corrigé - Présentation des Centres d`intérêts

CI8 Les systèmes automatiques asservis
CORRIGE MESURE DE CAVITE
Problématique : Comment réguler l’alimentation de la sonde à Us = 24 V (+/- 5 %) pour compenser les chutes de tension ?
Contexte
Le sous-sol français possède de nombreuses cavités soit naturelles (coulées de
lave...) soit liées à des activités humaines (mines...).
Les terrains constructibles se faisant de plus en plus rares, on est amené à
construire dans des zones où les sous-sols sont médiocres.
Afin de limiter le risque d’effondrement et de connaître l’extension des cavités, des
études de terrains sont réalisées.
Actuellement, la présence d’une cavité est détectée en surface à l’aide de moyens
électromagnétiques mais son volume et sa position exacte ne sont pas mesurables
par ces moyens externes.
Le Centre d’Expertise du Bâtiment des Travaux Publics (CEBTP) utilise une mesure
par télémètre laser.
Un forage vertical est réalisé jusqu’à la cavité et un outil « sonde » est introduit. Il
transmet les mesures en surface.
Le volume de la cavité est alors calculé et une visualisation 3D peut être générée.
Le système étudié peut se décomposer en
deux parties (figure 1) :
 le
treuil,
composé
d’un
motoréducteur et d’un variateur
permettant la montée et la descente
de la sonde dans le trou de forage
Sonde
Figure 1 : le système et sa sonde

la sonde permettant l’acquisition de
la forme de la cavité :
De la surface, on doit pouvoir alimenter, commander et recevoir des informations de la sonde pour les
constituants suivants :
 le moteur pas à pas ;
 l’obturateur ;
 le télémètre laser ;
 le tapis chauffant adhésif.
 la boussole électronique ;
Pour réduire au maximum le nombre de conducteurs, seule la tension + 24 VDC est envoyée depuis la surface, les
autres tensions sont réalisées au niveau de la sonde. On utilise aussi une liaison série de type RS485 pour
communiquer avec l’ensemble des constituants. Une carte micro-programmée déportée dans la sonde permet
d’envoyer et de recevoir tous les signaux.
Denis Guérin
1/5
TSI Eiffel Dijon
CI8 Les systèmes automatiques asservis
CORRIGE MESURE DE CAVITE
Pour maintenir la tension Us constante aux bornes de la sonde, on utilise une alimentation régulée.
Celle-ci comporte un hacheur afin de faire varier la valeur moyenne de la tension.
Deux conducteurs supplémentaires permettent de mesurer la tension Us aux bornes de la sonde, pour effectuer la
régulation.
Câble longueur 200 m
V+
VReg+
Reg-
ALIMENTATION
24 VDC
U
Vc
K
Figure 11 : branchement de l’alimentation
V3
+
A
SONDE
Vreg
Schéma de principe de la régulation :
Uc
Us
α
W
Us
U
HACHEUR + FILTRE
CÂBLE
Vr
CHAÎNE DE MESURE
Figure 12 : boucle de régulation
A=22.
α représente le rapport cyclique du hacheur avec W = 1/8.
l’ensemble « Hacheur + Filtre » : a fonction de transfert H(p) de l’ensemble « Hacheur + Filtre » est équivalente à
-4
une fonction de type : H(p) = Ho /(1 + 𝝉1p) où Ho = 100 et 𝝉1 = 8.10 s.
Questions
Etude de la partie « Câble »
Soit Rc la résistance totale de la boucle d’alimentation +24 VDC de la sonde.
On souhaite faire apparaître une perturbation de courant I dans le schéma fonctionnel de la figure 12.
Q1 Montrer que le schéma fonctionnel de la partie «
Figure 13 :
I
?
Câble » peut se mettre sous la forme de la figure
câble
13.
U
Us
+
Q2 Déterminer les grandeurs manquantes.
Us = U – Rc.I avec Rc, la résistance totale de la boucle d’alimentation, soit :
Rc
Etude de l’ensemble en régime établi
On rappelle que l’objectif est de réguler la tension aux bornes de la sonde à Us = 24 V (+/- 5 %).
Q3 Choisir la valeur de K afin de réaliser l’adaptation des signaux d’entrée du comparateur sachant que le chaîne
de mesure est modélisable par un gain k=0,175.
K=k=0,175
Q4 Déterminer la valeur de la tension Uc et du rapport cyclique α pour obtenir une tension Us = 24 V en
fonctionnement à vide.
On a la transmittance de la chaine de mesure k = K = 0,175, A = 22, W = 1/8, H0 = 100 et HCâble = 1 car nous
sommes à vide (I=0).
Il suffit de calculer le gain statique en boucle fermé soit :
Denis Guérin
2/5
TSI Eiffel Dijon
CI8 Les systèmes automatiques asservis
CORRIGE MESURE DE CAVITE
1
22. .100
Us
A.W .H 0
8
 K.
 0,175.
 0,98
D’où Uc = 24,5V et  = Us/H0 = 0,24
1
Uc
1  k . A.W .H 0
1  0,175.22. .100
8
Q5 Pour la même tension Uc mais avec un courant I ≠ 0, déterminer l’expression littérale de Us en fonction de A,
W, Ho, Uc, Rc, I et k.
U s  A.W .H0 .K .(UC  U S )  RC .I d’où U s 
A.W .H 0 .K .U C  RC .I
1  A.W .H 0 .K
Q6 Effectuer l’application numérique de Us pour la charge maximale de la sonde I = 3 A sachant que la résistance
du câble est : Rc = 3,5 Ω ; conclure.
1
22. .100.0,175.24,5  3,5.3
8
Us 
 23,79V
1
1  22. .100.0,175
8
A.N. :
On obtient une valeur dans la tolérance 24V +/- 5% soit dans la plage [22,8 ; 25,2]V. La régulation agit
correctement. Il est possible de calculer le nouveau rapport cyclique :

