Classe PC Dupuy de Lôme

PC Dupuy de Lôme 2012-2013
Physique
Devoir n°17 - 18 février - 4 heures
A
Débimètres à orifice déprimogène
Les mesures de débits d’écoulement par organe déprimogène consistent à accélérer l’écoulement par une diminution
de la section de passage et à mesurer la variation de pression ainsi provoquée.
Ces débitmètres ont été parmi les premiers utilisés, suite à la découverte en 1797 par G. Venturi du tube qui porte
son nom. Ils sont largement répandus en secteur industriel et en génie civil (station de pompage, usine de traitement
des eaux, centrale hydroélectrique, . . .) tant pour les liquides que pour les gaz et vapeurs ; les organes déprimogènes
sont caractérisés par leur rapport de contraction de diamètre et regroupent les tubes de Venturi, les tuyères et les
diaphragmes.
AI
Étude préliminaire d’un écoulement
Considérons l’écoulement stationnaire d’un fluide homogène, soumis au champ de pesanteur, dans une conduite horizontale
dont la section décroît de façon continue, comme le montre la figure 1. Le fluide est supposé incompressible, de masse
volumique f et de viscosité négligeable. Les pertes de charge ne sont pas prises en compte.
1 ), de diamètre D1 (section d’aire S1 ), la pression sera notée P1 et la vitesse du fluide
Dans la partie amont (référencée ○
2 Le rapport des diamètres
V1 . Les mêmes grandeurs avec l’indice 2 seront employées pour la zone d’étranglement notée ○.
=
D2
D1
est rapport de contraction.
Figure 1 –
AI-1
L’écoulement étant supposé unidimensionnel, que pouvez-vous dire des grandeurs liées à tout point d’une section
droite de la conduite ?
AI-2
Schématiser quelques lignes de courant dans la conduite ; quelles remarques ce tracé vous inspire-t-il ?
AI-3
Justifier puis écrire la conservation du débit volumique entre les sections droites d’aires
S1 et S2 .
Dans le cas d’un écoulement stationnaire, homogène, incompressible, Bernoulli a établi la relation :
v2
2
+ epm +
P
f
= C te
(1)
AI-4
Que représente cette équation ? Appliquer cette relation le long d’une ligne de courant judicieusement choisie.
AI-5
Décrire qualitativement les évolutions de la vitesse et de la pression du fluide lors du rétrécissement de la conduite.
AI-6 Exprimer la vitesse V2 du fluide au niveau du rétrécissement en fonction de P1 , P2 , . La variation de pression entre P1 et P2 pourra être notée P .
AI-7
f
et du rapport de contraction
Citer des exemples d’applications simples et de réalisations illustrant la variation de pression observée au niveau de
la zone contractée (ce qui constitue l’effet Venturi).
1
PC Dupuy de Lôme 2012-2013
AII
Physique
Tube de Venturi
Monté sur une canalisation cylindrique de section S1 , ce dispositif comporte successivement un premier tube tronconique
dénommé convergent (C) suivi d’un tube cylindrique de section réduite S2 , appelé col (T), puis d’un second tube tronconique
assez long appelé divergent (D), avant de retrouver la section initiale S1 , comme l’illustre la figure 2. Les angles d’ouverture
du convergent et du divergent sont normalisés et désignés par (respectivement D ).
Figure 2 –
10
Dans les sections 1 et 2 sont insérés deux tubes de faible diamètre Æ (Æ < D1 / ) reliés à un manomètre rempli
de mercure (de masse volumique H g ). Ces prises de pressions sont disposées dans une double enveloppe du tube
cylindrique au niveau d’une chambre annulaire (CA) , à D1 / avant (C) pour la zone amont et à D1 / après (C)
pour le col.
Lorsque le fluide (qui possède les mêmes caractéristiques d’écoulement que dans l’étude préliminaire) transite dans
le tube de Venturi, une dénivellation h est relevée entre les surfaces de séparation mercure/fluide dans les deux
branches du manomètre.
