiter isolément les distributions nucléaires et
électroniques d'une molécule. La diffusion électronique peut être considérée
pour un certain ensemble de positions nucléaires fixées. L'approximation
s'appuie sur la grande différence de masse entre noyaux et électrons (un
électron voit un noyau « immobile »). Cette approximation permet la description
d'une configuration structurale moléculaire en termes de position nucléaire de
chaque atome : la description empirique - utilisée en mécanique moléculaire d'une molécule dans des termes d'angles ou de longueurs de liaison s'appuie sur
la validité de l'approximation de Born-Oppenheimer.
Sujette à cette approximation, l'énergie pour une molécule de N noyaux et n
électrons est donnée par :
où R sont les vecteurs de position du noyau et le Zi les charges. Le premier
terme représente la contribution à l'énergie potentielle due à des interactions
entraînant les électrons, le second est simplement un terme classique
Coulombien donnant l'interaction répulsive entre les noyaux chargés de la
molécule. La fonction d'onde électronique et l'énergie potentielle sont données
par :
Hˆ électronsΨ(r1 ,r2 ,...) = EélectronsΨ(r1 ,r2, ...)
L'opérateur Hamiltonien pour la contribution des électrons à l'énergie est
donnée par :
n_ elec
n_elec
n_ elec n _elec
zj e2
−h
e2
Hˆ electrons = ∑ { pi2 − ∑
}+ ∑ ∑
i =1 2m
j =1 4 πε 0 ri − Rj
i =1 j = i+1 4 πε 0 ri − rj
où m est la masse de l'électron ri et rj sont les vecteurs de position pour les
électrons, Ri et Rj pour les protons. Le premier terme de la somme correspond à
l’énergie cinétique des électrons, le second à l'interaction entre les électrons et les
noyaux et le troisième les interactions électrons-électrons.
La solution des équations ci-dessus est la base du domaine d'étude de la chimie
quantique.
L'idée fondamentale des méthodes de chimie quantique est de trouver la
distribution des électrons pour un ensemble fixé de positions nucléaires
décrivant la molécule (voir ci-dessus l'approximation de Born-Oppenheimer). Par
l'application d'une procédure de minimisation d'énergie, la géométrie de la
molécule peut être optimisée. La chimie quantique ab initio part des principes
fondamentaux en n'utilisant rien d'autre. Cela permet la considération d'espèces
"exotiques" ainsi que de molécules plus conventionnelles. Les réactions chimiques
peuvent être suivies et ces méthodes sont très utiles dans la chimie organique.
La méthode LCAO
La méthode LCAO, communément employée, exprime une orbitale moléculaire
(MO) comme une Combinaison Linéaire des Orbitales individuelles Atomiques
pour la molécule :
atomes
Ψmoléculaire =
∑C Φ
k
k
k =1
Le principe de variation peut être exploité pour trouver des valeurs des
coefficients Ck . Le principe énonce que la valeur attendue <E(ρ)> de
l'Hamiltonien H calculé avec toute fonction ρ :
ρ * Hˆ ρdτ
∫
E (ρ ) =
∫ ρ*ρdτ
doit se trouver au-dessus de l'énergie vraie d'état fondamental (l'intégration est
sur tout espace). Autrement dit, si nous avons une fonction d'onde pour la
molécule et que nous faisons un changement qui abaisse l'énergie alors la
nouvelle fonction est une meilleure approximation de la vraie fonction d'onde du
système. Ainsi, la valeur optimale pour les coefficients Ck peut être trouvée en
ajustant les coefficients afin de minimiser l’énergie moyenne de la fonction
d’onde moléculaire E(Ψmoléculaire)
Une complication supplémentaire survient à cause du dernier terme de
l’Hamiltonien qui décrit la répulsion électron-électron. Sans ce terme, il serait
possible d'employer la méthode de séparation de variables pour résoudre
l'équation de Schrödinger indépendamment pour chaque électron, mais ce n'est
pas possible quand ce terme est pris en considération.
L'approximation standard, développée par Hartree et Fock, permet d'éviter ce
problème en supposant que chaque électron se déplace dans le champ moyen du
noyau et des autres électrons. Un ensemble initial de fonctions d'onde est
approché pour la molécule. Dans l'approche LCAO, une série de fonctions fixées,
appelée l'ensemble de base (basis set), est choisi (cet ensemble doit au moins
donner une représentation de chaque orbitale atomique de chaque atome) et la
configuration initiale est un ensemble de coefficients Ck (n.b. celui-ci doit
satisfaire le principe de Pauli et être antisymétrique). Le coefficient optimal pour
chaque orbitale atomique est trouvé chacun son tour tandis que les autres
orbitales sont figées. La procédure continue jusqu'à ce que tous les coefficients ne
varient plus et devient « self-consistent ». La méthode est connue sous le nom de
SCF (« self-consistent fields » ou « champs auto-consistant ».
Elle est connue sous le nom de calcul ab initio et a le grand avantage qu'une
molécule peut être traitée sans utiliser de paramètres dérivés empiriquement. La
précision est raisonnable - pourvu qu'une base de fonction d'une taille
raisonnable soit employée - et des méthodes existent pour réduire les erreurs de
l'approximation des SCF, en considérant la corrélation des électrons dans le
calcul. La géométrie d'un modèle peut être améliorée en calculant l'énergie pour
une série de positions nucléaires, et en utilisant une procédure de minimisation
d'énergie (par exemple, en variant Ri afin de minimiser l'énergie potentielle). Son
grand problème est dans son coût de calcul - proportionnel à n3.5 où n est le
nombre de fonctions de base employées pour le calcul. Donc, il est très coûteux à
améliorer l'exactitude d'une simulation pour une petite molécule, ou de
modéliser une molécule plus grande. La limite pratique du calcul est à peu près
de dix d'atomes (Weiner et al., 1984; Singh et Kollman, 1984). Des simulations
quantiques semi-empiriques (telles Qu’AMI : Dewar et al., 1985), dans lequel des
approximations et des données empiriques sont introduites des les calculs de SCF
permettent de pousser cette limite. Cependant les techniques sont de loin trop
coûteuses pour être appliquées à la plus petite protéine.
Supposons qu'on puisse résoudre les équations de Schrödinger pour tous les
noyaux et électrons dans le système d'intérêt (cad., un enzyme, son substrat et
un ensemble de molécules d'eau) pour toutes les positions nucléaires dans un
temps raisonnablement court : cette méthode alliée alors avec la dynamique
moléculaire (et d'autres techniques) rendrait possible la compréhension de la
dynamique structurale et des propriétés et réactions chimiques d'une protéine à
partir des principes de bases.
Il est impossible d'appliquer ces méthodes aux molécules de la taille d'une
protéine (même pour les méthodes quantiques semi-empiriques qui sont limitées
à la considération de systèmes de la taille de quelques aminoacides). Cependant,
malgré le problème de coût en temps calcul, la chimie quantique peut être
extrêmement utile :
1°) pour fournir des paramètres pour les fonctions énergétiques potentielles
utilisée dans les méthodes de mécanique moléculaire. Par exemple, des charges
atomiques partielles peuvent être ajustées pour reproduire le potentiel
électrostatique produit par des calculs ab initio sur des parties de la molécule
d'intérêt [Singh, 1984 #2144].
2°) pour suivre des réactions chimiques dans des protéines. Bash, Domaine et
Karplus (1987) ont combiné le traitement semi-empirique de mécanique
quantique (AM1) d'une petite partie d'une molécule (environ 20 atomes (non
hydrogènes)) avec une approche de mécanique moléculaire pour le restant de la
molécule, adaptant une méthode employée en premier par Warshel&Levitt
[Warshel, 1976 #6678]. Cela permet le traitement de réactions chimiques en
solution, et la méthode a depuis été appliquée à la réaction enzymatique de la
triose phosphate isomérase (Karplus et al. , 1992). Warshel et ses collègues (1991)
ont fait l'emploi extensif d'une procédure qui combine une méthode calculant les
liaisons de valence par mécanique quantique avec la mécanique moléculaire.
Les simulations de mécanique quantique peuvent aussi être faites sur une petite
partie de la protéine seulement. Cela permet la représentation de processus qui
ne pourraient pas être représentés par un potentiel de mécanique moléculaire,
tels que : réactions chimiques ou transitions spectroscopiques. Arad et coll.
(1990) emploient AM1 (un programme de mécanique quantique semi-empirique,
voir Dewar et coll., 1985) pour simuler un chemin de réaction pour l'attaque du
soufre dans le mécanisme de réaction de la papaïne. Le système est composé de
111 atomes, autour du site actif, pris à partir de conformations dérivées de
minimisation d'énergie avec un potentiel moléculaire de mécanique. Penfield et
coll. (1985) emploient des méthodes ab initio pour examiner la structure
électronique du site bleu de cuivre dans la plastocyanine et la structure hyperfine
du spectre de cuivre. Ils miment le site du métal en remplaçant l'histidine par
l'ammoniaque, la cystéine avec le methanethiolate et la méthionine avec le
dimethyl thioéther-- afin de représenter le site de coordination par 7 atomes (non
hydrogène).
Bajorath et coll. (1991) a montré comment une enzyme (dihydrofolate
réductase) perturbe la distribution spatiale électronique du substrat (le folate)
lors de la fixation. Une méthode de calcul ab initio de la structure électronique a
été employée qui permet de traiter par mécanique quantique les 49 atomes du
substrat dans le champ Coulombien du aux charges partielles attribuées à chaque
position atomique de l'enzyme, du coenzyme et des molécules du solvant.
Mécanique moléculaire
Modèle d’énergie
Les premiers logiciels de modélisation [Allinger, 1977 #1402; Ermer, 1973
#1614] traitaient des petites molécules et ont été utilisés en cristallographie pour
le raffinement de structures plus importantes comme celles des oligonucléotides
("linked-atom least squares method" [Arnott, 1969 #1413; Arnott, 1972 #1414;
Arnott, 1973 #1415; Arnott, 1973 #1416]). Le fondement de la mécanique et de la
dynamique moléculaire repose sur la prémisse qu'on peut approcher la surface
d'énergie de Born-Oppenheimer d'une molécule par une fonction
analytique [Weiner, 1981 #2230]. Cette fonction est de la forme :
ENERGIE TOTALE =
∑ K r (r − req )2
liaisons
+
(θ − θeq )2
∑K
θ
angles_valences
3
∑ ∑
+
angles_dièdres n=1
Kn
(1 + cos(nφ − ϕ n )
2
qiq j
atomes 4πε 0 ε r rij
Aij Bij
+
∑
12 − 6
Rij
atomes_non_liés Rij
Cij Dij
+
∑
12 − 10
Rij
liaisons_hydrogènes Rij
Les trois premiers termes de cette équation interviennent entre atomes liés plus
ou moins directement le long de la molécule.
Les énergies d'élongations de liaison et de variations d'angle de valence sont
quadratiques (premier et deuxième termes de la fonction).
+
∑
Energies de liaison :
∑ K r (r − req )2
liaisons
coût énergétique
Pour l'énergie de liaison, Kr est analogue à une constante de raideur de ressort
(la liaison est assimilée à un ressort, énergie -k x2, si x est le déplacement par
rapport à l’équilibre). La forme de la fonction est quadratique car :
1) si on trace l'énergie de liaison entre deux atomes en fonction de la distance, la
position d'équilibre de la liaison se trouve évidemment au minimum énergétique
de la vraie fonction énergie de liaison, quelle que soit la forme de celle-ci.
.
longueur de liaison
valeur d'équilibre
2) et toute fonction ayant un minimum peut être assez bien approché par une
parabole près du minimum (développement limité). En effet, soit f la fonction
potentielle ci-dessus, alors on peut l'exprimer en x0 en série de Taylor :
df
∂ x2 d 2 f
∂x 3 d 3 f
f (x0 + ∂x) = f (x0 ) + ∂x (x 0 ) +
(x
)
+
(x )+...
dx
2 dx 2 0
3! dx 3 0
df
Si le minimum est x0,
(x ) = 0 , de plus , ∂x est petit, donc ∂x2 est encore plus
dx 0
petit, et les puissances suivantes encore plus. Donc on peut négliger les termes en
puissances supérieures à 2 devant ∂x2. On a finalement :
∂x 2 d 2 f
f (x0 + ∂x) ≅ f (x0 ) +
(x )
2 dx 2 0
et on peut donc considérer que la fonction f est une fonction quadratique de δx
(parabole) près du minimum, de la forme
f (x0 + ∂x) ≅ A + B∂ x 2 , avec A et B constantes.
Pour une fonction potentielle, on n'est pas intéressé par sa valeur dans l’absolu,
et donc on n'a pas besoin de la constante A, et on peut modéliser f comme f(r) =
Kr (r-req)2.
Exemples :
Atom pair
req in Å
Kr in kcal/(molÅ^2)
C =O
1.229
570
C - C2
1.522
317
C -N
1.335
490
C2 - N
1.449
337
N -H
1.010
434
Explication des types d'atomes :
O
oxygène de type carbonyle
C
carbone sp2
N
azote sp2
H
hydrogène lié à un N
C2
"united atom" group (CH2)
Cette expression simple ne demande qu'une constante par type de liaison, mais
ce n'est qu'une approximation : si on veut plus de précision, on peut prendre les
puissances supérieures de l'expression, ou bien un potentiel de Morse.
Potentiel de Morse :
Le potentiel de Morse est un modèle convenable pour l'énergie potentielle d'une
− a( r− req ) 2
molécule diatomique. La forme de ce potentiel est : V = Deq (1− e
)
où req est l'énergie potentielle pour la formation d'une liaison et "a" un
paramètre contrôlant la largeur du puits.
Son tracé est de la forme :
Le minimum de ce potentiel est à req. La dérivée seconde du potentiel à
d 2V
l'équilibre est : 2 (req ) = 2a 2 Deq
dr
Angles de liaison :
∑ Kθ (θ − θeq )2
angles_valences
On trouve expérimentalement qu'ils varient autour d'une position d'équilibre et
on approche aussi leur potentiel par une fonction quadratique.
Angle θeq in degrees
Keq in
kcal/(mol.degré2 )
C-N-H
119.8
35.0
C2-N-C
121.9
50.0
C2-N-H
118.4
38.0
C-C2-N
110.3
80.0
C2-C-O
120.4
80.0
C2-C-N
116.6
70.0
O-C-N
122.9
80.0
Energies de torsion :
3
Kn
(1 + cos(nφ − ϕ n ) )
∑
∑
2
angles_dièdres n=1
Le troisième terme approche d'une manière plus précise l'énergie de torsion d'un
angle dièdre avec plusieurs valeurs de n [Allinger, 1977 #1402; Weiner, 1984
#2233] (série de Fourier, généralement limitée à 3). Cette valeur est indiquée
pour chaque type d'angle dièdre dans le champ de force. Par exemple, une
périodicité "mélangée" de n = 2 et n = 3 (resp. 180° et 120°) avec des phases et des
constantes Kn appropriées permet de favoriser une - ou deux - conformations
parmi les trois conformations minimales en énergie des angles dièdres ("gauche
plus","trans","gauche moins"). Si la périodicité était uniquement de 3 (120°), les
trois minimums seraient à la même énergie (figure 7). Cette périodicité
"mélangée" permet de simuler, par exemple, la tendance du groupe R-O-P-O à
adopter une conformation gauche plutôt que trans. A noter que les angles
dièdres sont aussi corrigés par les interactions de type "non bond" (non lié) des
atomes formant l'angle dièdre.
Energie
3
2
1
0
-1
-2
0
90
180
Potentiel crée par périodicité 3
270
360
Angle dièdre
Potentiel crée par périodicité 2
Potentiel crée par périodicité 2 et 3 (somme)
Figure 7 : Exemple de simulation de la préférence pour une
conformation donnée d'un angle dièdre par le choix de deux
périodicités (2 et 3) et phases (ici 0,0) dans l'expression de l'énergie de
cet angle.
Interaction électrostatiques :
qiq j
∑
atomes 4πε 0 ε r rij
ε0 permittivité du vide, et pour simuler l'effet d'écran des charges par le solvant,
on prend une "constante diélectrique", εr, proportionnelle à rij, distance entre les
charges (souvent εr = 4 * rij). On peut aussi adopter pour la constante diélectrique
plus une fonction sigmoïde de rij [Lavery, 1986 #1842]. On a là encore une
approximation, car l'interaction électrostatique ne dépend pas seulement de la
position des charges considérées mais aussi de leurs positions dans la molécule et
on ne prend pas en compte la polarisabilité des atomes (déformation du nuage
électronique et induction de dipôle induit par un dipôle permanent ou induit).
Des essais pour inclure dans le champ de force une simulation plus détaillée des
interactions électrostatiques ont été tentés [Sklenar et coll., 1990] et qui permettent
de simuler, par exemple, la transition B-Z de manière plus réaliste [Klement et coll.,
1990].
On peut simuler les effets des ions sur l'interaction électrostatique entre deux
κr
qiq j e ij
charges qi et qj avec la relation
avec κ inverse de la longueur de Debyerij
Hückel pour les ions considérés.
En fait, le seul vrai" moyen de bien traiter l'énergie électrostatique serait de
considérer les électrons et les noyaux séparément, de les rentrer dans l'équation
€
de Schrödinger et d'appliquer
les méthodes de la mécanique quantique pour la
configuration spatiale donnée. Comme on l'a déjà dit, c'est impossible. La
méthode la plus simple serait de placer des charges entières sur les atomes
chargés, en fait, on utilise des charges partielles donnant le même potentiel à
distance que le potentiel de mécanique quantique précalculé sur des petites
molécules (par exemple, un acide aminé ou un nucléotide).