U S  RC .I 23,79  3,5.3

 0,34
H0
100
Q7 Sur quelle grandeur pourrait-on intervenir pour diminuer cette erreur ?
Pour diminuer cette erreur statique, il faut agir sur le gain de la chaine directe, donc en augmentant soit A soit
W.
Pour annuler l’erreur, il faut ajouter une correction intégrale dans le bloc « A » (montage à AOP).
I
Uc
Vc
K
α
V3
+
A
W
H(p)
?
U
+
Us
Vr
k
Figure 15 : boucle de régulation
Étude de la régulation en régime dynamique
En réalité la charge ne peut être assimilée à une résistance. En effet, le moteur pas à pas crée un échelon de
courant ∆i de 2 A à chaque fois que la sonde se déplace d’un pas.
De plus, le câble présente une inductance équivalente que l’on ne pourra plus négliger. On aura alors l’impédance
du câble Zc = Rc + Lc.p avec Lc = 2 mH.
Q8 Montrer que l’on peut ramener la boucle de régulation de la figure 15 au schéma bloc de la figure 16.
Uca représente la chute de tension dans le câble. Déterminer T(p) et V(p).
Schéma bloc simplifié
On en déduit par identification que :
V ( p) 
U CA ( p)
 ZC ( p)  RC  LC . p
I ( p)
et avec K = k
Denis Guérin
3/5
TSI Eiffel Dijon
CI8 Les systèmes automatiques asservis
CORRIGE MESURE DE CAVITE
U ( p)  H ( p).W . A.VC ( p)  Vr ( p)
U ( p)  H ( p).W . A.K .U C ( p)  U s ( p)
T ( p)  H ( p).W . A.K
D’où
Q9 Exprimer Us(p) en fonction de Uc(p) et I(p).
U s ( p)  T ( p).U C ( p)  U s ( p)  V ( p).I ( p) d’où U s ( p) 
T ( p).U C ( p)  V ( p).I ( p)
1  T ( p)
La sonde est en régime établi avec I = constante = 1 A. La consigne Uc est toujours réglée à 24 V.
Si on applique un échelon de courant ∆I = 2 A sur l’entrée courant, montrer que ∆Us(p) peut se mettre sous la
forme suivante :
(1 + 𝜏𝑐 . 𝑝)(1 + 𝜏1 . 𝑝)
∆𝑈𝑠(𝑝) = −∆𝐼. 𝑅𝑜
(1 + 𝜏2 . 𝑝)𝑝
Q10 Déterminer les expressions de Ro, 𝝉c et 𝝉2 et faire l’application numérique.
U s ( p) 
T ( p).U C  V ( p).( I ( p)  I ( p))
T ( p).U C ( p)  V ( p).I ( p)
U s ( p)  U S ( p) 
1  T ( p)
1  T ( p)
et donc
Ainsi à partir des deux équations précédentes on a :
U S ( p) 
 V ( p).I ( p)
I
Rc  Lc . p
 .
1  T ( p)
p 1  W . A.K . H 0 car I(p) est un échelon de courant.
1   1. p