2
2
AII-1
Expliquer le rôle du convergent (C) dans le tube de Venturi.
AII-2
Justifier la dimension et la localisation des prises de pression.
AII-3
Relier la dénivellation
AII-4
En utilisant les résultats établis en AI, établir l’expression du débit volumique noté
√
h à la différence de pression P .
Q
V
= K:
2:P
Q
V
sous la forme :
(2)
f
K étant un terme constant à expliciter en fonction de D2 et . En déduire que la dénivellation h résulte du débit volumique
de l’écoulement.
AII-5 Proposer un mode d’étalonnage afin d’obtenir la plus grande précision possible sur la mesure du débit. Comment
cette précision évolue-t-elle en fonction de la valeur de ?
AII-6 A l’aide des caractéristiques géométriques de ce débitmètre et des paramètres expérimentaux fournis ci-après, calculer
le débit volumique théorique QV du fluide dans cette conduite (exprimé en m3 /heure).
Conduite de refoulement d’une centrale hydroélectrique
2
PC Dupuy de Lôme 2012-2013
Physique
600
D1 =
mm
Eau
t= C
P1 = bars
= −3 P a:s
f =
kg:m−3
D2 =
mm
LC =
mm
LT =
mm
LD =
mm
h = m(Hg)
H g =
kg:m−3
g = ; m:s−2
Diamètre conduite amont
Type de fluide
Température d’écoulement
Pression amont
Viscosité du fluide
Masse volumique du fluide
Diamètre du col
Longueur du convergent
Longueur du col
Longueur du divergent
Dénivelée manométrique
Masse volumique du mercure
Accélération de la pesanteur
10
5
10
999
350
675
700
1787
21
13546
9 81
Dans le cas où l’écoulement faiblit, le débit volumique n’étant plus que le dixième du débit maximal autorisé Qv(max) ,
que devient la variation de pression P mesurée en fonction de sa valeur maximale Pmax ?
En déduire qualitativement l’ordre de grandeur de la plage d’utilisation potentielle de ce tube de Venturi.
AII-7
AIII
Diaphragmes
Les débitmètres à diaphragmes, quoique plus rudimentaires et moins précis que les tubes de Venturi, sont appréciés
pour leur faible encombrement et l’interchangeabilité de leur dispositif de mesure. Ils sont constitués d’une plaque
introduite perpendiculairement à la conduite et percée d’un orifice circulaire (DPH) présentant un double biseau
calibré (diamètre D2 ), comme le montre la figure 3. La conduite amont possède toujours le diamètre D1 . Les prises
de pression manométriques sont localisées de part et d’autre de la plaque, dans les angles morts.
Figure 3 –
Les relations théoriques reliant la différence de pression P au débit volumique QV , établies précédemment pour le
tube de Venturi, demeurent valables. Dans le cas précis de l’écoulement d’un gaz, de masse volumique g , il est
classique d’exprimer le débit massique comme suit :
=
Q
m
Le coefficient de décharge noté
coefficient de débit
C
Q
C ::S1 : 2 √
√
2: :P
1 − 4
Q
(3)
g
prend en compte l’ensemble des pertes et des frottements dans le débitmètre. Le
est défini comme :
=
√
C
Q
1 − 4
. Le coefficient de détente
est une grandeur expérimentale
qui traduit le fait que la masse volumique du gaz ne reste pas constante sous l’effet des variations de vitesse. Pour
un diaphragme donné, CQ dépend du rapport et du nombre de Reynolds Re de l’écoulement (évalué dans sa partie
amont), comme le précise la relation de Stolz-Gallagher :
C (; R
Q
AIII-1
e
)=
6 0 75
0; 5959 + 0; 0312:2 1 − 0; 1840:8 + 0; 29:2 5 [ 10
]
R
;
;
;
(4)
e
Retrouver l’expression du débit massique. En déduire l’écriture du produit
des grandeurs géométriques.