€
Liaisons de van der Waals :
A
B
∑ R12ij − Rij6
ij
atomes_ non _ liés ij
Les interactions van der Waals sont des interactions de type dipôle induit-dipôle
induit. Tant que la distance interatomique n'est pas inférieure au rayon de
van der Waals, la fonction en 6-12 simule de manière correcte l'interaction entre
atomes non liés ("non bonded").
potentiel 12-6 avec A=10,B=10 :
2A
B2
minimum à x=
(valeur de la fonction
)
B
4A
6
Liaisons hydrogène :
Cij Dij
∑
12 − 10
Rij
liaisons_hydrogènes Rij
potentiel 12-10 avec C=1, D=1 :
6C
−3125* B6
minimum à x=
(valeur de la fonction
)
5D
46656 * A 5
Assomptions de la mécanique moléculaire :
Une autre prémisse de la simulation moléculaire est qu'on cherche les propriétés
d'une molécule dans sa conformation la plus stable. Cependant, il est possible,
sans même parler d'entropie, qu'un ligand par exemple, ne soit pas à son
minimum d'énergie lors d'une réaction intermoléculaire, ni même que le
complexe formé soit d'énergie minimum pour peu qu'il s'agisse d'un complexe
de transition. Il suffit en fait que les produits de la réaction aient une énergie plus
basse que les réactifs.
De plus, la mécanique moléculaire permet seulement d'évaluer l'enthalpie.
L'entropie elle, peut être calculée par la dynamique moléculaire via l'énergie libre
("free energy perturbation", cf plus loin).
En fait, les résultats les plus probants de la MM sont des différences d’énergie
entre conformères.
Variantes sur les coordonnées :
Le choix des coordonnées - cartésiennes ou internes - à modifier pour minimiser
l'énergie est variable. Les coordonnées internes [Lavery, 1987; Noguti & Go, 1983a;
Noguti & Go, 1983b] sont plus parlantes quant aux paramètres moléculaires
pertinents. Par contre, pour éviter des calculs plus complexes qui peuvent limiter
la méthode, on supprime les variations de certains angles de valence. Les
coordonnées cartésiennes sont le plus généralement utilisées [Brooks et coll., 1983;
Weiner et coll., 1984].
Champs de Force :
Les champs de force sont un des ingrédients des logiciels de modélisation
moléculaire les plus délicats à mettre en oeuvre [Pearlman & Kollman, 1991b]. En
effet, ils contiennent tous les paramètres qui entrent en jeu dans la simulation
(minimisation d'énergie ou dynamique). Celle-ci utilise ces paramètres pour
calculer l'énergie moléculaire et les forces qui s’exercent sur chacun des atomes.
Les champs de force contiennent les valeurs d'équilibre pour les longueurs de
liaisons atomiques, les angles de liaison, les angles dièdres, les torsions hors du
plan ("improper torsions") pour des atomes liés à un cycle aromatique.
Dans les champs de force coexistent plusieurs types d'atomes pour chaque
élément de la table de Mendeleev, et d'autant plus que l'on retrouve l'atome en
question dans des configurations différentes en géométrie ou en énergie. Par
exemple, plusieurs types d'"atomes" sont nécessaires pour simuler un atome de
carbone dans ses états de liaisons sp1, sp2 ou sp3, de même qu'un carbone sp3
engagé dans un cycle à 3,4,5 ou 6 carbones ne peut pas être représenté par le
même atome dans le champ de force vu que ces différentes conformations n'ont
pas les mêmes caractéristiques structurales. Le but du jeu est évidemment de
décrire avec le moins de types d'"atomes" possibles toutes les configurations
possibles. Les premiers champs de force étaient plus spécifiques de certaines
classes de molécules (oléfines ou plus tard ADN [Levitt, 1978] et protéines [Gelin &
Karplus, 1979]…). Les champs de force actuels décrivent aussi bien les protéines
que les acides nucléiques [Brooks et coll., 1983; Weiner et coll., 1984; Weiner et coll., 1982].
L'optimisation d'un champ de force peut être accomplie en ajustant les
paramètres du potentiel de telle sorte que les fréquences de vibrations, la
conformation et les données thermodynamiques (enthalpie) calculées soient en
accord avec celles observées expérimentalement (optimisation par la méthode
des moindres carrés) [Dillen, 1992; Ermer & Lifson, 1973]. Lors de cette optimisation,
les paramètres superflus ou redondants sont éliminés ou confondus. Les champs
de force sont calculés, testés et affinés à partir :
• de bases de données cristallographiques [Momany et coll., 1975;
Némethy et coll., 1983; Weiner et coll., 1984], et d'énergie d'empilement
dans les cristaux ("crystal packing" [Sippl et coll., 1984]),
• de calculs de chimie théorique [Allinger, 1 9 7 7 ] : rayons de
van der Waals, paramètres de barrières de rotation [Brunck &
Weinhold, 1979], stabilité des nucléotides cycliques [Marsh et coll., 1980],
calculs ab initio ou empiriques pour les charges [Momany et coll., 1975]
ou pour les champs de force de valence [Palmö et coll., 1991],
• de la comparaison énergétique des différentes conformations d'une
petite molécule [Allinger, 1977] :énergie de transition chaise-bateau
du méthyl-cyclohexane, n-alcanes…,
• de différence d'énergie libre [Cieplak & Kollman, 1991; Pearlman &
Kollman, 1991b],
• de thermodynamique : chaleurs de sublimation, chaleurs de
formation [Allinger, 1977], chaleurs d'hydrogénation [Ermer & Lifson,
1973]…,
• de données spectroscopiques [Ermer & Lifson, 1973] : vibrations dans
l'infrarouge, vibrations Raman…
Les premiers calculs ont aussi montré [Allinger, 1977] que les forces de
van der Waals sont des quantités importantes pour des simulations moléculaires
correctes.
Les paramètres des champs de force sont aussi testés, par exemple en contrôlant
le comportement d'une macromolécule en simulation de dynamique moléculaire
dans le champ de force [Nilsson & Karplus, 1986].
D'autre part, les calculs peuvent inclure le solvant, sa polarisabilité ou son rôle
d'écran. Le rôle électrique du solvant est mimé par la constante diélectrique
incluse dans la fonction énergie (voir plus haut).
Roterman et coll. [Roterman et coll., 1989a] ont effectué une comparaison des trois
champs de force utilisés dans les logiciels CHARMM [Brooks et coll., 1983],
AMBER [Weiner & Kollman, 1981] et ECEPP [Momany et coll., 1975; Némethy et coll., 1983;
Sippl et coll., 1984]. Pour ces trois potentiels, les trois conformations de plus basse
énergie d'un peptide de 36 acides aminés diffèrent d'un RMS de seulement
1,0-1,3 Å au niveau des Cα , bien que les trois structures initiales qui mènent à ces
conformations soit différentes. Sur un échantillon suffisamment large de
structures de départ, les auteurs considèrent que ces trois potentiels donnent des
structures semblables. Par contre, les trois potentiels divergent généralement
pour une structure donnée. D'autre part, des calculs effectués pour retrouver la
carte Φ−Ψ expérimentale de la poly-L-alanine montrent qu'aucun des trois
champs de force ne fait des prédictions complètement compatibles avec
l'expérience [Roterman et coll., 1989b], ce qui amène ces auteurs à penser qu'il
faudrait développer un champ de force plus précis pour les grosses protéines.
United atom model ≠ all atom model
Un champ de force peut être paramétrisé pour prédire les mouvements
vibrationnels ou les forces intermoléculaires.
AMBER : paramétrisé pour protéines et acides nucléiques – 5 bonding and nonbonding + electrostatique
CHARMM : protéines et acides nucléiques
CFF : consistent force field : spectres vibrationnels, conformations protéines
EFF : empirical force field : modélisation des carbohydrates (sucres)
GROMOS : force field+program : populaire pour la dynamique moléculaire
MM1,MM2,MM3 et MM4 : successifs (nouvelles versions). Champs de force
généraux pour les molécules organiques. MM3 : un des plus adéquat pour les
sucres.
TRIPOS : (fait par une entreprise, Tripos) utilisé par Alchemy et SYBYL (appelé
quelquefois le champ de force de SYBYL).
La mécanique moléculaire est largement employée dans le domaine des acides
nucléiques classiques [Baleja et coll., 1990a; Keepers et coll., 1982; Kitzing & Diekmann,
1987; Kollman et coll., 1981; Lavery et coll., 1991; Suzuki et coll., 1986; Zhou et coll., 1987],
modifiés [Cognet et coll., 1990; Keepers et coll., 1984; Lancelot et coll., 1989; Pearlman et coll.,
1985] ou dans le champ des interactions drogues-ADN [Herman et coll., 1990; Lybrand
et coll., 1986a; Maroun et coll., 1989; Maroun & Gresh, 1989; Maroun & Roques, 1991; Rao &
Kollman, 1987].
Charges électrostatiques fixes
La distribution de charge d'une molécule est simulée par des charges ponctuelles
placées à l'endroit des noyaux atomiques. Ces charges atomiques, qui
interviennent dans le calcul des forces électrostatiques, sont évaluées à partir de
calculs de chimie quantique - calculs ab initio [Singh & Kollman, 1984] ou calculs semiempiriques - sur de petites structures de moins d'une centaine d'atomes.
(optionnel)
Les calculs ab initio donnent une approximation de la densité électronique de la
molécule. Dans l'approximation orbitale, chaque électron d'une molécule est
défini par une fonction ayant les mêmes caractéristiques de symétrie que les
fonctions d'onde de la molécule à un électron correspondante. On approche la
fonction d'onde multi-électronique (déterminant de Slater) de la molécule par
calcul itératif d'un ensemble de fonctions (spinorbitales), jusqu'à cohérence
interne du système (méthode du champ auto cohérent ou "self consistent
field"(SCF)). La structure mathématique des intégrales de répulsion entre
électrons (partie exponentielle en e-ζr) rend difficile la réduction des quantités
multi-centriques en termes à un ou deux centres. On contourne la difficulté en
développant ces intégrales sur une base de fonctions gaussiennes (e-ar2 )
("gaussian basis sets") qui peuvent, elles, facilement se réduire en gaussiennes sur
un centre [Binkley et coll., 1980]. La précision obtenue est fonction du nombre de
gaussiennes utilisées. Par exemple, la base dite STO-3G utilise une réduction des
intégrales sur 3 gaussiennes. Cette base STO-3G fournit des approximations
suffisamment précises [Chirlian & Francl, 1987].
D'un autre côté, les méthodes semi-empiriques (CNDO : Completely Neglected
Differential Overlap [Pople & Beveridge, 1970], INDO, MINDO, MNDO [Dewar &
Thiel, 1977a; Dewar & Thiel, 1977b; Dewar et coll., 1985]…) réduisent le nombre
d'intégrales en les négligeant (intégrales de recouvrement, intégrales biélectroniques à plus de deux centres…). De plus, elles estiment les intégrales
mono- et bi-électronique à un centre à partir des données expérimentales des
spectres électroniques des atomes considérés, d'où la qualification de méthodes
semi-empiriques. La méthode CNDO qui est la plus simple des méthodes semiempiriques donne néanmoins de bons résultats sur les longueurs de liaisons, les
angles de valence et la répartition des charges dans la molécule, mais les énergies
calculées reproduisent mal les données expérimentales [Rivail, 1989]. Besler et
coll. [Besler et coll., 1990] montrent que les méthodes MNDO peuvent donner une
aussi bonne approximation pour les charges dérivées du potentiel électrostatique
("ESP") que les méthodes ab initio.
Tous ces calculs demandent une énorme capacité de stockage (mémoire vive et
mémoire disque) et des temps de calcul prohibitifs pour plus d'une cinquantaine
d'atomes. Le temps de calcul (relié au nombre d'intégrales à calculer) croît
comme la puissance quatrième du nombre d'orbitales atomiques. D'autres
méthodes basées sur les électronégativités atomiques ont été proposées pour les
nucléotides et les acides aminés [Mullay, 1988].
On essaie ensuite de reproduire le potentiel électrostatique calculé par ajustement
d'une répartition de charges partielles électrostatiques sur des points
représentant les noyaux des atomes de la structure.
Minimiseurs
La mécanique moléculaire a pour but de trouver le minimum de la fonction
énergie E(x) décrite au dessus (x : vecteur des coordonnées du système par
rapport auxquelles est définie l'énergie). Pour avoir un minimum global de
l'énergie, il serait nécessaire de parcourir tout l'espace des variables
indépendantes, ce qui est impossible vu leur nombre. Toutes les méthodes de
minimisation ne permettent de trouver que des minimums locaux et la surface
d'énergie pour un tel nombre de variables est très accidentée. Les structures
trouvées par minimisation d'énergie sont donc toujours relativement proches de
la structure de départ.
Les méthodes de minimisation utilisées en simulation moléculaire sont dites "de
gradients", c'est à dire que la recherche du minimum en un point est faite dans la
dE
direction opposée au gradient (−
) de la fonction énergie par rapport aux
dx
coordonnées, c-à-d. dans le sens de la plus grande pente.
Méthodes de plus grande pente
Dans cette méthode, qui est utilisée dans les premiers pas du minimiseur MINM
d'AMBER, on part de x0 (vecteur des variables de la structure initiale).
on calcule le vecteur gradient gi =
dE(x i )
au point xi,
dx
on effectue la recherche linéaire du scalaire t rendant E minimum dans
la direction -gi ("linear search"), soit : xi+1 = xi-tigi
€
et on réitère en recalculant le gradient en ce point. On remarque que
la nouvelle direction de descente est perpendiculaire à la
précédente.
On peut arrêter les itérations arbitrairement dès que l'on atteint une valeur du
gradient suffisamment petite ("vallée" de la fonction énergie), que le nombre de
cycles est jugé assez grand, que les paramètres varient trop faiblement ou… que
le temps alloué pour le calcul est dépassé !
Newton-Raphson
La méthode de Newton-Raphson permet de trouver le minimum d'une fonction
en l'approchant par son développement de Taylor au deuxième degré
(approximation quadratique). On évalue alors non seulement le gradient, mais
d 2 E(x)
aussi la dérivée seconde (ou Hessien) de la fonction énergie, H(x) =
, par
dx 2
rapport aux coordonnées. Si O est l’origine, on a (développement de Taylor) :
∂f
1
∂2 f
f (x) = f (O) + ∑
xi + ∑
x x +...
2 ij ∂ xi ∂xj i j
i ∂ xi
∂f
Si on prend c=f(O), b=−∇f (gradient),[ A]ij =
(Hessien), avec le gradient et
∂xi ∂ x j
1
le Hessien calculé au point O. La fonction s’écrit alors : f (x) = c + b. x + x T Ax+...
2
Si la fonction est effectivement quadratique, on a :
1
f (x) = c + b. x + x T Ax
2
et :
∂f
(x) = −b + A.x = −∇f (x), qui est nul à x=xmin donc − b + A. xmin = 0 ⇒ b = A.x min
∂x
et :
∂f
(x) = − A. xmin + A.x = −∇f (x) ⇒ x − x min = A−1∇f (x)
∂x
x-xmin est le pas Δx à faire à partir de x pour arriver au minimum en un coup.
Dans le cas général d'une fonction non quadratique, on peut réitérer le calcul
suivant :
calcul du gradient gi et du Hessien H(xi) au point xi,
évaluation du pas à faire ∆xi = -H(xi)-1 gi
nouveau point xi+1 = xi + ∆xi,
itération jusqu'au point d'arrêt (voir plus haut).
Cette méthode est plus rapide que celle du gradient mais le calcul du Hessien
demande une capacité de stockage de N(N-1)/2 termes et le temps nécessaire à
la résolution du système d'équation varie en N3 (N : nombre de variables à
minimiser). De plus, la méthode peut ne pas converger si le point de départ est
mauvais. On peut l'améliorer en chargeant la diagonale du Hessien si celui ci
n'est pas défini positif ou en effectuant une recherche linéaire (algorithme de
Marquardt). Comme dans le cas des méthodes de plus grande pente, on peut
utiliser ∆x non comme "pas" à faire, mais comme direction de recherche
(méthodes dites de quasi-Newton) [Adby & Dempster, 1974] soit :
∆xi = -ti H(xi ) -1 gi.
Gradients conjugués
Dans les méthodes de gradients conjugués [Hestenes & Stiefel, 1952] (méthode de
Fletcher-Reeves [Fletcher & Reeves, 1964]), les directions de recherche successives
sont mutuellement conjuguées par rapport au Hessien (c-à-d. ∆xi T.H(x).∆xj = 0).
Ces directions sont par construction orthogonales à l'ensemble des différences
des gradients aux itérations successives. Ces méthodes convergent mieux que les
méthodes de plus grande pente et ne nécessitent pas le calcul du Hessien. Les
directions successives sont obtenues en conservant seulement les gradients des
deux itérations précédentes d'où une économie de stockage par rapport au
Hessien. On calcule la nouvelle direction (conjuguée) de recherche :
gT g
Δxi = − gi −1 + Δx i−1 Ti −1 i −1
gi− 2 gi −2
Le minimiseur MINM d'AMBER est un minimiseur à gradients conjugués.
