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Mathématiques de l’ingénieur I
MAT-10363 – E08
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169.
a) Domaine de définition :
On doit avoir x2 + y > 0, c’est-à-dire y > −x2 . D(f ) est donc la région du plan au-dessus
de la parabole y = −x2 .
Image ou ensemble des valeurs :
En fixant y = 0, x2 prend toutes les valeurs positives. Ainsi, log(x2 + y) prend toutes les
valeurs réelles.
b) Domaine de définition :
Il faut avoir à la fois
xy > 0 et log(xy) > 0.
Or, log(xy) > 0 revient à xy > 1, ce qui englobe la condition xy > 0.
D(f ) est donc la réunion des deux domaines suivants :
la région du 1er quadrant au-dessus de l’hyperbole xy = 1 et la région du 3e quadrant
au-dessous de l’hyperbole xy = 1.
Image ou ensemble des valeurs :
En fixant y = 1 et en laissant varier x de 1 à l’infini (x > 1), on voit que log(xy) prend
toutes les valeurs positives, puis log(log(xy)) prend toutes les valeurs réelles.
c) Domaine de définition :
On doit avoir à la fois x2 ≤ 1 et y 2 ≤ 1, c’est-à-dire −1 ≤ x ≤ 1 et −1 ≤ y ≤ 1 ;
donc
D(f ) = [−1, 1] × [−1, 1].
Image ou ensemble des valeurs :
Chacune des expressions sous le radical peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1 ; de
plus, elles sont indépendantes ; on a donc
V (f ) = [0, 2].
d) Domaine de définition :
Il faut avoir simultanément x − y 6= 0 et y 6= 0.
D(f ) est donc le plan R2 privé des droites y = x et y = 0.
Image ou ensemble des valeurs :
En prenant x = 0 et y 6= 0, on obtient z = 0 ;
En prenant x = 2y, on obtient
z=
1
1
2
+ =
2y − y y
y
et z peut alors prendre toutes les autres valeurs non nulles. On a donc V (f ) = R.
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170. On peut écrire
f (x, y) = −2 +
2(x2 + y 2 )
−2
=
.
2
2
1+x +y
1 + x2 + y 2
a) Comme x2 + y 2 ≥ 0 et 0 6= 1 + x2 + y 2 ≥ 1, f est définie en tout point (x, y), i.e.
D(f ) = R2 .
Pour obtenir l’ensemble des valeurs, on observe que f (x, y) < 0 et que
2
≤2
1 + x2 + y 2
−2
≥ −2.
=⇒
1 + x2 + y 2
1 + x2 + y 2 ≥ 1 =⇒
Donc
V (f ) = {a ∈ R | −2 ≤ a < 0}.
b) Niveau − 21 :
On cherche les points (x, y) tels que f (x, y) = − 21 . Notre condition est
−2
1
=− ,
2
2
1+x +y
2
ce qui est équivalent à
1 + x2 + y 2 = 4,
x2 + y 2 = 3.
On
√ reconnaı̂t que les points (x, y) cherchés sont ceux du cercle de centre origine et de rayon
3.
Niveau −1 :
Ici on a :
f (x, y) = −1,
−2
= −1,
1 + x2 + y 2
x2 + y 2 = 1,
ce qui décrit les points du cercle de centre origine et de rayon 1.
Niveau 2 :
La courbe de niveau 2 n’existe pas car 2 ∈
/ V (f ). Si on posait quand même f (x, y) = 2,
on arriverait à 1 + x2 + y 2 = −1 ou x2 + y 2 = −2, ce qui n’a aucune solution (x, y).
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Carte topographique de f
1.5
y
f=-1/2
1.0
f=-1
0.5
K1.5 K1.0 K0.5 0
K0.5
0.5
1.0
1.5
x
K1.0
K1.5
c) Pour tout point (x, y) qui s’éloigne de l’origine, on a f (x, y) −→ 0.
La surface, avec symétrie circulaire, est donc celle-ci.
-0.5
-1.0
-2
-1.5
-2.0
-2
0
-1
y
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0
1
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2
x
2
3/ 9
171.
y
3
Domaine : il faut que
bord inclus
x2 y 2
−
≥0
1−
4
9
i.e.
2
x2 y 2
+
≤ 1.
4
9
C’est l’intérieur d’une ellipse (plus sa frontière).
Courbes de niveau k (0 ≤ k ≤ 1) : dans chaque cas on a une ellipse
(0, 0) avec k = 1).
x2
4
x
2
+ y9 = 1 − k 2 (réduite à
Graphe : Les sections à z fixé sont toutes des ellipses pour z ∈ [0, 1].
Les sections à x fixé sont aussi des ellipses, de même pour y. On obtient un demi-ellipsoı̈de de
demi-axes 2, 3 et 1.
z
1
3
2
y
x
Voir surfaces quadriques dans la partie géométrie analytique de l’Appendice A, page 264.
