Classe de Premi`ere L MATHEMATIQUES Correction du DS

Classe de Première L
MATHEMATIQUES
Correction du DS du 16 / 11 / 2006
Exercice 1 : Rendez-vous
1) La suite (un ) compte le nombre de marches descendues par Julien. Donc :
u1 = u0 −5 = 1800−5 = 1795,
u0 = 1800,
u2 = u1 −5 = 1795−5 = 1790.
La suite (vn ) compte le nombre de marches montées par Denis. Donc :
v0 = 0,
v1 = v0 + 2 = 2,
v2 = v1 + 2 = 2 + 2 = 4.
2) La suite (un ) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 1800 et de raison
r = −5.
La suite (vn ) est la suite arithmétique de premier terme v0 = 0 et de raison
r = 2.
un = u0 + r × n = 1800 − 5n
3) On a donc :
et
vn = v0 + r × n = 0 + 2n = 2n
c.a.d
c.a.d
un = 1800 − 5n,
vn = 2n.
u100 = 1800 − 5 × 100 = 1800 − 500 = 1300
On a alors
et
v100 = 2 × 100 = 200.
4) La suite (un ) est décroissante car sa raison est négative.
La suite (vn ) est croissante car sa raison est positive.
5) Julien et Denis se rejoignent lorsque
On calcule donc :
7n = 1800
des.
c.a.d
2n = 1800 − 5n,
n=
v n = un .
c.a.d
2n + 5n = 1800,
1800 ∼
= 257 secondes ou encore 4 minutes et 17 secon7
Exercice 2 : Evaporation
1) La piscine perd un vingtième de son eau donc il en reste les dix-neuf vingtièmes.
On a donc :
V2 = V1 ×
V1 = V0 ×
19
19
= 60 ×
= 3 × 19 = 57 m3
20
20
19
19
= 57 ×
= 54, 17 m3 .
20
20
1
2) On en déduit que
Vn+1
19
= Vn ×
20
et
Vn = V0 ×
19
20
n
.
3) La suite (Vn ) est une suite géométrique de premier terme V0 = 60 et de raison
19
.
20
8
19
= 39, 81 m3 .
4) Au bout de la huitième semaine, il reste V8 = V0 ×
20
Exercice 3 : Chute libre
1) On a donc
d1 = 4, 9,
d2 = d1 + 9, 8 = 4, 9 + 9, 8 = 14, 7,
d3 = d2 + 9, 8 = 24, 5.
2) La suite (dn ) est la suite arithmétique de premier terme d1 = 4, 9 et de raison
9, 8. On a donc la formule :
dn = 4, 9 + 9, 8(n − 1) car on part de n = 1.
3) On peut donc calculer
d8 = 4, 9 + 9, 8 × (8 − 1) = 73, 5 m.
4) La distance totale parcourue pendant les huit secondes est :
D = d1 + d2 + d3 + d4 + d5 + d6 + d7 + d8
= 4, 9 + 14, 7 + 24, 5 + 34, 3 + 44, 1 + 53, 9 + 63, 7 + 73, 5 = 313, 6 m.
Exercice 4 : Comparaison de salaires
1) • Le cœfficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 4% est
1, 04. On a donc, pour la suite U de premier terme U0 = 9910 :
U1 = U0 × 1, 04 = 9910 × 1, 04 = 10306, 4,
U2 = U1 × 1, 04 = 10306, 4 × 1, 04 = 10718, 656.
• Le cœfficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 3% est 1, 03.
On a donc, pour la suite V de premier terme V0 = 10670 :
V1 = V0 × 1, 03 = 10670 × 1, 03 = 10990, 1,
V2 = V1 × 1, 03 = 10990, 1 × 1, 03 = 11319, 803.
2) Pour montrer qu’une suite est géométrique, on calcule les quotients de quelques
termes consécutifs :
2
•
U1
10306, 4
=
= 1, 04
U0
9910
U2
10718, 656
=
= 1, 04.
U1
10306, 4
On en déduit que la suite U est une suite géométrique de premier terme U0 = 9910
et de raison 1, 04.
•
V1
10990, 1
=
= 1, 03
V0
10670
V2
11319, 803
=
= 1, 03.
V1
10990, 1
On en déduit que la suite V est une suite géométrique de premier terme V0 = 9910
et de raison 1, 03.
On a donc les formules :
Un = 9910 × 1, 04n
et
Vn = 10670 × 1, 03n .
3) On a :
U0 = 9910,
U1 = 10306, 4,
U2 = 10718, 656,
U3 = 11147, 40,
U4 = 11593, 30,
U5 = 12057, 03,
U6 = 12539, 31,
U8 = 13562, 52,
U9 = 14105, 02,
U10 = 14669, 22.
V0 = 10670,
V1 = 10990, 1,
V2 = 11319, 83,
U7 = 13040, 88,
V3 = 11659, 40
V4 = 12009, 18,
V5 = 12369, 45,
V6 = 12740, 54,
V8 = 13516, 44,
V9 = 13921, 93,
V10 = 14339, 59.
V7 = 13122, 75
4) Pour n = 9, U9 devient plus grand que V9 , donc à partir de l’année 2009, le
salaire de Pierre est plus important que celui de Paul.
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