Minimiseurs à métrique variable
Ces méthodes tirent leurs noms du fait qu'on peut considérer la direction
-H(x)-1g(x) (Newton-Raphson) comme incorporant une correction du second
ordre du système de coordonnées. En effet, en multipliant -g(x) par H(x)-1, on
corrige la métrique de l'espace à N dimension (x est de dimension N) de manière
à ce que le gradient négatif -g(x) soit converti en l'incrément ∆x. Ainsi, le terme "à
métrique variable" qualifie les méthodes qui utilisent un incrément de la forme :
∆xi = - ti Si g(x)
et mettent à jour la transformation de "correction de la métrique" Si à chaque
itération. Si doit converger vers H-1 (inverse du Hessien). Ces méthodes sont
donc des méthodes quasi-Newton. La plus utilisée est dite de Davidon-FletcherPowell [Fletcher & Powell, 1963]. La formule :
SiSTi Si Si Δxi ΔxiT
Si +1 = Si − T
+
Si SiSi
Δx Ti Si
avec si = gi+1-gi
sert à la mise à jour de H-1 (inverse du Hessien). La valeur de λi est fixée par
recherche linéaire.
On a donc ici non le Hessien (lourd à calculer) mais une estimation de celui-ci (en
fait de son inverse H-1) continûment tenue à jour à partir de l'information tirée
des variations successives ∆g(xi ) du gradient g(x). La matrice S0 de départ est en
général la matrice identité, donc le premier incrément est fait dans la direction de
plus grande pente.
Les minimiseurs utilisés dans le présent travail sont de ce type [Le Bret et coll., 1991;
Zimmermann, 1991].
Recherche linéaire approchée :
A ce niveau, il était sous entendu que la recherche linéaire du ti devait être
exacte. En fait, un grand progrès en vitesse d'exécution a été fait quand on s'est
aperçu qu'une recherche linéaire approximative suffisait. Les formules doivent
être légèrement modifiées. Le point xt :
xt = xi + t ∆xi
est accepté pour la valeur t si :
E(xt ) < E(xi ) + r1 t gi ∆xi
gt ∆xi > r2 gi ∆xi
Les paramètres r1 et r2 peuvent être ajustés. r1 = 0,999 et r2 = 0,00001 semblent
être un bon choix.
Dynamique moléculaire
Une autre méthode très utilisée est la dynamique moléculaire. Il s'agit de
retrouver les paramètres de mouvements des atomes en simulant ceux-ci par
une intégration des équations du mouvement de Newton, F = mγ ou, plus
explicitement, pour chaque atome, dvi/dt = mi-1 Fi. Les forces appliquées Fi aux
atomes sont évidemment les dérivées du potentiel moléculaire, décrit au
paragraphe précédent, par rapport aux coordonnées cartésiennes [Ciccotti et coll.,
1982; Ryckaert et coll., 1977], éventuellement avec des contraintes en coordonnées
internes [Tobias & Brooks III, 1988].
Vitesses initiales
On donne à tous les atomes de la molécule une vitesse initiale calculée par une
répartition de Maxwell. Selon la température, le nombre moyen F(v)dv de
molécules par unité de volume ayant une vitesse comprise entre v et v+dv est :
2
m 3/ 2 − mv
2kT 2
F(v)dv = 4 πn(
) e
v dv )
2πkT
avec v : module de la vitesse, n : nombre moyen de molécules par unité de
volume, m masse d’une molécule.
F(v)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
v
La moyenne des vitesses est supérieure à la vitesse la plus probable (la courbe
n’est pas symétrique).
Si on considère les vitesses selon les trois axes, la probabilité est :
2
m 3/ 2 − mv
f (v)dv x dvy dvz = n(
) e 2 kT dvx dv y dvz
2 πkT
Et pour un axe :
1
−
€
€
€
€
€
€
€
€
2
3
4
5
mvx 2
g(v)dvx = Ce 2 kT dv x
ce qui représente une gaussienne centrée sur vx = 0.
Après cette répartition des vitesses sur les molécules, à intervalles de temps
réguliers (typiquement 1 à 10 femtosecondes), on calcule l'accélération de
chaque atome due aux forces, sa nouvelle vitesse et sa nouvelle position, et on
poursuit ces calculs jusqu'à des temps de l'ordre de plusieurs centaines de
picosecondes voire de la nanoseconde [van Gunsteren & Berendsen, 1990].
r(t + ∂t) = r(t) + ∂tv(t) + 12 ∂t 2 a(t) + 16 ∂t 3b(t) + 241 ∂t 4 c(t) + ...
v(t + ∂t) = v(t) + ∂ta(t) + 12 ∂t 2b(t) + 16 ∂t 3c(t) + ...
a(t + ∂t) = a(t) + ∂tb(t) + 12 ∂t 2c(t) + ...
b(t + ∂t) = b(t) + ∂tc(t) + ...
où v est la vitesse (1ère dérivée de la position par rapport au temps), a est
l’accélération (2nde dérivée), b est la troisième dérivée, etc…
L’accélération et la vitesse sont supposées constantes pendant le pas
d’intégration.
Algorithme Verlet (1967):
r(t + ∂t) = r(t) + ∂tv(t) + 12 ∂t 2 a(t) + ...
r(t − ∂t) = r(t) − ∂tv(t) + 12 ∂t 2 a(t) + ...
En additionnant ces deux équations, on obtient :
r(t + ∂t) = 2r(t) − r(t − ∂t) + ∂t 2 a(t)
Les vitesses n’apparaissent pas explicitement dans l’algorithme d’intégration de
Verlet. Elles peuvent être estimées facilement par
v(t) = [r(t + ∂t) − r(t − ∂t)]/2∂t
L’algorithme est simple et la quantité de mémoire demandée est modeste (il
suffit de stocker 2 ensembles de positions et les accélérations). Une des
contreparties négatives est que les positions sont obtenues en ajoutant un terme
petit ∂t2 a(t) à la différence de 2 grands termes r(t + ∂t) et r(t − ∂t).
€
€
Vu la puissance de calcul et la quantité de données stockées nécessaires, les
premiers calculs ont été réalisés sur de petites molécules organiques [Ryckaert et
coll., 1977], avec des contraintes qui réduisent le nombre de variables
inintéressantes en "gelant" ces dernières [van Gunsteren, 1980]. Les mouvements de
grande amplitude - les plus intéressants pour le biochimiste - se déroulent sur de
grandes échelles de temps (nanoseconde ou milliseconde) et sont donc les plus
difficiles à obtenir par la dynamique moléculaire à cause de temps de calcul d'une
longueur prohibitive. On cherche donc à limiter les mouvements rapides et à
avantager les mouvements lents. Ainsi, l'analyse des calculs par filtrage permet
d'éliminer les mouvements rapides [Levitt, 1991; Sessions et coll., 1988] et on essaie de
trouver le moyen de faire de la dynamique à une échelle de temps supérieure en
fixant ces mouvements rapides [Durup, 1991] ou en fixant certaines
coordonnées [Noguti & Go, 1983a; Noguti & Go, 1983b]. Pour accélérer les calculs, le
parallélisme a été appliqué aux algorithmes de dynamique moléculaire en vue de
leur implémentation sur des machines multiprocesseurs [Mertz et coll., 1991].
On peut aussi intégrer l'équation du mouvement de Langevin - dynamique
stochastique - càd. qu'on ajoute deux termes à l'équation Newtonienne du
mouvement : une force stochastique (apport d'énergie) et un terme de friction
(perte d'énergie) [Levy et coll., 1981b]. On peut ainsi simuler une dynamique
couplée à un "bain" externe [Berendsen et coll., 1984].
Pour des revues sur le sujet, voir [Durup, 1990; Karplus & Petsko, 1990; Scheek et coll.,
1989; van Gunsteren & Berendsen, 1990]. La dynamique moléculaire, ainsi que la
méthode de Monte Carlo-Metropolis (voir plus loin) permettent aussi de calculer
l'énergie libre [Bash et coll., 1987a; Bash et coll., 1987b; Beveridge & DiCapua, 1990;
Cieplak et coll., 1987; Cieplak et coll., 1990; Lybrand et coll., 1986b; Pearlman & Kollman,
1989; Pearlman & Kollman, 1991b; Pearlman & Kollman, 1991c; Singh et coll., 1987; Torrie &
Valleau, 1977; van Gunsteren, 1990]. Néanmoins, la dynamique moléculaire n'est pas
une technique de routine. Des ajustements fins doivent être appliqués aux divers
paramètres et les phases de préparation sont délicates à mettre en oeuvre
(contraintes pour ne pas trop s'éloigner de la structure initiale, etc.…). Il faut
noter d'autre part que la longueur des calculs ne permet pas d'explorer d'autres
régions de l'espace conformationnel que les environs du minimum initial.
Dynamique moléculaire et RMN (optionnel)
La dynamique moléculaire est utile entre autre pour la modélisation des
mouvements qui influencent l'effet NOE (voir le paragraphe effet Overhauser
nucléaire) [Olejniczak et coll., 1984; Withka et coll., 1991]. Les dynamiques sont
réalisées sous les contraintes des distances interprotons extrapolées des NOEs
grâce à un potentiel supplémentaire de type K(r-r0)2, où r est la distance
instantanée et r0 la contrainte de distance. Vu que l'effet NOE est proportionnel à
r-6, la distance "NOE" moyenne est estimée à <r-6>-1/6 sur les conformations
obtenues à partir d'un calcul de dynamique moléculaire, ou à <r-3>-1/3 quand la
moyenne est faite sur un intervalle de temps plus petit que le temps de
corrélation de toute la molécule [Kessler et coll., 1988b; Tropp, 1980]. On peut noter
que ce type de moyenne en <r-6>-1/6 est aussi utilisé en mécanique moléculaire
dans le cas où l'on a plusieurs modèles ou dans le cas des méthyles, où la distance
NOE est comparée à cette moyenne pour les trois protons. Cette moyenne a en
effet été utilisée ici pour les protons des méthyles dans le complexe ActDd(CGCG)2.
Pour éviter un blocage des mouvements lors d'un calcul de dynamique sous
contrainte de distances, Torda et coll. [Torda et coll., 1989; Torda et coll., 1990] ont
proposé que le potentiel de contrainte soit de la forme K(− ,r -r0)2 où − ,r est une
moyenne de type <r-3>-1/3 mais pondérée en fonction du temps. Donc plus on
s'éloigne de l'instant calculé, moins la distance compte dans la moyenne (la
distance est multipliée par une exponentielle décroissante dans le temps passé).
La contrainte n'est plus "instantanée", mais devient plus souple, car ceci permet à
la distance de satisfaire la contrainte non à chaque instant mais sur un certain
temps, laissant les mouvements se développer [Pearlman & Kollman, 1991a]. De
nombreux auteurs ont utilisé la dynamique moléculaire sous contrainte de
distances NOE pour affiner la structure d'acides nucléiques standards [Baleja et
coll., 1990b; Clore et coll., 1985; Gochin & James, 1990; Kessler et coll., 1988b; Koning et coll.,
1991; Metzler et coll., 1990; Nilges et coll., 1987a; Nilges et coll., 1987b; Nilsson et coll., 1986;
Schmitz et coll., 1991] ou modifiés (mésappariements,etc…) [Cognet et coll., 1990;
Kerwood et coll., 1991; Nikonowicz & Gorenstein, 1990; Nikonowicz et coll., 1990; Nikonowicz
et coll., 1989; Powers & Gorenstein, 1990; Powers et coll., 1990; Roongta et coll., 1990], et en
complexes avec des drogues [Creighton et coll., 1989; Langley et coll., 1991; Liu et coll.,
1991; Zhang & Patel, 1990]. Aucun consensus n'existe encore vraiment pour traiter
ces contraintes de distances RMN.
Autres méthodes
Monte Carlo
Une autre méthode permettant d'échantillonner l'espace des conformations
moléculaires est l'algorithme de Monte Carlo-Metropolis [Metropolis et coll., 1953].
On part d'une configuration moléculaire donnée et une nouvelle configuration
est générée par des déplacements aléatoires des atomes (contenu dans une
certaine limite). La nouvelle conformation est acceptée si la différence d'énergie,
−Δ Ei
∆E, entre cette conformation et la précédente est négative, ou si e kT est
supérieure à un nombre aléatoire pris dans l'intervalle [0,1]. Dans ce cas la
nouvelle conformation sert de point de départ pour le prochain déplacement
aléatoire des atomes, sinon on reprend la première. Cet algorithme fournit une
population de molécules suivant une répartition de Maxwell-Boltzmann avec
différentes conformations moléculaires d'énergie Ei dont les proportions sont
−Δ Ei
e
kT
. La méthode de Monte Carlo est utilisée :
• pour la simulation de la fluctuation thermique des protéines [Noguti
& Go, 1985] et le calcul des fonctions d'autocorrélation des
mouvements internes [Genest, 1989],
• pour la recherche de minimum global d'énergie dans les protéines
par "sauts" par dessus les barrières des cols des minimums
locaux [Zhenqin & Sheraga, 1987],
• pour la recherche de l'emplacement des minimums d'énergie dans
les protéines qui seraient disposés en amas dans l'espace des
conformations [Noguti & Go, 1989a; Noguti & Go, 1989b; Noguti & Go, 1989c;
Noguti & Go, 1989d; Noguti & Go, 1989e]
• pour des modélisations de polypeptides [von Freyberg & Braun, 1991],
• pour la simulation de l'hydratation des protéines [Kweon et coll., 1991],
• pour l'évaluation de la distribution des ions autour de l'ADN [Le Bret
& Zimm, 1984] ou pour les estimations de paramètres de l'ADN [Le
Bret, 1980],
• pour la méthode de recuit simulé ("simulated annealing") [Kirkpatrick et coll.,
1983; Wilson et coll., 1991], utilisée avec la RMN dans la résolution de
structures [Driscoll et coll., 1989; Nilges et coll., 1988].
Méthode de "géométrie de distance" (optionnel)
Cette méthode s'applique à déterminer une structure moléculaire à partir d'un
sous ensemble de distances de cette structure, ce qui est le cas pour les distances
déterminées par effet NOE [Braun et coll., 1981; Crippen, 1977; Crippen, 1978; Crippen &
Havel, 1978; Havel et coll., 1979; Havel et coll., 1983; Havel & Wüthrich, 1984; Havel &
Wüthrich, 1985; Kuntz et coll., 1989; Nilges et coll., 1988; Oshiro et coll., 1991; Purisima &
Sheraga, 1987]. L'essentiel de cette méthode peut se résumer au calcul des valeurs
et vecteurs propres d'une matrice G, dite matrice métrique. Cette matrice est
construite à partir de la matrice initiale des distances D et ses éléments sont
calculés comme suit :
1 N
1 N
Gii = ∑ Dij2 − 2 ∑ Djk2 ,
N j =1
N j, k ≠1
1
Gij = (Gii + Gjj − Dij2 )
2
Une fois la matrice G diagonalisée, la racine carrée d'une valeur propre
multipliée par son vecteur propre associé donne le vecteur projection des atomes
(points) sur l'axe du vecteur propre. Ces projections sont calculées sur les trois
axes des vecteurs propres associés aux trois plus grandes valeurs propres. Ces
trois axes sont donc ceux sur lesquels on a la conservation maximale des
distances, donc la reproduction la plus juste de la structure en terme de distances.
Connaissant leurs projections, on en déduit la position des atomes. En RMN
structurale, les méthodes basées sur la distance géométrie sont utilisées surtout
dans le domaine des protéines [Braun & Go, 1985; Driscoll et coll., 1989; Kline et coll.,
1986; Nilges et coll., 1988; Wagner et coll., 1987; Williamson et coll., 1985], mais on
l'emploie aussi pour les acides nucléiques [Banks et coll., 1989; Driscoll et coll., 1989;
Hare et coll., 1986a; Hare et coll., 1986b; Metzler et coll., 1990; Pardi et coll., 1988; Patel et
coll., 1987a; Patel et coll., 1987b].
RMN et modélisation
Couplages scalaires :
La comparaison des couplages scalaires du modèle et des couplages
expérimentaux a été effectuée pour tous les modèles. Le calcul des couplages sur
le modèle a été programmé en se servant de l'équation de Haasnoot, De Leeuw
et Altona [Haasnoot et coll., 1980; Haasnoot et coll., 1981]. Cette équation affine la
formule de Karplus par la prise en compte de l'électronégativité des substituants
voisins immédiats et seconds voisins des hydrogènes couplés (H-C-C-H).
Comme on l'a vu plus haut, la formule de Karplus [Karplus, 1959] qui rapporte le
couplage en fonction de l'angle de torsion entre les deux hydrogènes est :
3J = A cos2θ + B cos θ + C,
où θ est l'angle de torsion.
Haasnoot et coll. [Haasnoot et coll., 1980] montrent que la corrélation s'améliore
quand on prend l'équation;
3J = P cos2θ + P cos θ + P + - P ] [ P + P cos (θ + S P )2] )
1
2
3
7
4
5
i 6
• les coefficients P1 à P7 ont été affinés par Haasnoot et coll. pour les
cas à 1, 2, 3 ou 4 substituants (non hydrogène) portés par les deux
carbones portant les hydrogènes couplés. Il y a donc quatre séries
de coefficients P1 à P7,
• ∆Xi est la différence d'électronégativité du substituant i avec
l'hydrogène (échelle de Huggins [Huggins, 1953]), elle est corrigée par
P7 ∑∆Yj, ∆Yj est la somme des différences d'électronégativité
(toujours avec l'hydrogène) des voisins du substituant i, et Si le
signe du substituant i (+1 ou -1) attribué selon une convention de
sens par rapport à l'hydrogène voisin donnée par la figure 29.