3
: 2 en fonction de P , g
,
,Q
m
et
PC Dupuy de Lôme 2012-2013
Physique
Ce type de débitmètre étant particulièrement approprié au mesurage des débits d’écoulements gazeux, proposons de
déterminer le diamètre d’un diaphragme dans le cas d’un écoulement de vapeur d’eau, dans les conditions suivantes :
Débit massique :
Qm =
kg/heure
Température :
T=
C
Pression amont :
P1 = bars
Pression différentielle :
P=
mbars
Diamètre conduite amont :
D1 =
mm
Masse volumique du gaz :
g = ;
kg:m−3
Viscosité cinématique du gaz :
= ; : −6 m2 :s−1
Coefficient de détente
= ;
1500
200
6
245
100
2 843
5 5 10
0 987
AIII-2
Pour vous guider dans votre démarche, commencer par réaliser quelques calculs préliminaires :
V1 dans la conduite amont,
AIII-2a
Vitesse
AIII-2b
Nombre de Reynolds amont
AIII-2c
Produit
R (D1 ),
e
: 2 des coefficients de débit et de contraction.
AIII-3
Utiliser l’abaque (figure 4) traduisant les variations de
diamètre D2 du diaphragme.
√
AIII-4
Calculer le coefficient
C
Q
: 2
en fonction de
à l’aide de la relation 4 . En déduire la valeur de
2
afin d’évaluer
. En déduire le
puis la loi (numérique) reliant Q
P . Comparer la valeur numérique du débit massique ainsi obtenue à celle fournie dans les données.
AIII-5
2
m
à
Dans les mêmes conditions de température et de pression, la valeur limite inférieure du nombre de Reynolds, tel que
le stipulent les normes d’utilisation du dispositif, est de 4 . De combien pourrait être divisé le débit massique Qm avant de
sortir du domaine de normalisation ? En déduire les valeurs minimales de la vitesse V1 et du débit massique.
10
Figure 4 –
4
PC Dupuy de Lôme 2012-2013
Physique
Mécanique du Yoyo à débrayage Extrait du concours École de l’air PC 2002 Ce problème propose
l’étude d’un yo-yo moderne muni d’un système d’embrayage centrifuge qui permet la roue libre. Le yo-yo utilisé dans ce
problème est représenté schématiquement sur la figure 5.
B
Figure 5 – Mécanisme du yoyo
La ficelle est placée sur l’anneau parfaitement ajusté sur le moyeu central du yo-yo. Pour que la ficelle s’enroule autour de
l’anneau, une petite pointe cylindrique rétractable est sortie lorsque le yo-yo ne tourne pas suffisamment rapidement. Le
dispositif permettant la roue libre est constitué de quatre ressorts identiques (ressorts A de la fig 5). Quand la vitesse de
rotation du yo-yo a atteint une valeur limite, les ressorts A sont comprimés, et la pointe, sous l’effet du ressort B se rétracte
dans le corps du yo-yo. L’anneau sur lequel la ficelle s’enroule est alors libre de tourner autour du moyeu sans contrainte :
le yo-yo est en roue libre.
Ð
→
= 'Ð
e→y
On notera la vitesse angulaire du yo-yo dans son référentiel barycentrique :
On utilisera les grandeurs mécaniques et les notations suivantes :
Masse totale du yo-yo : M = ; g
Masse d’une bille : m = ; g
Distance à l’axe de rotation des billes au repos : r0 =
mm
Rayon intérieur du yo-yo : R =
mm
Rayon extérieur du yo-yo : Re =
mm
Constante de rappel d’un ressort A : k =
Nm−1
Longueur à vide d’un ressort A : l0 =
mm
Moment d’inertie du yo-yo par rapport à l’axe de rotation : J
Accélération de la pesanteur : g = ; m:s−2
Rayon de l’anneau : rm = mm
Longueur totale de la ficelle : l = m
_
23
51 3
12
24
28
10
4
BI
444
9 81
1
Mesure du moment d’inertie
Pour mesurer le moment d’inertie J par rapport à l’axe de rotation, on fait rouler le yo-yo sans glisser sur un plan incliné
(fig. 6). Il roule sur une longueur d = ; m et la durée de parcours est = ; s. Le yo-yo est abandonné sans vitesse initiale.