172.
p
a) L’expression x2 + 4y 2 − 1 a un sens lorsque x2 + 4y 2 − 1 ≥ 0 ou x2 + 4y 2 ≥ 1. Les points
y2
= 1 et à l’extérieur de celle-ci : cet ensemble
(x, y) ainsi décrits sont sur l’ellipse x2 + 1/4
de points est D(f ).
Pour déterminer V (f ), notons d’abord que√V (f ) ⊆ R+ ∪ {0}. Ensuite, on voit qu’aux
points (x, 0), avec |x| ≥ 1, on a f (x, 0) = x2 − 1, qui prend toute valeur ≥ 0 désirée.
Donc V (f ) = R+ ∪ {0}.
b) Niveau 0. On demande les points (x, y) tels que f (x, y) = 0, c’est-à-dire
p
x2 + 4y 2 − 1 = 0,
une condition équivalente à
x2 + 4y 2 = 1,
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ce qui décrit les points (x, y) de l’ellipse de centre origine et de demi-axes 1 et 1/2.
Niveau 1. Les points (x, y) satisfont
p
x2 + 4y 2 − 1 = 1,
x2
y2
+
= 1,
2
1/2
√
√
ce qui est une ellipse de centre origine et de demi-axes 2 et 22 .
Niveau 2. Les points (x, y) satisfont
p
x2 + 4y 2 − 1 = 2,
x2
y2
+
= 1,
5
5/4
√
√
une ellipse de demi-axes 5 et 25 .
c) Le graphe est la surface d’équation
z=
p
x2 + 4y 2 − 1,
soit le demi-hyperboloı̈de supérieur à une nappe ; voir l’appendice A, page 265.
173.
a) Domaine de définition :
On doit avoir à la fois −1 ≤
signe, ce qui donne
x
2
≤ 1 et xy ≥ 0, c’est-à-dire −2 ≤ x ≤ 2 et x, y de même
D(f ) = {0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 0} ∪ {−2 ≤ x ≤ 0, y ≤ 0}
Voir le dessin dans les Réponses aux exercices des travaux pratiques, dans le livre.
Image ou ensemble des valeurs :
√
(i) arcsin x2 ne peut prendre que des valeurs entre − π2 et π2 alors que xy ne peut prendre
que des valeurs réelles ≥ 0 ;
(ii) en prenant y = 0 et en laissant varier x, on obtient pour z toutes les valeurs entre − π2
et π2 ; en fixant x (par exemple x = 1) et en laissant varier y, on obtient pour z toutes
les valeurs réelles ≥ arcsin 21 . C’est la même idée en fixant x = −2. L’ensemble des
valeurs est donc
π
− ≤ z < +∞.
2
b) Domaine de définition :
On doit avoir sin(x2 + y 2 ) ≥ 0, c’est-à-dire
2kπ ≤ x2 + y 2 ≤ (2k + 1)π,
k = 0, 1, 2, 3, . . .
√
D(f ) est donc formé du disque de rayon π, ainsi que l’anneaux concentriques (centre
origine) de plus en plus rapprochés à mesure qu’on s’éloigne de l’origine.
Image ou ensemble des valeurs :
p
Pour (x, y) ∈ D(f ), on a 0 ≤ sin(x2 + y 2 ) ≤ 1, de sorte que z = sin(x2 + y 2 ) satisfait
0 ≤ z ≤ 1. Autrement dit, V (f ) = [0, 1].
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2
2
c) On doit avoir x + y 6= 0, log
R2
x2 +y 2
2
≥ 0, et enfin, x2 + y 2 ≥ R2 . La deuxième condition
équivaut à la condition x2R+y2 ≥ 1, c’est-à-dire, x2 + y 2 ≤ R2 .
On conclut que x2 + y 2 = R2 et le domaine D(z) est réduit aux points sur le cercle de
rayon R et centre origine.
Pour obtenir l’ensemble des valeurs (l’image), on voit d’abord qu’avec (x, y) ∈ D(z),
chacune des racines carrées a la valeur 0. Il reste à étudier les valeurs de xy en ces mêmes
points, ce qui peut être fait avantageusement avec les coordonnées polaires : pour (x, y)
sur le cercle, on a
xy = (R cos θ)(R sin θ),
R2
=
(sin 2θ).
2
Comme 0 ≤ θ ≤ 2π, on a 0 ≤ 2θ ≤ 4π et −1 ≤ sin 2θ ≤ 1, de sorte que
R2
R2
≤ xy ≤
,
2
2
h 2 2i
c’est-à-dire que l’image de la fonction est l’intervalle − R2 , R2 .