Evidemment cette équation de Karplus améliorée n'est plus soluble
analytiquement. Dans le module, elle est résolue par la méthode de la
dichotomie, et cette équation fournit, comme l'ancienne, en général quatre
valeurs d'angle de torsion pour un couplage donné.
Les couplages existants dans l'ActD et dans d(CGCG)2 ont été mesurés. Ces
couplages sont de deux types : couplages 3J 1H-1H et couplages 3J 31P-1H. Les
couplages 3J 1H-1H sont déterminés expérimentalement :
• entre les Hα et Hβ des acides aminés des pentapeptides, ce qui
permet théoriquement de calculer l'angle χ1,
• et entre les protons H1', H2', H2" et H3' des désoxyriboses, ce qui
donne les informations sur la pseudorotation des sucres.
Les valeurs des couplages 3J 31P-1H sont déterminées entre les phosphores de la
chaîne phosphodiester et les H3' des désoxyriboses, ce qui permet d'accéder à
l'angle de torsion H3'-C3'-O-P de la chaîne sucre-phosphate, ε, qui est déphasé
de 120° par rapport à l'angle déterminé par le couplage.
L'interprétation en terme de torsion par l'équation de Karplus généralisée est
toutefois à prendre avec précaution, car à l'échelle de temps de la RMN (≈ms) les
mouvements des atomes (≈picoseconde) donnent à ces mesures des valeurs
moyennes. De plus, l'équation de Karplus - même généralisée - donne en
moyenne quatre solutions par couplage.
Figure 29 : Règle pour les signes appliqués aux substituants de
l'hydrogène dans l'équation de Haasnoot [Haasnoot et coll., 1980]. Les
hydrogènes sont marqués 1 et 2, on attribue aux substituants les
signes indiqués. Cette règle revient à prendre le signe du cosinus de
l'angle entre :
le vecteur défini entre le carbone porteur de l'hydrogène concerné et
le substituant
et le produit vectoriel :
du vecteur défini entre le carbone porteur de l'hydrogène concerné
et le carbone porteur de l'hydrogène couplé
par le vecteur défini entre le carbone porteur de l'hydrogène
concerné et le carbone porteur de l'hydrogène couplé.
La variation théorique des couplages en fonction de l'angle de torsion χ1 (entre
Hα -Hβ) des acides aminés non standards de l'ActD est donnée sur la figure 30.
Les couplages pour la proline sont représentés figure 31 en fonction de l'angle de
torsion Hα -Cα -Cβ-Hβ1. Pour les prolines, le couplage de Hα -Hβ1 et celui de
Hα -Hβ2 sont liés puisque le dièdre Hα -Cα -Cβ-Hβ1 fait 120° de plus que
Hα -Cα -Cβ-Hβ2 à cause de l'angle de valence Hβ1-Hβ2. En outre, le domaine de
variation de Hβ1 est limité à environ [-60, +60] car la proline est un cycle.
Hertz
12
10
8
6
4
2
Degrés
00
90
Thréonine
180
N-Méthyl-valine
270
360
D-valine
Figure 30 : Evolution des couplages entre Hα et Hβ pour les acides
aminés non standards de l'Actinomycine D, en fonction de χ1, calculée
selon l'équation de Haasnott et coll. [Haasnoot et coll., 1980; Haasnoot et
coll., 1981].
Hertz
12
10
8
6
4
2
0
180
90
0
couplage H α-H β1
couplage H α-H β2
90
180
χ1 Degrés
Figure 31 : Couplages entre Hα et Hβ1 et Hα et Hβ2 dans la proline
calculés en fonction de l'angle de torsion Hα -Hβ1. Seule la région entre
environ -60° et 60° est accessible puisque la proline est un cycle, et par
conséquent la variation de l'angle de torsion entre Hα et Hβ1Hα est
limitée.
Effet Overhauser nucléaire ( NOE )
Mécanismes de relaxation et NOE
La relaxation provient des variations locales du champ magnétique. Si la
fréquence d'oscillation d'un champ magnétique local est égale à la fréquence de
résonance d'un spin dans le champ de l'aimant, celui ci est perturbé et un
échange d'énergie peut intervenir (relaxation). La variation locale du champ
magnétique peut être due aux noyaux voisins (mouvements moléculaires
internes), à des ions paramagnétiques, aux moments magnétiques induits des
liaisons chimiques. On estime que la relaxation d'un proton dans une
macromolécule est essentiellement d'origine dipolaire homonucléaire (c-à-d. due
aux protons voisins).
Densités spectrales
L'amplitude du champ local Hloc(t) n'étant pas constante, on évalue sa
persistance par une fonction d'autocorrélation <Hloc(t).Hloc(t+τ)> généralement
-τ
estimée par une exponentielle en τc , τc étant le temps de corrélation du
mouvement du vecteur joignant les différents spins. Seule donc les fluctuations à
une fréquence proche de la fréquence de Larmor ω0 du spin considéré peuvent
provoquer sa relaxation par résonance. La contribution du champ local variant à
une fréquence ω est obtenue par la transformée de Fourier J(ω) de la fonction
d'autocorrélation de ce champ local, et qu'on appelle densité spectrale. Dans le
-τ
cas où la fonction d'autocorrélation est une exponentielle en τc , on a
2τ c
J(ω) = [Solomon, 1955]. Les temps de relaxation T1 et T2 peuvent être
1+ ω 2τ c 2
décrits par une relation entre les distances des spins et les fonctions de densités
spectrales.
Temps de corrélation des mouvements internes
€ Néanmoins, il faut garder à l'esprit que la forme exacte des densités spectrales
dépend du modèle du mouvement du vecteur inter-spins. Les densités spectrales
dans le cas d'un ellipsoïde possédant des temps de corrélation de rotation
différents pour les trois axes (ou pour deux seulement) ont été données par
Woessner [Woessner, 1962a; Woessner, 1962b]. De même, Tropp a évalué la relaxation
dans un modèle où les distances interprotons sautent aléatoirement entre
plusieurs états [Tropp, 1980] (cas de la relaxation entre un proton et un méthyle).
Howarth a de même explicité les densités spectrales avec un formalisme
s'appliquant à des mouvements internes [Howarth, 1979].
King et coll. [King & Jardetzky, 1978; King et coll., 1978] ont développé un formalisme,
basé sur la théorie des processus de Markov (processus probabilistes sans
mémoire), qui permet de calculer les densités spectrales dans un système où
siègent des mouvements moléculaires arbitraires. Ce formalisme a été appliqué à
l'analyse de la relaxation du 13C dans une petite protéine (BPTI) [Ribeiro et coll.,
1980]. Lipari et Szabo [Lipari & Szabo, 1981; Lipari & Szabo, 1982a] ont étendu et
simplifié ce formalisme, dans le cas des mouvements internes rapides. Ils
montrent que les densités spectrales peuvent être estimées à partir d'un
paramètre d'ordre généralisé, S, et d'un temps de corrélation effectif, τe, par
l'équation suivante :
2
S 2τ M
(1− S 2 )τ
J(ω) = (
+
)
5 1+ (τ M ω ) 2 1+ (τω ) 2
où τ -1 = τM-1 + τ e-1, et τ M est le temps de corrélation moléculaire
global.
€
La chose intéressante est que τe et S sont définis indépendamment du modèle de
mouvement ("model free") et peuvent toujours être obtenus des expériences de
relaxation. On peut, par surcroît, les associer subséquemment à un modèle de
mouvement. S mesure en fait le degré de restriction spatiale du mouvement et τe
mesure la vitesse de ce mouvement. Ce paramètre d'ordre généralisé a été utilisé
dans plusieurs études expérimentales [Baleja & Sykes, 1991; Koehl & Lefèvre, 1990;
Lipari & Szabo, 1982b].
Analyses basées sur la dynamique moléculaire
D'autres auteurs ont utilisé la dynamique moléculaire [Levy et coll., 1982; Levy et
coll., 1981a; Levy et coll., 1981b; Withka et coll., 1991] ou le Monte Carlo [Genest, 1989]
pour évaluer les fonctions d'autocorrélation des mouvements internes des
macromolécules et calculer les coefficients de relaxation obtenus
expérimentalement.
Orientation des vecteurs interprotons
Dans le domaine des acides nucléiques, Keepers et James ont développé un
modèle pour les mouvements du squelette sucres-phosphates d'une l'hélice
d'oligonucléotide afin d'interpréter les données de relaxation du 13C et 31P grâce
aux densités spectrales tirées des fonctions d'autocorrélation de ces
mouvements [Keepers & James, 1982]. Withka et coll. [Withka et coll., 1990] ont évalué
l'erreur faite sur le temps de corrélation effectif en supposant qu'un
oligonucléotide n'a qu'un temps de corrélation de rotation. Ils ont montré qu'à
partir de dix paires de bases, il faut tenir compte de deux temps de corrélation,
correspondant aux vecteurs inter-spins parallèle et perpendiculaire à l'axe
hélicoïdal. Les temps de corrélation des paires de protons dans l'ADN ont été
estimés expérimentalement [Baleja & Sykes, 1991; Clore & Gronenborn, 1984a; Koehl &
Lefèvre, 1990]. Les temps de corrélation semblent plus faibles pour les paires
H2'-H2" que pour H5(CH3)-H6, et pour H1'-H2' que pour H2'-H2".
Effet Overhauser nucléaire (NOE)
L'effet NOE ("Nuclear Overhauser Enhancement") est dû à la relaxation dipolaire
entre spins. Pour deux spins, les équations de Solomon [Solomon, 1955] décrivent la
contribution de la relaxation croisée sur la variation de la magnétisation
longitudinale Mi du spin i "relaxé" par le spin j :
dMi
= -ρi (Mi -Mi 0) - σij(Mj-Mj0)
dt
où :
• Mi0 et Mj0 sont les magnétisations des spins i et j à l'équilibre
• σij = w2(ij) - w0(ij)
• ρi =w0(ij) - 2w1(i) + w2(ij) (même chose pour j)
• w0, w1, w2 sont les probabilités de transitions zéro, un et deux
quanta dues à l'interaction dipôle-dipôle des deux spins étudiés, w0
est indépendant de la fréquence (il dépend de la différence de
fréquence des deux spins), alors que w1 et w2 en dépendent
fortement.
Les probabilités de transitions wi peuvent être exprimés en fonction des densités
spectrales et donc les coefficients σ et ρ aussi [Noggle & Schirmer, 1971; Solomon, 1955] :
γ 4h2 N
1
ρ i =
[ (0,1J(ω i ) + 0,3J(ω i − ω j ) + 0,6J(ω i + ω j ))] ,
•
2 j=1,i=
j
4π
rij 6
€
γ 4h2 1
(0,1J(ω i ) + 0,3J(ω i − ω j ) + 0,6J(ω i + ω j )).
4Π 2 rij 6
Dans le cas de plusieurs spins, on a [Kalk & Berendsen, 1976] :
dM i
= −ρ i (M i − M i0 ) − ∑σ ij (M j − M j 0 ) .
dt
j /i
Cette dernière relation est une approximation dans laquelle on néglige les effets
dus à la corrélation des mouvements de paires de protons différentes ("cross
correlation"). Elle est à la base des calculs de la matrice dite de relaxation, qui est
la matrice des coefficients de relaxation ρ et σ de tous les systèmes de
spins [Johnson, 1965].
σij =
€
€
Pratique
Kumar et coll. [Kumar et coll., 1981] ont montré qu'on pouvait mesurer l'effet NOE
par RMN bidimensionnelle (expérience NOESY).
Mesure des volumes
Les volumes des pics croisés dans les expériences bidimensionnelles NOESY
peuvent être mesurés de plusieurs manières. On peut sommer directement les
hauteurs de tous les points du pic. L'estimation du volume des pics peut aussi
être améliorée en approchant le pic expérimental par une fonction
Lorentzienne [Ferretti & Weiss, 1989]. La carte NOESY est en général plus précise
dans la dimension d'acquisition (F2) que dans la dimension des spectres (F1). La
mesure et le calibrage des NOEs pose quelques problèmes, à cause par exemple,
des variations des lignes de base du spectre 2D, et des stratégies existent pour
s'affranchir partiellement du problème [Marion & Bax, 1988a; Marion & Bax, 1988b].
Les NOESY effectuées ici sur les complexes du ditercalinium et de l'analogue
étaient de 2048 points (F2) sur 256 points (F1).
Méthodes d'analyse des NOEs
Approximation pour deux spins
L'approximation dite "à deux spins" [Clore & Gronenborn, 1985; Dobson et coll., 1982;
Landy & Rao, 1989b; Olejniczak et coll., 1986; Saulitis & Liepins, 1990] est utilisée en raison
de sa simplicité [Clore & Gronenborn, 1984b]. Le développement en série de Taylor
NOEij(t) = σijt + ∑σ ik t 2 + … donne, pour t petit, NOE(t) ≈ σijt. Dans ce cas, on
k
essaie de négliger la diffusion de spin en tirant le coefficient de relaxation σ de
l'approximation linéaire de la courbe du NOE en fonction du temps de mélange
aux temps de mélange faibles. Le problème est qu'aux temps de mélanges
faibles, €
les NOEs sont faibles aussi, d'où de grandes erreurs relatives.
Estimation par rapport à des distances de références
Dans le cas précédent, on cherche une distance entre deux protons connue et fixe
(rref) dans la structure et qui se manifeste par un NOE bien visible (H5-H6 ou
H2'-H2" généralement pour les oligonucléotides) et on tire la distance rij
cherchée de l'approximation :
rij 6 σ ref
=
rref 6 σ ij
où :
€
• σij6 : constante de relaxation du couple de protons i,j;
• σref6 : constante de relaxation du couple de protons i,j
On suppose ici :
• que le temps de corrélation τc du vecteur interproton est le même
que celui de la distance de référence
• que la diffusion de spin n'est pas suffisamment développée au
temps de mélange faibles et qu'elle peut être négligée.
Calcul de la matrice des NOEs
Nécessité d'une structure initiale
La matrice de relaxation peut être calculée à partir d'une structure dont on
connaît les coordonnées. En effet, les densités spectrales, comme nous l'avons
déjà vu, peuvent être calculées si on connait le temps de corrélation du vecteur
interproton. Les coefficients de relaxation sont calculés à partir de ces densités
spectrales et des distances inter-spins. Et l'équation de Solomon généralisée à
plusieurs spins [Kalk & Berendsen, 1976] donne la matrice des NOE à partir de celle
des coefficients de relaxation en fonction du temps de mélange par la relation :
= C(0)e-Γt,
où :
• C(t) est la matrice des NOEs calculés au temps de mélange t,
• Γ est la matrice de relaxation.
On peut résoudre cette équation spin par spin par intégration numérique [Forster,
1991; Marion et coll., 1987]. On peut aussi la résoudre de manière matricielle. C'est la
méthode de la matrice de relaxation [Borgias & James, 1988a; Borgias & James, 1988b;
Borgias & James, 1989]. Pour calculer l'exponentielle de Γ, on doit diagonaliser cette
dernière. En effet, si Λ est la matrice des valeurs propres de Γ, et P la matrice de
ses vecteurs propres, on a e-Γ = P e-Λ P-1, et Λ étant diagonale, on peut calculer
directement son exponentielle.
Yip a aussi utilisé le calcul par perturbations pour calculer la matrice des
NOEs [Yip, 1989]. La méthode du calcul de la matrice de relaxation est largement
utilisée dans le champ de la RMN des acides nucléiques [Broido et coll., 1985; Gochin
& James, 1990; Kessler et coll., 1988b; Lancelot et coll., 1989; Massefki & Bolton, 1990;
Nikonowicz et coll., 1990; Powers et coll., 1990; Schmitz et coll., 1991; Suzuki et coll., 1986; Zhou
et coll., 1987]. On a aussi tenté de formaliser l'approche de la matrice de relaxation
par l'adjonction d'une matrice cinétique dans les systèmes sujets à des échanges
chimiques [Landy & Rao, 1989a]. L'échange et la relaxation sont intriqués dans l'effet
NOE et les études à ce sujet sont nombreuses [Lane, 1990; Lane, 1988; Lane & Forster,
1989; Lane et coll., 1986; Olejniczak et coll., 1984].
Méthode de la matrice "hybride"
La méthode de la matrice "hybride" [Bremer et coll., 1984; Olejniczak et coll., 1986; Perrin
& Gipe, 1984] est basée sur l'équation de Solomon généralisée à plusieurs spins. Il
s'agit d'utiliser la relation :
-1
A(t m )
Γ = t Ln[ ],
m
A(0)
où :
€
• A(tm) est la matrice des NOEs au temps de mélange tm,
• Γ est la matrice de relaxation.