L 
L 
1  c . p .1   1 p 
1  c . p .1   1 p 
Rc 
Rc 
I
I
Rc
U S ( p)   Rc . 
 .
.
1 p
p
1   1 p  W . A.K .H 0
p 1  W . A.K .H 0 1 
1  W . A.K .H 0
Donc par identification :
R0 
L
Rc
1
 C  c et  2 
,
1  W . A.K .H 0
1  W . A.K .H 0
Rc
Q11 En utilisant le théorème de la valeur finale, déterminer la chute de tension ∆Us en régime établi.
En utilisant le théorème de la valeur finale :



L 

1  c . p .1   1 p  
Rc 


Rc
Rc
lim uS (t )  lim p.U S ( p)  lim   I .
.
 I .

t 
p 0
p 0

p
1  W . A.K .H 0 1 
1  W . A.K .H 0
1




1  W . A.K .H 0


3,5
u S (t )  2.
 0.14V
A.N. : lim
t 
1
1  22. .100.0,175
8
Denis Guérin
4/5
TSI Eiffel Dijon
CI8 Les systèmes automatiques asservis
CORRIGE MESURE DE CAVITE
Un essai a montré qu’en réalité la tension chute de 14 V au moment de l’apparition de l’échelon de courant
(déplacement d’un pas) provoquant ainsi la mise en défaut de la carte de commande du moteur pas à pas.
Pour éviter ce creux de tension, on place un condensateur C aux bornes de la sonde. Soit Ic le courant dans ce
condensateur.
Q12 Déterminer la fonction de transfert (figure 17) F(p) = Ic(p)/Us(p).
Ic( p)  C. p.U s ( p) donc F ( p)  C. p
U s ( p).1  T ( p)  T ( p).UC  V ( p).I ( p)  F ( p).U s ( p)
U s ( p).1  T ( p)  V ( p).F ( p).  T ( p).U C  V ( p).I ( p)
T ( p).U C  V ( p).I ( p)
U s ( p) 
1  T ( p)  V ( p).F ( p)
Q13 En déduire Us(p) en fonction de I(p) en considérant toujours Uc = constante.
On retrouve :
U S ( p) 
 V ( p).I ( p)
I
Rc  Lc . p
 .
1  T ( p)  V ( p).F ( p)
p 1  W . A.K . H 0  R  L . p .C. p
c
c
1  1 p
Soit :
U S ( p)  
Rc  Lc . p . 1  1 p 
I
.
p W . A.K .H 0  1  Rc  Lc . p .C. p.1   1 p 
Q14 Déterminer ∆Us(p) si on applique un échelon de courant ∆I = 2 A.
En appliquant le théorème de la valeur finale, pour I = 2A : On retrouve la même expression 0,14 V.
Ic
I
Uc
+
F(p)
+
+
Uc -Us
V(p)
T(p)
U +
Uca
-
Us
Figure 17 : boucle de régulation avec la perturbation et condensateur
courant
Denis Guérin
5/5
TSI Eiffel Dijon