15
51
→⊗
eÐ
y
Figure 6 – Roulement sans glissement
BI-1
Relier la vitesse angulaire de rotation
'_ du yo-yo et la vitesse de son centre x_ .
5
→
eÐ
x
PC Dupuy de Lôme 2012-2013
BI-2
_
par x.
Physique
Établir, à partir des théorèmes de la résultante cinétique et du moment cinétique, l’équation du mouvement vérifiée
BI-3
En déduire l’équation horaire du mouvement puis l’expression de
BI-4
Effectuer l’application numérique calculer
BII
J
en fonction des données.
J
→O
⊙
eÐ
La chute verticale du yo-yo
y
Le yo-yo est cette fois-ci uniquement soumis à son propre poids. On néglige en
particulier le frottement fluide du yo-yo dans l’air. La ficelle est initialement totalement enroulée autour de l’anneau et on néglige l’épaisseur de la ficelle. Le yo-yo
est abandonné sans vitesse initiale. L’axe vertical est orienté positivement vers le
bas et on note z la cote du centre d’inertie du yo-yo.
Le yo-yo se déroule dans le sens trigonométrique.
On néglige la masse de la ficelle.
On constate au cours de cette expérience que la mise en roue libre n’a pas lieu.
Ð
→
On note I le point limite de contact de la ficelle avec le yo-yo et T la force exercée
par la ficelle en ce point sur le yo-yo.
On étudie le yo-yo dans le référentiel du laboratoire.
BII-1
z
T
Ð
→
C
z
b
I
Conservation de l’énergie mécanique
Exprimer en le justifiant la puissance de la force
exercée en un point A d’un solide)
BII-1a
T
Ð
→
(on rappelera l’expression générale de la puissance d’une force
BII-1b
Montrer que l’énergie mécanique du yo-yo se conserve.
BII-1c
Exprimer l’énergie cinétique du yo-yo en fonction de z ,
_
BII-2
Le yo-yo est lâché à la cote
BII-3
Quelle est la valeur
BIII
Ð
e→
'_
M ax
M, J
et
'_ puis en fonction de z_ , r
m
,
M
et J .
z = 0 sans vitesse initiale. Déterminer l’expression de z_ en fonction de M , g, z , J
et
r
m
.
de la vitesse angulaire de rotation du yo-yo lorsque toute la ficelle est déroulée ?
Dispositif de mise en roue libre
Dans cette étude, on néglige la translation du yo-yo, on considère donc le yo-yo uniquement en rotation avec une vitesse
Ð
→
angulaire
= 'Ð
e→y .
Le dispositif permettant la roue libre, lorsque une vitesse angulaire suffisante est atteinte, peut être modélisé, pour une bille,
par le dispositif suivant :
On assimile chaque bille à un objet ponctuel de masse m placée à la distance r de l’axe de rotation (fig. 7). Chaque bille
est placée dans un carénage en matière plastique, de masse négligeable, qui écarte d’une distance e = mm la bille du point
d’attache du ressort. Cette distance est constante.
Ð
→
→
On suppose la bille encore en contact avec la butée en P et on note N = N:Ð
u l’action de cette butée sur la bille. On étudie
le système bille carennage dans le référentiel lié au yo-yo.
_
6
BIII-1
Ð
→ de la bille dans le référentiel d’étude ?
Tant que la bille est en contact avec la butée, quelle est l’accélération a
r
BIII-2
Effectuer le bilan des forces et pseudo-forces et en déduire l’expression de
BIII-3
En déduire la valeur limite
BIII-4
Effectuer l’application numérique. Comparer cette valeur à
N
'_ 1 pour laquelle le contact butée-bille va être rompu.
6
'_
max
_
en fonction de ',
et commenter.
r0 , e, l0 , R, m et k
PC Dupuy de Lôme 2012-2013
Physique
Figure 7 – Dispositif de mise en roue libre
7