Cette méthode est largement utilisée [Boelens et coll., 1988; Boelens et coll., 1989;
Borgias & James, 1988b; Gochin & James, 1990; Kaluarachchi et coll., 1991; Nikonowicz et coll.,
1990; Powers & Gorenstein, 1990; Powers et coll., 1990]. Il faudrait connaître la matrice
complète des NOEs pour résoudre cette équation. Etant donné qu'on ne connaît
jamais (dans le cas des macromolécules) la matrice complète, mais seulement une
partie de celle-ci, on complète les pics manquants par un calcul de matrice de
relaxation sur une structure de départ qu'on suppose être relativement voisine
de celle cherchée. La matrice est alors dite "hybride", puisqu'elle contient des
NOEs calculés (sur la structure de départ) et des NOEs expérimentaux. Pour
calculer son logarithme, on doit diagonaliser cette matrice. Dans cette
diagonalisation, des problèmes de valeurs propres négatives, dont on ne peut
calculer le logarithme, surgissent, auxquels chacun apporte une correction
différente : augmentation de toutes les valeurs propres pour les rendre
positives [Borgias & James, 1988b], changement graduel dans la matrice "hybride"
des NOEs calculés en NOEs observés en ajoutant une petite fraction de la
différence NOE calculé - NOE observé au NOE calculé [Boelens et coll., 1989]. Dans
l'article III, nous montrons que, dans notre cas, les valeurs propres négatives
empêchent tout calcul dès que les NOEs expérimentaux sont un peu bruités.
Minimisation des NOEs par rapport aux coordonnées cartésiennes
Pour se débarrasser des problèmes liés à la matrice "hybride", on peut essayer de
minimiser l'écart entre les NOEs observés et les NOEs calculés sur une structure
de départ. Il faut pour utiliser cette méthode avoir le gradient de cet écart par
rapport aux coordonnées de la structure. Un minimiseur à métrique variable
utilise ce gradient dans la recherche du minimum de l'écart NOEs observés NOEs calculés (voir chapitre minimiseurs). Différentes études, basées sur le calcul
intermédiaire de la matrice de relaxation, calculent ce gradient
numériquement [Baleja, 1992; Baleja et coll., 1990a], ou analytiquement, par une
approximation [Koehl & Lefèvre, 1990] ou exactement [Yip & Case, 1989].
L'approximation dite à deux spins peut aussi être utilisé à la place de la matrice de
relaxation pour calculer ce gradient [Bonvin & Kaptein, 1991]. Une approche itérative
basée sur une minimisation par les gradients conjugués de la différence entre les
NOEs observés et les NOEs calculés sur un modèle, avec une estimation du
premier ordre pour le gradient, a été récemment publiée [Robinson & Wang, 1992].
Dans la méthode utilisée ici, il faut connaître analytiquement la dérivée de la
matrice des NOEs par rapport aux coefficients de relaxation de la matrice de
relaxation, puis la dérivée de cette matrice par rapport aux coordonnées. Il faut
donc calculer la dérivée de l'exponentielle d'une matrice par rapport à une
matrice. C'est un résultat connu [Graham, 1981], et on a ainsi :
∂Cab
∂Γij = Σ,mn PamPbnPimPjn f[t])
où :
eγ n t − eγ m t
• f[t] = , si m ≠ n, sinon f(t) = t e γ m t
γn − γm
• C est la matrice des NOEs calculés sur la structure,
€
€
• γn, γm sont les nième et mième valeurs propres de Γ,
• P est la matrice des vecteurs propres de Γ.
Il suffit de dériver les Γij (qui ne sont rien d'autre que les coefficients de
relaxation ρ et σ) par rapport aux coordonnées pour avoir la dérivée complète
cherchée. Comme il est montré dans l'article III, il faut choisir le facteur d'échelle
entre NOEs observés et NOEs calculés avec soin pour que le minimiseur
subséquemment utilisé ne s'exerce pas sur lui en le rendant nul.
Des calculs théoriques extensifs sur un octanucléotide sont développés dans
l'article III. Ainsi, la méthode semble beaucoup plus stable que la méthode de la
matrice "hybride" et elle donne des estimations meilleures au point de vue des
distances (voir article III). Il faut noter à ce point que les temps de corrélation
utilisés sont arbitraires, ils peuvent être différents pour différents vecteurs
interprotons ou bien avoir tous la même valeur. Le problème des mouvements
internes reste entier et une approche pour en tenir compte est donnée dans le
paragraphe suivant.
€
Minimisation des NOEs par rapport aux temps de corrélation
En effet, on peut aussi minimiser l'écart NOEs observés - NOEs calculés par
rapport aux temps de corrélation dont les coefficients de relaxation dépendent
aussi. La procédure est la même qu'au dessus pour la minimisation par rapport
aux coordonnées cartésiennes, sauf qu'on dérive cette fois les coefficients de
relaxation par rapport à des temps de diffusion atomiques τi . Les temps de
diffusion atomiques des protons i et j, τi et τj, sont définis par :
1
1 1
= +
τ ij τ i τ j
τij étant le temps de corrélation du vecteur interproton entre i et j.
Cette minimisation par rapport aux temps de diffusion a été tentée dans l'article
III. La procédure semble plus "fragile" que la minimisation par rapport aux
coordonnées cartésiennes, et il semble qu'elle devrait être appliquée après la
procédure de minimisation par rapport aux coordonnées cartésiennes et après
minimisation d'énergie de la structure, afin de résoudre les écarts encore
observés sur une structure jugée valide.
Minimisation généralisée des NOEs et de l'énergie
On peut évidemment minimiser à la fois les NOEs et l'énergie [article III]. Cette
procédure est toutefois complexe dans la mesure où il faut fixer les priorités
respectives des potentiels NOE et énergétique, et que les résultats obtenus en
dépendent évidemment.
Références bibliographiques
Adby, P. R. et Dempster, M. A. H. (1974). "Introduction to optimization methods". Chapman
and Hall Ltd, London.
Allinger, N. (1977). "Conformational Analysis. 130. MM2. A hydrocarbone force field utilizing
V 1 and V2 torsional terms". J. Amer. Chem. Soc., 99(25), 8127-8134.
Angerman, N. S., Victor, T. A., Bell, C. L. et Danyluk, S. S. (1972). "A proton magnetic resonance
study of the aggregation of Actinomycin D in D2 O". Biochemistry, 11(13), 2402-2411.
Arnott, S., Dover, S. D. et Wonacott, A. J. (1969). "Least-squares refinement of the crystal and
molecular structure of DNA and RNA from X-ray data and bond length and angles". Acta
Cryst., 25, 2192-2206.
Arnott, S. et Hukins, D. W. L. (1972). "Optimized parameters for A-DNA and B-DNA".
Biochem. Biophys. Res. Commun., 47(6), 1504-1509.
Arnott, S. et Hukins, D. W. L. (1973). "Refinement of the structure of B-DNA and implications
for the analysis of X-ray diffraction data from fibers of biopolymers". J. Mol. Biol., 81, 93-105.
Arnott, S., Hukins, D. W. L., Dover, S. D., Fuller, W. et Hodgson, A. R. (1973). "Structures of
synthetic polynucleotides in the A-RNA and A' -RNA conformations: X-ray diffraction
analuyses of the molecular conformations of polyadenylic acid. Polyuridylic acid and
Polyinosinic acid. Polycytidylic acid". J. Mol. Biol., 81, 107-122.
Aue, W. P., Bartholdi, E. et Ernst, R. R. (1976). "Two-dimensional spectroscopy. Application to
nuclear magnetic resonance". J. Chem. Phys., 64(5), 2229-2246.
Baleja, J. D. (1992). "NOE-based structure determination without the use of NMR derived
interproton distances". J. Magn. Reson., 96, 619-623.
Baleja, J. D., Moult, J. et Sykes, B. D. (1990a). "Distance measurement and structure refinement
with NOE data". J. Magn. Reson., 87, 375-384.
Baleja, J. D., Pon, R. T. et Sykes, B. D. (1990b). "Solution structure of phage λ half-operator
DNA by use of NMR, restrained molecular dynamics, and NOE based refinement".
Biochemistry, 29, 4828-4839.
Baleja, J. D. et Sykes, B. D. (1991). "Correlation time adjustement factors for NOE-based
structure refinement". J. Magn. Reson., 91, 624-629.
Banks, K. M., Hare, D. R. et Reid, B. R. (1989). "Three-dimensional solution structure of a DNA
duplex containing the BclI restriction sequence: Two-dimensional NMR studies, distance
geometry calculations, and refinement by back-calculation of the NOESY spectrum".
Biochemistry, 28, 6996-7010.
Banville, D. L., Feuerstein, B. G. et Shafer, R. H. (1991). "1 H and 3 1P nuclear magnetic
resonance studies of spermine binding to the Z-DNA form of d(m5 CGm5 CGm5 CG)2 - evidence
for decreased spermine mobility". J. Mol. Biol., 219, 585-590.
Bash, P. A., Field, M. J. et Karplus, M. (1987a). "Free energy perturbation method for chemical
reactions in the condensed phase: A dynamical approach based on a combined quantum and
molecular mechanics potential". J. Am. Chem. Soc., 109, 8092-8094.
Bash, P. A., Singh, U. C., Landridge, R. et Kollman, P. A. (1987b). "Free energy calculations by
computer simulation". Science, 236, 564-568.
Bax, A. et Davis, D. G. (1985). "MLEV-17-based two-dimensional homonuclear magnetization
transfer spectroscopy". J. Magn. Reson., 65, 355-360.
Bendirdjian, J. P., Delaporte, C., Roques, B. P. et Jacquemin-Sablon, A. (1984). "Effect of 7Hpyridocarbazole mono- and bifunctional DNA intercalators on Chinese hamster lung cells in
vitro". Biochem. Pharmacol., 33, 3681-3688.
Berendsen, H. C. J., Postma, J. P. M., van Gunsteren, W. F., DiNola, A. et Haak, J. R. (1984).
"Molecular dynamics with coupling to an external bath". J. Chem. Phys., 81(8), 3684-3690.
Besler, B., Mertz Jr, K. M. et Kollman, P. A. (1990). "Atomic charges derived from
semiempirical methods". J. Comp. Chem., 11(4), 431-439.
Beveridge, D. L. et DiCapua, F. M. (1990). "Free energy via molecular simulations: A primer".
dans Computer Simulation of Biomolecular Systems: Theoretical and experimental
applications , pp. 1-26, .
Binkley, J. S., Pople, J. A. et Hehre, W. J. (1980). "Self consistent molecular orbital methods. 21.
Small split-valence basis sets for first-row elements". J. Amer. Chem. Soc., 102, 939-947.
Birdsall, B. B., Birdsall, N. J. M., Feeney, J. et Thornton, J. (1975). "A nuclear magnetic
resonance investigation of the conformation of Nicotinamide mononucleotide in aqueous
solution". J. Amer. Chem. Soc., 97(10), 2845-2850.
Bodenhausen, G., Freeman, R. et Turner, D. L. (1977). "Suppression of artifact in twodimensional J spectroscopy". J. Magn. Reson., 27, 511-514.
Boelens, R., Koning, T. M. G. et Kaptein, R. (1988). "Determination of biomolecular structures
from proton-proton NOE's using a relaxation matrix approach". J. Mol. Struct., 173, 299-311.
Boelens, R., Koning, T. M. G., Van der Marel, G. A., van Boom, J. H. et Kaptein, R. (1989).
"Iterative procedure for structure determination from proton-proton NOEs using a full
relaxation matrix approach. Application to a DNA octamer". J. Magn. Reson., 82, 290-308.
Bonvin, A. M. J. J. et Kaptein, R. (1991). "Direct NOE refinement of biomolecular structures using
2D NMR data". J. Biomol. NMR, 1, 305-309.
Borgias, B. A. et James, T. L. (1988a). "COMATOSE: A method for constrained refinement of
macromolecular structure based on 2D NOE spectra". J. Magn. Reson., 79, 493-512.
Borgias, B. A. et James, T. L. (1988b). "MARDIGRAS: A procedure for Matrix Analysis of
Relaxation for Discerning Geometry of an Aqueous Structure". J. Magn. Reson., 87, 475-487.
Borgias, B. A. et James, T. L. (1989). "Two-dimensional nuclear Overhauser effects: Complete
relaxation matrix analysis". Meth. Enzym., 176, 169-183.
Braun, W., Bösch, C., Brown, L. R., Go, N. et Wüthrich, K. (1981). "Combined use of protonproton Overhauser enhancements and a distance geometry algorithm for determination of
polypeptide conformations: Application to micelle-bound glucagon". Bioch. Biophys. Acta, 667,
377-396.
Braun, W. et Go, N. (1985). "Calculation of Protein Conformations by proton-proton distance
constraint: A new efficient algorithm". J. Mol. Biol., 186, 611-626.
Bremer, J., Mendz, G. L. et Moore, W. J. (1984). "Skewed Exchange Spectroscopy. TwoDimensional Method for the Measurement of Cross Relaxation in 1H NMR Spectroscopy". J.
Am. Chem. Soc., 106, 4691-4696.
Broido, M. S., James, T. L., Zon, G. et Keepers, J. W. (1985). "Investigation of the solution
structure of a DNA octamer [d(GGAATTCC)]2 using two-dimensional nuclear Overhauser
enhancement spectroscopy.". Eur. J. Biochem., 150, 117-128.
Brooks, B. R., Bruccoleri, R. E., Olafson, B. D., States, D. J., Swaminathan, S. et Karplus, M.
(1983). "CHARMM: A program for macromolecular energy, minimisation, and dynamics
calculations.". J. Comp. Chem., 4(2), 187-217.
Brown, S. C., Mullis, K., Levenson, C. et Shafer, R. H. (1984). "Aqueous solution structure on an
intercalated actinomycin D-dATGCAT complex by two-dimensional and one-dimensional
proton NMR". Biochemistry, 23, 403-498.
Brunck, T. K. et Weinhold, F. (1979). "Quantum-mechanical studies on the origin of barriers to
internal rotation about single bonds". J. Amer. Chem. Soc., 101(7), 1660-1665.
Bunte, T., Novak, U., Friedrich, R. et Moelling, K. (1980). "Effect of actinomycin D on nucleic
acid hybridization: The cause of erroneous DNA elongation during DNA synthesis of RNA
viruses in vitro.". Bioch. Bioph. Acta., 610, 241-247.
Capelle, N., Barbet, J., Dessen, P., Blanquet, S., Roques, B. P. et Le Pecq, J. B. (1979).
"Deoxyribonucleic acid bifunctional intercalators: Kinetic investigation of the binding of
several acridine dimers to deoxyribonucleic acid". Biochemistry, 18, 3354-3362.
Cavanagh, J., Chazin, W. J. et Rance, M. (1990). "The time dependence of coherence transfer in
homonuclear isotropic mixing experiments". J. Magn. Reson., 87, 110-131.
Chen, F. M. (1988a). "Binding specificities of actinomycin D to self-complementary
tetranucleotide sequences -XGCY-". Biochemistry, 27, 6393-6397.
Chen, F. M. (1988b). "Kinetic and equilibrium binding studies of actinomycin D with some
d(TGCA)-containing dodecamers". Biochemistry, 27, 1843-1848.
Chirlian, L. E. et Francl, M. M. (1987). "Atomic charges derived from electrostatic potentials: A
detailed study". J. Comp. Chem., 8(6), 894-905.
Ciccotti, G., Ferrario, M. et Ryckaert, J.-P. (1982). "Molecular dynamics of rigid systems in
cartesian coordinates. A general formulation". Mol. Phys., 47, 1253-1264.
Cieplak, P., Bash, P., Singh, U. C. et Kollman, P. A. (1987). "A theoretical study of
tautomerism in the gas phase abd aqueous solution: A combined use of the "state-of-the-art" ab
initio quantum mechanics and free energy perturbation methods". J. Am. Chem. Soc., 109, 62836289.
Cieplak, P. et Kollman, P. A. (1991). "On the use of electrostatic potential derived charges in
molecular mechanics force fields. The relative solvation free energy of cis- and trans-NMethyl-Acetamide". J. Comp. Chem., 12(10), 1232-1236.
Cieplak, P., Rao, S. N., Grootenhuis, P. D. J. et Kollman, P. A. (1990). "Free energy calculation
on base specificity of drug-DNA interactions: Application to daunomycine and acridine
intercalation into DNA". Biopolymers, 29, 717-727.
Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1981). "A nuclear-Overhauser-enhancement study of the
solution structure of a double-stranded DNA undecamer comprising a portion of the specific
target site for the cyclic-AMP-receptor protein in the gal operon. Sequential resonance
assignment.". Eur. J. Biochem., 14, 9-136.
Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1984a). "Internal mobility in a double-stranded B DNA
hexamer and undecamer . A time-dependent proton-proton nuclear Overhauser enhancement
study.". FEBS Lett., 172(2), 219-226.
Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1984b). "Interproton distance measurements in solution for a
double-stranded DNA undecamer comprising a porton of the specific target site for the cyclic
AMP receptor protein in the gal-operon. A nuclear Overhauser enhancement study.". FEBS
Lett., 175(1), 117-123.
Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1985). "Assessment of errors involved in determination of
interproton distances ratios and distances by means of one- and two-dimensional NOE
measurements". J. Magn. Res., 61, 158-164.
Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1991). "Two-, three-, and four-dimensional NMR methods for
obtaining larger and more precise three-dimensional structures of proteins in solution". Ann.
Rev. Biophysics Biophys. Chem., 20, 29-63.
Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Brünger, A. T. et Karplus, M. (1985). "Solution conformation of a
heptadecapeptide comprising the DNA binding helix F of the cyclic AMP receptor protein of
Escherishia coli. Combined use of 1 H nuclear magnetic resonance and restrained molecular
dynamics.". J. Mol. Biol., 186, 435-455.
Cognet, J. A. H., Gabarro-Arpa, J., Cuniasse, P., Fazakerley, G. V. et Le Bret, M. (1990).
"Molecular mechanics and dynamics of an abasic frameshift and comparison to NMR data". J.