−
174. Les dessins se trouvent aux figures R.30 à R.37, pages 377-379.
175. Les dessins se trouvent aux figures R.38 à R.42, pages 380-381.
176. Dans chaque cas, trouver la courbe de niveau k revient à trouver les points (x, y) pour lesquels
f (x, y) = k ou z = k.
a) x + y = k, soit des droites parallèles de pente −1 et ordonnée à l’origine k.
b) L’équation x2 + y√2 = k, avec k ≥ 0 nécessairement, décrit une famille de cercles de centre
origine et rayon k.
c) On obtient des paraboles xy2 = k ou y = kx2 , k constante arbitraire.
d) Avec √yx = k, on voit d’abord que x > 0. Pour k = 0, on obtient l’axe des x positifs. Pour
√
k > 0, on a y = k x, une demi-parabole supérieure avec l’axe des x positifs comme axe
de symétrie. C’est la demi-parabole inférieure, avec k < 0.
e) ln(x2 + y) = k revient à x2 + y = ek ou y = ek − x2 = K − x2 , K > 0, soit des paraboles
ouvrant vers le bas.
f) arcsin(xy) = k devient xy = sin k, où nécessairement −1 ≤ sin k ≤ 1. Donc xy = c avec
|c| ≤ 1, une famille d’hyperboles.
177. (i) Si z = x + iy, la fonction f (x, y) = |z − 5| + |z + 5| représente la somme des distances entre le
point (x, y) et les points (5,0) et (−5, 0) ; le lieu des points où cette somme est constante est
une ellipse dont les foyers sont situés en (−5, 0) et (5,0). Voir Ellipses dans la partie géométrie
analytique de l’Appendice A, page 261.
Pour chacune des valeurs de c > 10, f (x, y) = c est donc une ellipse.
Noter que lorsque c = 10, la courbe de niveau f (x, y) = 10 se réduit au segment de droite
reliant les points (−5, 0) et (5.0), c’est-à-dire
{(x, 0) | −5 ≤ x ≤ 5}.
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(ii) V (f ) = {z | z ≥ 10}.
179. a −→ Fig. R.8,
e −→ Fig. R.10,
b −→ Fig. R.5,
c −→ Fig. R.9,
d −→ Fig. R.6,
f −→ Fig. R.7.
Le seul cas difficile est f .
a) La courbe de niveau k a l’équation 3y 2 − x + 3 = k, ce qui donne une parabole, car x est
quadratique en y.
b) Pour x fixe, les altitudes z = x sin(x + y) oscillent de manière sinusoı̈dale, sur la surface.
c) La courbe de niveau k, qui a l’équation ln(x + y) = k ou x + y = ek , est une droite de
pente −1.
2
d) Courbes de niveau : paraboles y = x2 + constante. Sur la surface : altitudes z = ex −y
exponentiellement décroissantes pour x fixe ; altitudes symétriquement croissantes selon
±x, pour y fixe.
e) La surface est un cône. Pour x = 0, z = ±3y, deux droites sur la surface lorsqu’elle
rencontre le plan yOz. Même idée avec y = 0.
f) Par élimination, on se retrouve avec la Fig. R.7. On peut au moins voir que le niveau 0 se
décrit par x3 + y 3 = 0 =⇒ y = −x, une droite.
180.
√
√
a) Si y = x, on obtient 4 − z − 2 |x| = 0, ou encore z = 4 − 2 |x|, ce qui représente deux
demi-droites dans le plan y = x.
3.8
2.8
z
-3
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1.8
-3
0.8 -2
-1
0
-2
-1-0.2
0
1
1
x
2
3
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y
2
3
7/ 9
b) Si z = 2, alors x2 + y 2 = 4 ; il s’agit d’un cercle de rayon 2 centré sur l’axe des z
4
3
2z
-2
1
-1
x
0
1
-2
-1
00
1 y
2
2
c) Si x = 0, (y − z)2 = 1, z = y ± 1 ; c’est une paire de droites
3
2
z
-1.0
x 1
-0.5
1.0
0.00
0.0
0.5
-1
0.5
1.0
y
d) Si y = c quelconque, c’est une ellipse de demi-axes
√
1.5
2.0
3 et 1 centrée en x = 0, z = c.
3.0
2.5
z 2.0
1.5
1.3
x
MAT-10363 – E08
1.0
0
0.3
-1.7
-0.7
1
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2
y
3
4
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Remarques pour a) et b)
Ces 2 coupes suggèrent que la surface représentative de z est une surface de révolution : c’est
le cône obtenu en faisant tourner les 2 droites de la figure en a) autour du cercle de la figure en
b)
Remarques pour c) et d)
Ces 2 coupes suggèrent que la surface est obtenue en translatant l’ellipse de la figure en d) entre
les droites de la figure en c). On obtient ainsi un cylindre, placé obliquement, d’axe (0, t, t).
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