Biomol. Struct. Dyn., 7(5), 1095-1115.
Cohen, G. et Eisenberg, H. (1969). "Viscosity and Sedimentation Study of Sonicated DNAProflavine Complexes". Biopolymers, 8, 45-55.
Creighton, S., Rudolph, B., Lybrand, T. P., Singh, U. C., Shafer, R. H., Brown, S., Kollman, P.
A., Case, D. A. et Andrea, T. (1989). "A combined 2D-NMR and molecular dynamics analysis of
the structure of the Actinomycin D: d(ATGCAT)2 complex". J. Biomol. Struct. Dyn., 6(5), 929969.
Crippen, G. M. (1977). "A novel approach to the calculation of conformation: Distance
geometry". J. Comp. Phys., 24, 96-107.
Crippen, G. M. (1978). "Rapid calculation of coordinates from distance matrices". J. Comp.
Phys., 26, 449-452.
Crippen, G. M. et Havel, T. F. (1978). "Stable circulation of coordinates from distance
information.". Acta Cryst., 34, 282-284.
Crothers, D. M. (1971). "Statistical thermodynamics of nucleic acid melting transitions with
coupled binding equilibria". Biopolymers, 10, 2147-2160.
Crothers, D. M., Sabol, S. L., Ratner, D. I. et Müller, W. (1968). "Studies concerning the
behavior of actinomycin in solution". Biochemistry, 5, 1817-1823.
Cuniasse, P., Sowers, L. C., Eritja, R., Kaplan, B., Goodman, M. F., Cognet, J. A. H., Le Bret, M.,
Guschlhauer, W. et Fazakerley, G. V. (1987). "An abasic site in DNA. Solution conformation
determined by proton NMR and molecular mechanics calculations.". Nucleic Acids Res., 15(19),
8003- 8022.
Davies, D. B. et Danyluk, S. (1974). "Nuclear magnetic resonance studies of 5'-ribo- and
deoxyribonucleotide structures in solution". Biochemistry, 13(21), 4417-4434.
De Leeuw, F. et Altona, C. (1982). "Component vicinal coupling constants for calculating side
chain conformations in amino acids". Int. J. Peptide Protein Res., 20, 120-125.
De Leeuw, F. A. A. M. et Altona, C. (1983). "Computer-assisted pseudorotation analysis of fivemembered rings by means of proton spin-spin coupling constants: Program PSEUROT". J. Comp.
Chem., 4(3), 428-437.
De Leeuw, F. A. A. M., Haasnoot, C. A. G. et Altona, C. (1984). "Calculation of NMR spin-spin
coupling constants using the extended Hückel molecular orbital method". J. Amer. Chem. Soc.,
106(8), 2299-2306.
Dewar, M. J. S. et Thiel, W. (1977a). "Ground states of molecules. 38. The MNDO method.
Approximations and parameters". J. Amer. Chem. Soc., 99, 4899-4906.
Dewar, M. J. S. et Thiel, W. (1977b). "Ground states of molecules. 39. MNDO results for
molecules containing hydrogen, carbon, nitrogen, and oxygen". J. Amer. Chem. Soc., 99, 49074917.
Dewar, M. J. S., Zoebisch, E. G., Healy, E. F. et Stewart, J. J. P. (1985). "AM1: A new general
purpose quantum mechanical molecular model". J. Amer. Chem. Soc., 107, 3902-3909.
Dickerson, R. E., Bansal, M., Calladine, C. R., Diekman, S., Hunter, W. N., Lavery, R., Nelson,
H. C. M., Olson, W. K., Saenger, W., Shakked, Z., Sklenar, H., Soumpasis, D. M., Tung, C.-S.,
Kitzing, E. V., Wang, A. H.-J. et Zhurkin, V. B. (1989). "Definitions and nomenclature of nucleic
acid structure parameters". J. Biomol. Struct. Dyn., 6(4), 627-634.
Dillen, J. L. M. (1992). "PEFF: A program for the development of empirical force field". J. Comp.
Chem., 13(3), 257-267.
Dobson, C. M., Lian, L.-Y., Redfield, C. et Topping, K. D. (1986). "Measurement of hydrogen
exchange rate using 2D NMR spectroscopy". J. Magn. Reson., 69, 201-209.
Dobson, C. M., Olejnicjak, E. T., Pulsen, F. M. et Ratcliffe, R. G. (1982). "Time development of
proton nuclear Overhauser effects in proteins". J. Magn. Reson., 48, 97-110.
Durup, J. (1990). "Les méthodes de trajectoires classiques pour l' étude des systèmes
macromoléculaires". J. Chim. Phys., 87, 647-682.
Durup, J. (1991). "Protein molecular dynamics constrained to slow modes. Theoretical approach
based on a hierarchy of local modes with a set of holonomic constraints: The method and its
tests on citrate synthase". J. Phys. Chem., 95, 1817-1829.
Emsley, L. et Bodenhausen, G. (1990). "Volume-selective NMR spectroscopy with selfrefocusing pulses". J. Magn. Reson., 87, 1-17.
Ermer, O. et Lifson, S. (1973). "Consistent force field calculations. III. Vibrations,
conformations, and heats of hydrogenation of nonconjugated olefins". J. Amer. Chem. Soc., 95,
4121-4132.
Ernst, R. R., Bodenhausen, G. et Wokaun, A. (1987). "Principles of Nuclear Magnetic Resonance
in One and Two Dimensions". Clarendon Press, Oxford.
Esnault, C., Brown, S. C., Segal-Bendirdjian, E., Coulaud, D., Mishal, Z., Roques, B. P. et Le
Pecq, J. B. (1990). "Selective alteration of mitochondrial function by ditercalinium (NSC
335153), a DNA bisintercalating agent". Biochem. Pharm., 39(1), 109-122.
Fletcher, R. et Powell, M. J. D. (1963). "A rapidly convergent descent method for minimization".
Computer J., 6, 163-168.
Fletcher, R. et Reeves, C. M. (1964). "Function minimization by conjuguate gradients". Computer
J., 7, 149-154.
Forster, M. J. (1991). "Comparison of computational methods for simulating NOE in NMR
spectroscopy". J. Comp. Chem., 12(3), 292-300.
Gabarro-Arpa, J., Cognet, J. A. H. C. et Le Bret, M. (1992). "Object Command Language: A
formalism to build molecular models and to analyze structural parameters in macromolecules".
J. Mol. Graph., in press.
Gelin, B. et Karplus, M. (1979). "Side-chain torsional potentials: Effect of dipeptide, protein,
and solvent environnement". Biochemistry, 18, 1256-1268.
Genest, D. (1989). "A Monte-Carlo simulation study of the influence of internal motions on the
molecular conformation deduced from 2D experiments". Biopolymers, 28, 1903-1911.
Giessner-Prettre, C. (1984). "Ab initio quantum mechanical calculations of NMR chemical
shifts in nucleic acids constituents. I. The Watson-Crick base pairs". J. Biomol. Struct. Dyn., 2,
233-248.
Giessner-Prettre, C. (1985). "Ab initio quantum mechanical calculations of NMR chemical
shifts in nucleic acids constituents. II. Conformational dependence of the 1 H and 1 3C chemical
shifts in the ribose". J. Biomol. Struct. Dyn., 3, 145-160.
Giessner-Prettre, C. (1986). "Ab initio quantum mechanical calculations of NMR chemical
shifts in nucleic acids constituents. III. Chemical shift variations due to base stacking". J.
Biomol. Struct. Dyn., 4, 99-110.
Giessner-Prettre, C. et Pullman, B. (1970). "Intermolecular Nuclear Shielding Values for
Protons of Purines and Flavins". J. Theor. Biol., 27, 87-95.
Giessner-Prettre, C. et Pullman, B. (1976). "BIOPHYSIQUE MOLECULAIRE. Sur les courbes
d'isoécran des protons dans quelques agents s'intercalant dans les acides nucleiques". C. R. Acad.
Sc. PARIS, 283(D), 675-677.
Giessner-Prettre, C. et Pullman, B. (1987). "Quantum mechanical calculations of NMR chemical
shifts in nucleic acids". Q. Rev. Biophys., 20(3/4), 113 - 172.
Giessner-Prettre, C., Pullman, B., Ribas-Prado, F., Cheng, D., Iuorno, V. et Ts'o, P. O. P. (1984).
"Contributions of the PO Ester and CO torsion Angles of the Phosphate Group to 31P-Nuclear
Magnetic Shielding Constant in Nucleic Acids: Theoretical and Experimental Study of Model
Compounds". Biopolymers, 23, 377-388.
Gochin, M., Zon, G. et James, T. L. (1990). "Two-dimensional COSY and NOE and twodimensional NOE spectroscopy of d(AC)4 .d(GT)4 : Extraction of structural constraints".
Biochemistry, 29, 11161-11171.
Gorenstein, D. G. (1975). "Dependence of 3 1P chemical shifts on oxygen-phosphorus-oxygen bond
angles in phosphate esters". J. Amer. Chem. Soc., 97, 898-900.
Gorenstein, D. G. (1984a). "Phosphorus 31 NMR: Principles and Applications". Academic Press,
New York.
Gorenstein, D. G. (1984b). "Phosphorus-31 spin-spin coupling constants: Principles and
Applications". dans Phosphorus 31 NMR: Principles and Applications , pp. 37-53, Academic
Press, New York.
Gorenstein, D. G. et Kar, D. (1975). "3 1P chemical shifts in phosphate diesters monoanoins.
Bond angle and torsional angle effects.". Biochem. Biophys. Res. Com., 65(3), 1073-1080.
Graham, A. (1981). "Kronecker products and matrix calculus with applications". John Wiley &
Sons Ltd, New York.
Griesinger, C., Sorensen, O. W. et Ernst, R. R. (1987). "Novel three-dimensional NMR
techniques for studies of peptides and biological macromolecules". J. Amer. Chem. Soc., 109,
7227-7228.
Griesinger, C., Sorensen, O. W. et Ernst, R. R. (1989). "Three-dimensional fourier spectroscopy.
Application to high-resolution NMR". J. Magn. Res., 84, 14-63.
Gronenborn, A. M. et Clore, G. M. (1984). "Investigation of the solution structures of short nucleic
acid fragments by means of nuclear Overhauser enhancement measurements". Prog. NMR
Spectrosc., 17, 1-32.
Haasnoot, C. A. G., De Leeuw, F. et Altona, C. (1980). "The relationship between proton-proton
NMR coupling constants and substituent electronegativities. An empirical generalization of the
Karplus equation.". Tetrahedron, 36, 2783-2792.
Haasnoot, C. A. G., De Leeuw, F. A. A. M., De Leeuw, H. P. M. et Altona, C. (1981).
"Relationship between proton-proton NMR coupling constants and substitutent
electronegativities. III. Conformational analysis of proline rings in solution using a generalized
Karplus equation". Biopolymers, 20, 1211-1245.
Havel, T. F., Krippen, G. M. et Kuntz, I. D. (1979). "Effects of distance constraints on
Macromolecular Conformation. II. Simulation of experimental results and theoretical
predictions". Biopolymers, 18, 73-81.
Havel, T. F., Kuntz, I. D. et Krippen, G. M. (1983). "The theory and practice of distance
geometry". Bull. Math. Biol., 45(5), 665-720.
Havel, T. F. et Wüthrich, K. (1984). "A distance geometry program for determining the
structures of small proteins and other macromolecules from nuclear magnetic resonance
measurement of 1 H -1 H proximities in solution". Bull. Math. Biol., 46(4), 673-698.
Havel, T. F. et Wüthrich, K. (1985). "An evaluation of the combined use of Nuclear Magnetic
resonance and distance geometry for the determination of protein conformations in solution". J.
Mol. Biol., 182, 281-294.
Hosur, R. V., Govil, G. et Miles, H. T. (1988). "Application of two-dimensional NMR
spectroscopy in the determination of solution conformation of nucleic acids". Magn. Res. Chem.,
26, 927-944.
Hosur, R. V., Kumar, M. R. et Sheth, A. (1985). "Resolution enhancement by ω1 chemical-shift
scaling in two-dimensional homonuclear correlated spectroscopy". J. Magn. Reson., 65, 375-381.
Howarth, O. W. (1979). "Effect of internal librational motions on the 1 3C nuclear magnetic
resonance relaxation times of polymers and peptides". J. Chem. Soc., Faraday Trans. 2, 75, 863873.
Huggins, M. L. (1953). "Bond energies and polarities". J. Amer. Chem. Soc., 75(17), 4123-4126.
Jardetzky, O. (1980). "On the nature of molecular conformations inferred from high-resolution
NMR". Bioch. Bioph. Acta, 621, 227-232.
Johnson, C. S. J. (1965). "Chemical rate processes and magnetic resonance". Adv. Magn. Res., 1,
33-102.
Kalk, A. et Berendsen, H. J. C. (1976). "Proton magnetic relaxation and spin diffusion in
proteins". J. Magn. Reson., 24, 343-366.
Kaluarachchi, K., Meadows, R. P. et Gorenstein, D. G. (1991). "How accurately can
oligonucleotide structures be determined from the hybrid relaxation rate matrix/ NOESY
distance restrained molecular dynamics approach ?". Biochemistry, 30, 8785-8797.
Karplus, M. (1959). "Contact electron-spin coupling of nuclear magnetic moments". J. Chem.
Phys., 30(1), 11-15.
Karplus, M. (1963). "Vicinal proton coupling in nuclear magnetic resonance". J. Amer. Chem.
Soc., 85, 2870-2871.
Karplus, M. et Petsko, G. A. (1990). "Molecular Dynamics simulations in biology". Nature, 347,
631-639.
Kay, L. E., Marion, D. et Bax, A. (1989). "Practical aspects of 3D heteronuclear NMR of
proteins". J. Magn. Res., 84, 74-84.
Keepers, J. W. et James, T. L. (1982). "Models for DNA backbone motions: an interpretation of
NMR relaxation experiments". J. Am. Chem. Soc., 104, 929-939.
Keepers, J. W., Kollman, P., Weiner, P. K. et James, T. L. (1982). "Molecular-mechanical studies
of DNA flexibility: coupled backbone torsion angles and base-pair openings". Proc. Natl. Acad.
Sci. USA, 79, 5537-5541.
Kemmink, J., Boelens, R., Koning, T. M. G., Kaptein, R., van der Marel, G. A. et van Boom, J. H.
(1987). "Conformational changes in the oligonucleotide duplex d(GCGTTGCG)•d(CGCAACGC)
induced by formation of a cis-syn thymine dimer". Eur. J. Biochem., 162, 37-43.
Kerwood, D. J., Zon, G. et James, T. L. (1991). "Structure determination of [d(atatatauat)]2 via
two-dimensional NOE spectroscopy and molecular dynamics calculations". Eur. J. Biochem.,
197, 583-595.
Kessler, H., Gehrke, M. et Griesinger, C. (1988a). "Two-dimensional NMR spectroscopy:
Background and overview of the experiments". Ang. Chem., 27(4), 490-536.
Kessler, H., Griesinger, C., Lautz, J., Müller, A., van Gunsteren, W. F. et Berendsen, H. J. C.
(1988b). "Conformational dynamics detected by NMR NOE values and J coupling constants". J.
Am. Chem. Soc., 110, 3393-3396.
King, R. et Jardetzky, O. (1978). "A general formalism for the analysis of NMR relaxation
measurements on systems with multiple degrees of freedom". Chem. Phys. Lett., 55(1), 15-18.
King, R., Maas, R., Gassner, M., Nanda, R. K. et Conover, W. W. (1978). "Magnetic Relaxation
analysis of Dynamic Processes in Macromolecules in the Pico- to Microsecond range". Biophy. J.,
6, 103-114.
Kirkpatrick, S., Gelatt Jr, C. D. et Vecchi, M. P. (1983). "Optimization by simulated
annealing". Science, 220(4598), 671-680.
Kline, A. D., Braun, W. et Wüthrich, K. (1986). "Studies by 1 H nuclear magnetic resonance and
distance geometry of the solution conformation of the α-amylase inhibitor tendamistat". J. Mol.
Biol., 189, 377-382.
Koehl, P. et Lefèvre, J.-F. (1990). "The reconstruction of the relaxation matrix from an
incomplete set of NOE". J. Magn. Reson., 86, 565-583.
Kollman, P. A., Weiner, P. K. et Dearing, A. (1981). "Studies of nucleotide conformations and
interactions. The relative stabilities of double-helical B-DNA sequence isomers".
Biopolymers, 20, 2583-2621.
Kumar, A., Wagner, G., Ernst, R. R. et Wüthrich, K. (1981). "Buildup rates of the NOE
measured by 2D Proton Magnetic Resonance Spectroscopy: Implication for studies of protein
conformation". J. Am. Chem. Soc., 103, 3654-3658.
Kweon, G. Y., Sheraga, H. A. et Jhon, M. S. (1991). "Monte Carlo treatment of hydration of
models for side chains of proteins". J. Phys. Chem., 95, 8964-8968.
Lancelot, G., Guesnet, J.-L. et Vovelle, F. (1989). "Solution structure of the parallel-stranded
duplex oligonucleotide α-d(TCTAAAC)-β-d(AGATTTG) via complete relaxation matrix
analysis of the NOE effects and molecular mechanics calculations". Biochemistry, 28, 78717878.
Landy, S. B. et Rao, B. D. N. (1989a). "Dynamical NOE in multiple-spin systems undergoing
chemical exchange". J. Magn. Reson., 81, 371-377.
Landy, S. B. et Rao, B. D. N. (1989b). "Influence of molecular geometry on uncertainty in
distances determined from NOE". J. Magn. Reson., 83, 29-43.
Lane, A. (1990). "The determination of the conformational properties of nucleic acids in solution
from NMR data". Biochim. Biophys. Acta, 1049, 189-204.
Lane, A. N. (1988). "The influence of spin diffusion and internal motions on NOE intensities in
proteins". J. Magn. Reson., 78, 425-439.
Lane, A. N. et Forster, M. J. (1989). "Determination of internal dynamics deoxyriboses in the
DNA hexamer d(CGTACG)2 by 1H NMR". J. Eur. Biophys., 17, 221-232.
Lane, A. N., Jenkins, T. C., Brown, T. et Neidle, S. (1991). "Interaction of berenil with the Ecori
dodecamer d(CGCGAATTCGCG)2 in solution studied by NMR". Biochemistry, 30, 1372-1385.
Lane, A. N., Lefèvre, J.-F. et Jardetzky, O. (1986). "A method for evaluationg correlation times
for tumbling and internal motion in macromolecules using cross-relaxation rate constants from
proton NMR spectra". J. Magn. Reson., 66, 201-218.
Lankhorst, P. P., Haasnoot, C. A. G., Erkelens, C. et Altona, C. (1984). "Carbon-13 NMR in
conformational analysis of nucleic acid fragments. 2. A reparametrization of the Karplus
equation for vicinal NMR coupling constants in CCOP and HCOP fragments". J. Biomol. Struct.
Dyn., 1(VI), 1387-1405.
Laue, E. D., Mayger, M. R., Skilling, J. et Staunton, J. (1986). "Reconstruction of phase-sensitive
2D NMR spectra by maximum entropy". J. Magn. Reson., 68, 14-29.
Lavery, R. (1987). "DNA flexibility under control: The Jumna algorithm and its applications to
B-Z junctions". dans Unusual Structures of DNA , pp. 189-206, Springer-Verlag, .
Lavery, R., Poncin, M. et Sklenar, H. (1991). "Modelling base sequence effects and transitions in
DNA". J. Mol. Biol., in press.
Lavery, R. et Sklenar, H. (1988). "The definition of generalised helicoidal parameters and axis
curvature for Irregular Nucleic Acids". J. Biomol. Struct. Dyn., 6, 63-91.
Lavery, R. et Sklenar, H. (1989). "Defining the structure of irregular Nucleic Acids: Convention
and principles". J. Biomol. Struct. Dyn., 6(4), 655-667.
Lavery, R., Sklenar, H., Zakrzewska, K. et Pullman, B. (1986). "The flexibility of the nucleic
acids: (II) The calculation of internal energy and applications to mononucleotide repeat DNA".
J. Biomol. Struct. Dyn., 3(5), 989-1014.
Le Bret, M. (1980). "Monte Carlo computation of the supercoiling energy, the sedimentation
constant, and the radius of gyration of unknotted and knotted circular DNA". Biopolymers, 19,
619-637.
Le Bret, M., Gabarro-Arpa, J., Gilbert, J. C. et Lemarechal, C. (1991). "MORCAD, an object
oriented molecular modelling package running on IBM/RS6000 and SGI 4Dxxx workstations". J.
Chim. Phys., 88, 2489-2496.
Le Bret, M. et Zimm, B. H. (1984). "Monte Carlo determination of the distribution of ions about
a cylindrical polyelectrolyte". Biopolymers, 23, 271-285.
Leroy, J. L., Charretier, E., Kochoyan, M. et Guéron, M. (1988a). "Evidence from base pair
kinetics for two types of adenine tract structures in solution: Their relation to DNA curvature".
Biochelistry, 27, 8894-8898.
Leroy, J. L., Kochoyan, M., Huynh-Dinh, T. et Guéron, M. (1988b). "Characterisation of base
pair opening in deoxynucleotide duplexes using catalysed exchange of the imino proton". J. Mol.
Biol, 200, 223-238.
Levitt, M. (1978). "How many base-pairs per turn does DNA have in solution and in chromatin ?
Some theoretical calculations". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 75(2), 640-644.
Levitt, M. (1991). "Real-time interactive frequency filtering of molecular dynamics
trajectories". J. Mol. Biol., 209, 617-633.
Levy, G. C., Wang, S., Kumar, P. et Borer, P. (1991). "Multidimensional nuclear magnetic
resonance spectroscopy and modeling of complex molecular structures: A challenge to today's
computer methods". Spectr. Intern., 3(4), 22-34.
Levy, R. M., Dobson, C. M. et Karplus, M. (1982). "Dipolar NMR Relaxation of nonprotonated
aromatic carbons in proteins: structural and dynamical effects". Biophys. J., 39, 107-113.
Levy, R. M., Karplus, M. et McCammon, J. A. (1981a). "Increase of 13C NMR Relaxation Times
in Proteins due to picosecond motional averaging". J. Am. Chem. Soc., 103, 994-996.
Levy, R. M., Karplus, M. et Wolynes, P. G. (1981b). "NMR Relaxation Parameters in Molecules
with Internal motion: Exact Langevin Trajectory Results Compared with Simplified Relaxation
Models". J. Am. Chem. Soc., 103, 5998-6011.
Lin, J. J. et Sancar, A. (1989). "A new mechanism for repairing oxidative damage to DNA: ABC
excinuclease removes AP sites and thymin glycols from DNA". Biochemistry, 28, 7979-7984.
Lipari, C. et Szabo, A. (1981). "Nuclear magnetic resonance relaxation in nucleic acid fragments:
Models for internal motion". Biochemistry, 20, 6250-6256.
Lipari, G. et Szabo, A. (1982a). "Model-free approach to the interpretation of NMR resonance
relaxation in macromolecules.1.Theory and range of validity". J. Am. Chem. Soc., 104, 45464559.
Lipari, G. et Szabo, A. (1982b). "Model-free approach to the interpretation of NMR resonance
relaxation in macromolecules.2.Analysis of experimental results". J. Am. Chem. Soc., 104, 45594570.
Macura, S. et Ernst, R. R. (1980). "Elucidation of cross relaxation in liquids by two dimensional
N.M.R. spectroscopy". Mol. Phys., 41, 95-117.
Marion, D. et Bax, A. (1988a). "Baseline correction of 2D FT NMR spectra using a simple linear
prediction extrapolation of the time-domain data". J. Magn. Reson., 83, 205-211.
Marion, D. et Bax, A. (1988b). "Baseline distortion in real-fourier transform NMR spectra". J.
Magn. Reson., 79, 352-356.
Marion, D. et Bax, A. (1988c). "P.COSY, a sensitive alternative for double-quantum-filtered
COSY". J. Magn. Reson., 80, 528-533.
Marion, D., Genest, M. et Ptak, M. (1987). "Reconstruction of NOESY maps. A requirement for a
reliable conformational analysis of biomolecules using 2D NMR". Biophys. Chem., 28, 235-244.
Marion, D. et Wüthrich, K. (1983). "Application of phase sensitive two-dimensional correlated
spectroscopy (COSY) for measurements of 1 H -1 H spin-spin coupling constants in proteins".
Biochem. Biophys. Res. Commun., 113(3), 967-974.
Markovits, J., Pommier, Y., Mattern, M. R., Esnault, C. et Roques, B. P. (1986). "Effect of the
Bifunctional Antitumour Intercalator Ditercalinium on DNA in Mouse Leukemia L1210 Cells
and DNA Topoisomerase II". Canc.Res., 46, 1-6.
Marsh, F. J., Weiner, P., Douglas, J. E., Kollman, P. A., Kenyon, G. L. et Gerlt, J. A. (1980).
"Theoretical calculations on the geometric destabilization of 3',5'- and 2',3'-cyclic nucleotides".
J. Amer. Chem. Soc., 102(5), 1660-1665.
Massefki, W. J. et Bolton, P. H. (1990). "Quantitative analysis of nuclear Overhauser effects". J.
Magn. Reson., 65, 526-530.
Mertz, J. E., Tobias, D. J., Brooks, C. L. et Singh, U. C. (1991). "Vector and parallel algorithms
for the molecular dynamics simulation of macromolecules on shared-memory computers". J.
Comp. Chem., 12(10), 1270-1277.
Metropolis, N., Rosenbluth, A. W., Rosenbluth, M. N., Teller, A. H. et Teller, E. J. (1953).
"Equation of state calculations by fast computing machine". J. Chem. Phys., 21(6), 1087-1092.
Metzler, W. J., Wang, C., Kitchen, D. B., Levy, R. M. et Pardi, A. (1990). "Determining Local
Conformational Variations in DNA: Nuclear Magnetic resonances structures of the DNA
duplexes d(CGCGTAATCG) and d(CGTCACGCGC) generated using back-calculation of the
NOE spectra, a distance geometry algorithm and constrained molecular dynamics". J. Mol.
Biol., 214, 711-736.
Mirau, P. A. (1992). "A strategy for NMR structure determination". J. Magn. Reson., 96, 480-490.
Momany, F. A., McGuire, R. F., Burgess, A. W. et Sheraga, H. A. (1975). "Energy parameters in
polypeptides. VII. Geometric parameters, partial atomic charges, nonbonded interactions,
hydrogen bond interactions, and intrinsic torsional potentials for the naturally occuring amino
acids". J. Phys. Chem., 79(22), 2361-2381.
Mooren, M. M. W., Hilbers, C. W., Van der Marel, G. A., Van Boom, J. H. et Wijmenga, S. S.
(1991). "Three-dimensional homonuclear TOCSY-NOESY of nucleic acids. Possibilities for
improved assignments". J. Magn. Res., 94, 101-111.
Mullay, J. (1988). "A method for calculating atomic charges in large molecules". J. Comp.
Chem., 9(4), 399-405.
Némethy, G., Pottle, M. S. et Sheraga, H. A. (1983). "Energy parameters in polypeptides. 9.
Updating of geometrical parameters, nonbonded interactions, and hydrogen bond interactions
for the naturally occuring amino acids". J. Phys. Chem., 87, 1883-1887.
Nikonowicz, E. P. et Gorenstein, D. G. (1990). "Two-dimensional 1 H and 3 1P NMR spectra and
restrained molecular dynamics: Structure of a mismatched GA decamer
oligodeoxyribonucleotide duplex". Biochemistry, 29, 8845-8858.
Nikonowicz, E. P., Meadows, R. P. et Gorenstein, D. G. (1990). "NMR refinement of an
extrahelical adenosine tridecamer d(CGCAGAATTCGCG)2 via a hybrid relaxation matrix
procedure". Biochemistry, 29, 4193-4204.
Nikonowicz, E. P., Roongta, V., Jones, C. R. et Gorenstein, D. G. (1989). "Two-dimensional 1 H
and 3 1P NMR spectra and restrained molecular dynamics: Structure of an extrahelical
adenosine tridecamer oligodeoxyribonucleotide duplex". Biochemistry, 28, 8714-8725.
Nilges, M., Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1988). "Determination of three-dimensional
structures of proteins from interproton distance data by hybrid distance geometry-dynamical
simulated annealing calculations". FEBS Lett., 239, 317-324.
Nilges, M., Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Brunger, A. T., Karplus, M. et Nilsson, L. (1987a).
"Refinement of the solution structure of the DNA hexamer 5'd(CTGGATCCAG)2 : combined use
of nuclear magnetic resonance and restrained molecular dynamics". Biochemistry, 26, 3718-3733.
Nilges, M., Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Piel, N. et McLaughlin, L. W. (1987b). "Refinement
of the solution structure of the DNA decamer 5'd(CTGGATCCAG)2 : combined use of nuclear
magnetic resonance and restrained molecular dynamics". Biochemistry, 26, 3734-3744.
Nilsson, L., Clore, G. M., Gronenborn, A. M., Brunger, A. T. et Karplus, M. (1986). "Structure
refinement of oligonucleotides by molecular mechanics with nuclear Overhauser effect
interproton distance restraints: Application to 5' d(CGTACG)2 ". J. Mol. Biol., 188, 455-475.
Nilsson, R. et Karplus, M. (1986). "Empirical energy functions for energy minimisation and
dynamics of nucleic acids.". J. Comp. Chem., 7(5), 591-616.
Noggle, J. H. et Schirmer, R. E. (1971). "The nuclear Overhauser effect". Academic Press, New
York and London.
Noguti, T. et Go, N. (1983a). "Dynamics of native globular proteins in terms of dihedral
angles". J. Phys. Soc. Japan, 52(9), 3283-3288.
Noguti, T. et Go, N. (1983b). "A method of rapid calculation of a second derivative matrix of
conformational energy for large molecules". J. Phys. Soc. Japan, 52(10), 3685-3990.
Noguti, T. et Go, N. (1985). "Efficient Monte Carlo method for simulation of fluctuating
conformations of native proteins". Biopolymers, 24, 527-546.
Noguti, T. et Go, N. (1989a). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein. I.
Introduction". Proteins, 5, 97-103.
Noguti, T. et Go, N. (1989b). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein. II.
Monte Carlo simulation of native thermal fluctuations and energy minimization". Proteins, 5,
104-112.
Noguti, T. et Go, N. (1989c). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein.
III. Side chain and main chain local conformations". Proteins, 5, 113-124.
Noguti, T. et Go, N. (1989d). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein.
IV: Rearrangements in atom packing and local deformations". Proteins, 5, 125-131.
Noguti, T. et Go, N. (1989e). "Structural basis of hierarchical multiple substates of a protein. V:
Nonlocal deformations". Proteins, 5, 132-138.
Olejniczak, E. T., Dobson, C. M., Karplus, M. et Levy, R. M. (1984). "Motional averaging of
proton NOE in proteins. Predictions from a molecular dynamics simulation of lysozyme". J. Am.
Chem. Soc., 106, 1923-1930.
Olejniczak, E. T., Gampe, R. T. et Fesik, S. W. (1986). "Accounting for spin diffusion of 2D NOE
data". J. Magn. Reson., 67, 28-41.
Oschkinat, H., Cieslar, C. et Griesinger, C. (1990). "Recognition of secondary-structure elements
in 3D TOCSYY-NOESY spectra of proteins. Interpretation of 3D cross-peaks amplitudes". J.
Magn. Res., 86, 453-469.
Oschkinat, H., Cieslar, C., Holak, T. A., Clore, G. M. et Gronenborn, A. M. (1989). "Practical
and theoretical aspects of three-dimensional homonuclear Hartmann-Hahn-nuclear
Overhauser enhancement spectroscopy of proteins". J. Magn. Res., 83, 450-472.
Oshiro, C. M., Thomason, J. et Kuntz, I. D. (1991). "Effects of limited input distance constraints
upon the distance geometry algorithm". Biopolymers, 31, 1049-1064.
Otting, G. (1990). "Zero-quantum suppression in NOESY and experiments with a z-filter". J.
Magn. Reson., 86, 496-508.
Palmö, K., Pietilä, L. O. et Krimm, S. (1991). "Construction of molecular mechanics energy
functions by mathematical transformation of Ab Initio forces fields and structures". J. Comp.
Chem., 12(3), 385-390.
Paoletti, J. et Le Pecq, J.-B. (1971). "The change of the torsion of the DNA helix caused by
intercalation I A discussion of the two different possibilities, winding or unwinding.".
Biochimie, 53, 969-972.
Pardi, A., Hare, D. R. et Wang, C. (1988). "Determination of DNA Structures by NMR and
distance geometry techniques: a computer simulation". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 85, 87858789.
Pardi, A., Morden, K. M., Patel, D. J. et Tinoco Jr, I. (1982). "Kinetics for exchange of imino
protons in the d(CGCGAATTCGCG) double helix and in two similar helices that contain a G-T
base pair, d(CGTGAATTCGCG), and an extra adenine, d(CGCAGAATTCGCG)". Biochemistry,
21, 6567-6574.
Pardi, A., Morden, K. M., Patel, D. J. et Tinoco Jr, I. (1983). "Kinetics for exchange of imino
protons in the d(CGCGAATTCGCG) double helix in complexes with the antibiotics netropsin
and/or actinomycin". Biochemistry, 22, 1107—1113.
Patel, D. J., Shapiro, L. et Hare, D. (1987a). "DNA and RNA: NMR studies of conformations
and dynamics in solution". Q. Rev. Biophys., 20, 35-112.
Patel, D. J., Shapiro, L. et Hare, D. (1987b). "Nuclear magnetic resonance and distance geometry
studies of DNA structures in solution". Annu. Rev. Biophys. Biophys. Chem., 16, 423-454.
Pearlman, D. A., Holbrook, S. R., Pirkle, D. H. et Kim, S. (1985). "Molecular models for DNA
damaged by photoreaction". Science, 227, 13041308.
Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1989). "A new method for carrying out free energy
perturbation calculations: Dynamically modified windows". J. Chem. Phys., 90(4), 2460-2470.
Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1991a). "Are Time-averaged restraints necessary for NMR
refinement? A model study for DNA". J. Mol. Biol., 220, 457-479.
Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1991b). "Evaluating the assumptions underlying force field
development and application using free energy conformational maps for nucleosides". J. Amer.
Chem. Soc., 113, 7167-7177.
Pearlman, D. A. et Kollman, P. A. (1991c). "The overlooked bond-streching contribution in free
energy perturbation calculations". J. Chem. Phys., 94(6), 4532-4545.
Perrin, C. L. et Gipe, R. K. (1984). "Multisite kinetics by quantitative two-dimensional NMR".
J. Am. Chem. Soc., 106, 4036-4038.
Pfändler, P. et Bodenhausen, G. (1990). "Automated analysis of two-dimensional correlation
spectra. Assembly of fragments into networks of coupled spins". J. Magn. Reson., 87, 26-45.
Piveteau, D., Delsuc, M. A. et Lallemand, J.-Y. (1985). "A new approach to phase-cycling
schemes: The "Screw-Pulse" concept". J. Magn. Reson., 63, 255-270.
Pople, J. A. et Beveridge, D. L. (1970). "Approximate molecular orbital theory". J. Wiley, New
York.
Powers, R. et Gorenstein, D. G. (1990). "Two-dimensional 1 H and 3 1P-1 H NMR spectra and
restrained molecular dynamics: Structure of a covalent CPI-CDPI2-oligonucleotide decamer
complex". Biochemistry, 29, 9994-10008.
Powers, R., Jones, C. R. et Gorenstein, D. G. (1990). "Two-dimensional 1 H and 3 1P-1 H NMR
spectra and restrained molecular dynamics structure of an oligonucleotide duplex refined via a
hybrid relaxation matrix procedure". J. Biomol. Struct. Dyn., 8(2), 253-293.
Prabhakaran, M. et Harvey, S. C. (1988). "Molecular dynamics of structural transitions and
intercalation in DNA". Biopolymers, 27, 1239-1248.
Purisima, E. O. et Sheraga, H. A. (1987). "An approach to the multiple-minima problem in
protein folding by relaxing dimensionality". J. Mol. Biol., 196, 697-709.
Rao, S. N., Keepers, J. W. et Kollman, P. (1984). "The structure of
d(CGCGAAT[]TCGCG). d(CGCGAATTCGCG): the incorporation of a thymine photodimer into
a B-DNA helix". Nucl. Acids Res., 12, 4789-4807.
Rao, S. N. et Kollman, P. (1987). "Molecular mechanical simulations on double intercalation of
9-amino acridine into d(CGCGCGC)2 .d(GCGCGCG)2 : Analysis of the physical basis for the
neighbor-exclusion principle". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 84, 5735-5739.
Rao, S. N. et Kollman, P. (1990). "Simulations of the B-DNA molecular dynamics of
d(CGCGAATTCGCG)2 and d(GCGCGCGCGC)2 : An analysis of the role of initial geometry and
a comparison of united and all-atom models". Biopolymers, 29, 517-532.
Ravishanker, G., Swaminathan, S., Beveridge, D. L., Lavery, R. et Sklenar, H. (1989).
"Conformational and helicoidal analysis of 30 ps of molecular dynamics on the
d(CGCGAATTCGCG) double helix:"Curves",Dials and Windows". J. Biomol. Struct. Dyn., 6(4),
669-699.
Ribeiro, A. A., King, R., Restivo, C. et Jardetzky, O. (1980). "An approach to the mapping of
internal motions in proteins. Analysis of 13C NMR relaxation in the bovine pancreatic trypsin
inhibitor". J. Amer. Chem. Soc., 102(12), 4040-4051.
Rinkel, L. J. et Altona, C. (1987). "Conformational analysis of the deoxyribofuranose ring in
DNA by means of sums of proton-proton coupling constants: A graphical method". J. Biomol.
Struct. Dyn., 4(4), 621-649.
Rivail, J.-L. (1989). "Eléments de chimie quantique à l'usage des chimistes".
Intereditions/Editions du CNRS, Paris.
Robinson, H. et Wang, H.-J. (1992). "A simple spectral-driven procedure for the refinement of
DNA structures by NMR spectroscopy". Biochemistry, 31, 3524-3533.
Roterman, I. K., Gibson, K. D. et Sheraga, H. A. (1989a). "A comparison of the CHARMM,
AMBER and ECEPP potentials for peptides.I. Conformational predictions for the tandemly
repeated peptide (Asn-Ala-Asn-Pro)9 ". J. Biomol. Struct. Dyn., 7(3), 391-419.
Roterman, I. K., Lambert, M. H., Gibson, K. D. et Sheraga, H. A. (1989b). "A comparison of the
CHARMM, AMBER and ECEPP potentials for peptides.II.Φ-ψ maps for N-acetyl alanine N'methyl amide: Comparisons, contrasts and simple experimental tests". J. Biomol. Struct. Dyn.,
7(3), 421-453.
Ryckaert, J.-P., Ciccotti, G. et Berendsen, H. J. C. (1977). "Numerical integration of the
cartesian equations of motion of a system with constraints: Molecular dynamics of n-Alkanes". J.
Comp. Phys., 23, 327-341.
Saucier, J. M., Festy, B. et Le Pecq, J. B. (1971). "The change of the torsion of the DNA helix
caused by intercalation II Measurement of the relative change of torsion induced by various
intercalating drugs". Biochimie, 53, 973-980.
Saulitis, J. et Liepins, E. (1990). "Quantitative evaluation of interproton distances in peptides
by two-dimensional Overhauser effect spectroscopy". J. Magn. Reson., 87, 80-91.
Scheek, R. M., van Gunsteren, W. F. et Kaptein, R. (1989). "Molecular dynamics simulation
techniques for determination of molecular structures from nuclear magnetic resonance data".
Meth. Enzym., 177, 204-219.
Schmitz, U., Pearlman, D. A. et James, T. (1991). "Solution structure of [d(GTATATAC)]2 v i a
restrained molecular dynamics simulations with nuclear magnetic resonance constraints derived
from relaxation matrix analysis of two-dimensional nuclear Overhauser effect experiments". J.
Mol. Biol., 221, 271-292.
Scott, E. V. et Jones, R. L. (1988). "1H and 31P NMR investigations of actinomycin D binding
selectivity with oligodeoxynucleotides containing multiple adjacent d(CG) sites.".
Biochemistry, 27, 915-923.
Scott, E. V., Zon, G., Marzilli, L. G. et Wilson, W. D. (1988). "2D NMR investigation of the
binding of the anticancer drug actinomycin D to the duplexed dATGCGCAT: Conformational
features of the unique 2:1 adduct.". Biochemistry, 27, 7940-7951.
Segal-Bendirdjian, E., Coulaud, D., Roques, B. P. et Le Pecq, J. B. (1988). "Selective loss of
mitochondrial DNA after treatment of cells with ditercalinium (NSC 335153), an antitumor
bis-intercalating agent". Cancer Res., 48, 4982-4992.
Seibel, G. L., Singh, U. C. et Kollman, P. A. (1985). "A molecular dynamics simulation of
double-helical B-DNA including couterions and water". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 82, 65376540.
Selby, C. P. et Sancar, A. (1991). "Noncovalent drug-DNA binding interactions that inhibit and
stimulate (A)BC excinuclease". Biochemistry, 30, 3841-3849.
Sessions, R. B., Dauber-Osguthorpe, P. et Dauber-Osguthorpe, D. (1988). "Filtering molecular
dynamics trajectories to reveal low-frequency collective motions: Phospholipase A2". J. Mol.
Biol., 209, 617-633.
Shindo, H., Okhubo, S., Matsumoto, U., Giessner-Prettre, C. et Zon, G. (1988). "Nuclear
magnetic spectra of self complementary decanucleotides in solution; Base sequence effects on
chemical shifts of nonexchangeable protons". J. Biomol. Struct. Dynam., 5(4), 913-931.
Singh, U. C., Brown, F. K., Bash, P. A. et Kollman, P. A. (1987). "An approach to the
application of free energy perturbation methods using molecular dynamics: Applications to the
transformations of CH3 OH->CH3 CH3 , H3 O+->NH4 +, Glycine->Alanine, and Alanine>Phenylalanine in aqueous solution and to H3 O+( H2 O)3 ->NH4 +( H2 O)3 in the gas phase". J.
Amer. Chem. Soc., 109, 1607-1614.
Singh, U. C. et Kollman, P. A. (1984). "An Approach to Computing Electrostatic Charges for
Molecules". J. Comp. Chem., 5(2), 129-145.
Singh, U. C., Weiner, P., Caldwell, J. C. et Kollman, P. A. (1986) "Amber 3.0". University of
California, San Francisco.
Sippl, M. J., Némethy, G. et Sheraga, H. A. (1984). "Intermolecular potentials from crystal
data. 6. Determination of empirical potentials for O-H…O=C hydrogen bonds from packing
configurations". J. Phys. Chem., 88, 6231-6233.
Sklenar, H., Eisenhaber, F., Poncin, M. et Lavery, R. (1990). "Including solvent and counterion
effects in the force fields of macromolecular mechanics: The field integrated electrostatic
approach (FIESTA)". dans Theoretical biochemistry and molecular biophysics , pp. 317-335,
Adenine Press, .
Sklenar, V. et Bax, A. (1987). "Spin-echo water supression for the generation of pure-phase
two-dimensional NMR spectra". J. Magn. Reson., 74, 469-479.
Sobell, H. M. et Jain, S. C. (1972). "Stereochemistry of Actinomycin binding to DNA: I.
Refinement and further structural details of the actinomycin-deoxyguanosine cristalline
complexe". J. Mol. Biol., 68, 21-34.
Sobell, H. M., Tsai, C., Jain, S. C. et Gilbert, S. G. (1977). "Visualisation of drug-nucleic acid
interactions at atomic resolution. III. Unifying structural concepts in understanding drug-DNA
interactions and their broader implications in understanding protein-DNA interactions". J. Mol.
Biol., 114, 333-365.
Solomon, I. (1955). "Relaxation processes in a system of two spins". Phys. Rev., 99(2), 559-565.
Srinisavan, J., Withka, J. M. et Beveridge, D. L. (1990). "Molecular Dynamics of an in vacuo
model of duplex d(CGCGAATTCGCG) in the B-form based on the Amber 3.0 force field".
Biophys. J., 58, 533-547.
States, D. J., Haberkorn, R. A. et Ruben, D. J. (1982). "A two dimensional nuclear Overhauser
experiment with pure absorption phase in four quadrants". J. Magn. Reson., 48, 286-292.
Suzuki, E., Pattabiraman, N., Zon, G. et James, T. L. (1986). "Solution Structure of [d(A-T)5 ]2 via
Complete Relaxation Analysis of Two-Dimensional Nuclear Overhauser Effect Spectra and
Molecular Mechanics Calculations: Evidence for Hydration Tunnel". Biochemistry, 25(22),
6854-6865.
Swaminathan, S., Ravishanker, G. et Beveridge, D. L. (1991). "Molecular dynamics of B-DNA
including water and counterions: A 140-ps trajectory for d(CGCGAATTCGCG) based on the
GROMOS force field". J. Am. Chem. Soc., 113, 5027-5040.
Takegoshi, K., Tsuda, S. et Hikichi, K. (1989). "Self-refocused binomial pulse sequence for
solvent suppression". J. Magn. Reson., 85, 198-202.
Tobias, D. J. et Brooks III, C. L. (1988). "Molecular dynamics with internal coordinate
constraints". J. Chem. Phys., 89(8), 5115-5127.
Torda, A. E., Scheek, R. M. et van Gunsteren, W. F. (1989). "Time-dependent distance restraints
in molecular dynamics simulations". Chem. Phys. Lett., 157(4), 289- 294.
Torda, A. E., Scheek, R. M. et van Gunsteren, W. F. (1990). "Time-averaged NOE Effect distance
restraints aplied to Tendamistat". J. Mol. Biol., 214, 223-235.
Torrie, G. M. et Valleau, J. P. (1977). "Nonphysical sampling distributions in Monte Carlo freeenergy estimation: Umbrella sampling". J. Comp. Phys., 23, 187-199.
Tropp, J. (1980). "Dipolar relaxation and NOEs in nonrigid molecules: The effect of fluctuating
internuclear distances". J. Chem. Phys., 72, 6035-6043.
van de Ven, F. H. M. et Hilbers, C. W. (1988a). "Resonance assignments of non-exhangeable
protons in B types DNA oligomers, an overview". Nucleic Acids Res., 16, 5713-5726.
van de Ven, F. J. M. et Hilbers, C. (1988b). "Nucleic acids and nuclear magnetic resonance". Eur.
J. Biochem., 178, 1-38.
van Gunsteren, W. F. (1980). "Constrained dynamics of flexible molecules". Mol. Phys., 40(4),
1015-1019.
van Gunsteren, W. F. (1990). "Methods for calculation of free energies and binding constants:
Successes and problems". dans Computer Simulation of Biomolecular Systems: Theoretical and
experimental applications , pp. 27-59, .
van Gunsteren, W. F. et Berendsen, H. J. C. (1990). "Computer simulation of molecular dynamics:
Methodology, applications, and perspectives in chemistry". Angew. Chem. Int. Ed. Engel., 29,
992-1023.
von Freyberg, B. et Braun, W. (1991). "Efficient search for all low energy conformations of
polypeptides by Monte Carlo methods". J. Comp. Chem., 12(9), 1065-1076.
Wagner, G., Braun, W., Havel, T. F., Shaumann, T., Go, N. et Wüthrich, K. (1987). "Protein
structures in solution by nuclear magnetic resonance and distance geometry. The polypeptide
fold of the basic pancreatic trypsin inhibitor determined using two differend algorithms,
DISGEO and DISMAN". J. Mol. Biol., 196, 611-639.
Wang, A. H., Liaw, Y.-C., Robinson, H. et Gao, Y.-G. (1990). "Mutual conformational
adaptation of both ligand and receptor in antitumor drug-DNA complexes". dans Molecular
basis of specificity in nucleic acid-drug interactions , pp. 1-21, Kluwer Academic Publishers,
Netherland.
Weiner, P. K. et Kollman, P. A. (1981). " AMBER: Assisted Model Building with Energy
Refinement. A general program for modeling molecules and their interactions". J. Comp.Chem.,
2(3), 287-303.
Weiner, S. J., Kollman, P. A., Case, D. A., Singh, C., Ghio, C., Alagona, G., Profeta, S. et
Weiner, P. (1984). "A new force field for molecular mechanical simulation of Nucleic acids and
Proteins.". J. Amer. Chem. Soc., 106, 765-784.
Weiner, S. J., Kollman, P. A., Nguyen, D. T. et Case, D. A. (1982). "An all atom force field for
simulations of proteins and nucleic acids.". J. Comp. Chem., 7(2), 230-252.
Widmer, H. et Wüthrich, K. (1986). "Simulation of two-dimensional NMR experiments using
numerical density matrix calculations". J. Magn. Reson., 70, 270-279.
Williamson, M. P., Havel, T. F. et Wüthrich, K. (1985). "Solution conformation of proteinase
inhibitor IIA from bull seminal plasma by 1 H nuclear magnetic resonance and distance
geometry". J. Mol. Biol., 182, 295-315.
Wilson, S. R., Cui, W., Moskowitz, J. W. et Schmidt, K. E. (1991). "Applications of simulated
annealing to the conformation analysis of flexible molecules". J. Comp. Chem., 12(3), 342-349.
oligonucleotides containing normal and G. T base pairs". Biopolymers, 25, 1997-2015.
Wimperis, S. (1990). "Correlation of connected double-quantum and single quantum transitions.
Two-dimensional double-quantum spectroscopy with simplified in-phase direct connectivity
multiplets". J. Magn. Reson., 87, 174-182.
Withka, J. M., Swaminathan, S., Beveridge, D. L. et Bolton, P. H. (1991). "Time dependence of
nuclear Overhauser effects of duplex DNA from Molecular Dynamics trajectories". J. Amer.
Chem. Soc., 113, 5041-5049.
Withka, J. M., Swaminathan, S. et Bolton, P. (1990). "NOEs in duplex DNA depend on
orientations of internuclear vectors to the symmetry axis". J. Magn. Reson., 89, 386-390.
Woessner, D. E. (1962a). "Nuclear spin relaxation in ellipsoids undergoing rotational brownian
motion". J. Chem. Phys., 37(3), 647-654.
Woessner, D. E. (1962b). "Spin relaxation process in a two-proton system undergoing anisotropic
reorientation". J. Chem. Phys., 36(1), 1-4.
Xu, P. et Freeman, R. (1990). "Edited correlation spectroscopy ( e-COSY)". J. Magn. Reson., 86,
426-434.
Yip, P. et Case, D. A. (1989). "A New Method for Refinement of Macromolecular Structures
Based on Nuclear Overhauser Effect Spectra". J. Magn. Reson., 83, 643-648.
Yip, P. F. (1989). "Calculating noesy intensities by perturbation expansion". Chem. Phys. Lett.,
161(1), 50-54.
Yip, P. F. (1990). "Scaling NOESY Cross peaks involving methyl protons". J. Magn. Reson., 90,
382-383.
Zagorski, M. G. (1990). "Improved frequency selectivity for presaturation of H2O in 2D NMR
spectra of proteins". J. Magn. Reson., 86, 400-405.
Zhenqin, L. et Sheraga, H. A. (1987). "Monte Carlo-minimization approach to the multiple
minima problem in protein folding". Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 84, 6611-6615.
Zhou, N., Bianucci, A. M., Pattabiraman, N. et James, T. L. (1987). "Solution structure of
[d(CGTATACC)]2 : Wrinkled D structure of the TATA moiety". Biochemistry, 26, 7905-7913.
Zimmermann, K. (1991). "ORAL: All purpose molecular mechanics simulator and energy
minimiser". J. Comp. Chem., 12(3), 310-319.