En 1800, l`Angleterre comptait 8 millions d`habitants. Chaque année

A – Suites
I – Hypothèse de Maltus : En 1800, l’Angleterre comptait 8 millions d’habitants. Chaque année la
population de l’Angleterre s’accroit de 2%., donc elle est multipliée par 1,02.
Si Pn est la population l’année 1800+n, l’année suivante elle sera de Pn+1 = 1,02pn .
La suite (Pn ) est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme 8 en millions d’habitants.
D’où pour tout n
É
Pn = 8×1,02n
L’agriculture anglaise permettait de nourrir 10 millions d’habitants. Chaque année l’amélioration de
l’agriculture permet de nourrir 400 000 personnes supplémentaires.
Si An est le nombre de personne pouvant être nourries l’année 1800+n, l’année suivante elle est
augmentée de 0,4 million donc An+1= An +0,4, la suite (An ) est une suite arithmétiques de raison 0,4 et
de premier terme 10 en millions. D’où pour tout n
É
An = 10+0,4n
Avec la calculatrice on trouve qu’en 1887 l’agriculture ne peut plus nourrir la population entière. Ce
modèle n’est donc manifestement pas satisfaisant.
II – Pour les jardiniers
La suite (Un) est définie par : U0 qui représente la surface initiale de la pelouse et Un qui est la surface
de gazon sans chiendent restant au bout de n années. En mètres carrés.
1. Tous les ans 20% du gazon est détruit pendant l’été et remplacé par du chiendent, donc
la surface de gazon est multipliée par 0,8, et chaque automne on arrache 50 mètres
carrés de chiendent et on le remplace par du gazon.
Donc pour tout n É
Un+1 = 0,8 Un + 50.
U2−50
1370−50
2. On sait que U2 = 1370. Donc U1 =
=
= 1650
0,8
0,8
1650−50
=2000 mètres carrés.
et U0 =
0,8
3. Soit la suite (Vn) est définie pour tout entier naturel n par : Vn+1 = Un+1 – 250.
Un+1 = 0,8 Un + 50 donc Vn+1 = (0,8 Un + 50)-250 = 0,8 Un -200
or Un = Vn +250 donc Vn+1 = 0,8(Vn +250)-200 = 0,8 Vn .
La suite (Vn ) est une suite géométrique de premier terme V0 = U0 – 250 =2000 – 250
V0 = 1750 et de raison o,8 donc Vn =1750× 0,8n
Le premier terme de la suite est positif et la raison inférieure à 1 donc la suite (Vn ) est
décroissante.
4. Par définition Un = Vn +250. Donc (Un ) est aussi une suite décroissante.
5. On cherche donc le nombre d’année pendant lequel le jardinier garde plus du quart de
sa pelouse sans chiendent, donc Un > 500. Avec la calculatrice on constate qu’au bout
de 9 ans Un <500.
D – Programmation linéaire
Dans croissance plus il y a 40kg de potasse, 5kg de fumier et 2,5kg de sang séché.
Dans équinature il y a 20kg de potasse, 10kg de fumier et 2,5kg de sang séché.
1
1. Soit x le nombre de sacs croissance et y le nombre de sacs équinature. Donc x∈É et y∈É
Il faut au moins 4000kg de potasse donc 40x+20y ≥ 4000 ñ2x+y ≥ 200.
On trace d1 : 2x+y=200
Il faut au moins 1000kg de fumier donc 5x+10y ≥ 1000 ñ x+2y ≥ 200.
On trace d2 : x+2y=200
Il faut au moins 400kg de sang donc 2,5x+2,5y ≥ 400 ñ x+y ≥ 160. On trace d3 : x+y=160.
Les coordonnées de O ne vérifient aucune des contraintes, il n’est donc pas dans les demi plans
recherchés.
2. Les quantités de sac sont les cordonnées des points situés dans la partie non hachurée.
A
200
150
K
100
J
50
I
o
O
200
B
100
d1
c10000
d3
cmin
d2
300
c30000
on obtient par la calculatrice I(120 ;40), J(67 ;67) et K(40 ;120) pour J les valeurs sont approchées)
2
c
3. Le coût est donné par c=100x+150y ñy = - 3 x + 150 , équation de droites parallèles suivant la
valeur de c.
4. Si c = 10 000 la droite ne passe pas par le polygone des contraintes ce n’est donc pas un coût
possible.
Si c = 30 000 la droite passe par le polygone ce coût est possible.
Le coût est minimal quand c est tel que la droite passe par le polygone et a une ordonnée à l’origine la
plus petite possible donc quand elle passe par I((120 ;40) le coût est cmin=18 000€.
On a alors 5600kg de potasse, 1000kg de fumier et 400 kg de sang.
5. On a un surplus de potasse donc il n’y a pas besoin d’en commander.
2
Statistiques
I – Exploitation de données :
1.
Chiffre d'affaires
[100; 150[
[150; 200[
[200; 250[
[250; 300[
[300; 350[
[350; 400[
[400; 450[
[450; 500[
Effectif
40
50
60
70
100
80
60
40
Effectif cumulé croissant
40
90
150
220
320
400
460
500
500
=125, celui de Me est 250 et celui de Q3 est 375,
4
donc Q1 est dans la classe [200; 250[, Me Dans [300; 350[ et Q3 dans [350; 400[.
b) L'effectif cumulé de Q1 est
2.a)
effectif cumulé
600
500
400
300
effectif cumulé
200
100
0
0
100
200
300
400
500
600
b) La lecture graphique donne donc Q1 ó230, Me ó320 et Q3 ó 380.
c) Les points A (300 ; 220) M (Me ;250) et B (350 ;320) sont alignés donc (AB) et (AM) ont le même
y −y
y −y
coefficient directeur. Donc B A = M A d’où Me = 315
xB −xA xM −xA
3. Interpolation linéaire : Q1 = 200 + x L'étendue de la classe de Q1 est 50, il faut 35 valeurs dans cette
classe pour arriver à Q1, et l’effectif de cette classe est 60, en considérant qu'il y a une répartition
35x50
uniforme donc proportionnalité x = 35 donc x =
ó 29, Q1 ó229.
60
50 60
4. Cette méthode donne Q1=225, Me = 325 et Q4=375, elle donne donc le centre de la classe en
considérant que tous les magasins ont pour chiffre d'affaire le centre de la classe.
x = 307
s ó 100,4
Dans l’intervalle interquartile il y a 50% des magasins.
[ x − s ; x + s ] ó [200;400], il y a 310 magasins soit 62% des magasins dans cet intervalle
3
III– Tableau à double entrée :
44%
+
82%
36,08%
–
18%
7,92%
81%
6,48%
19%
1,52%
83%
2,49%
A
+
B
–
8%
AB
+
3%
0,51%
–
17%
O
80%
36%
20%
9%
+
45%
–
1. En déduire le tableau à double entrée pour les deux critères :
Groupe
A
B
AB
O
total
Rhésus
Rhésus +
36,08%
6,48%
2,49%
36%
81.05%
Rhésus -
7,92%
1,52%
0,51%
9%
18,95%
total
44%
8%
3%
45%
100 %
2. En déduire le tableau des fréquences de chaque groupe en fonction des rhésus :
Groupe
A
B
AB
O
total
Rhésus
Rhésus +
44,51%
8%
3,07%
44,42
100 %
Rhésus -
41,79%
8,02%
2,69%
47,49%
100 %
La fréquence du groupe A sachant que le rhésus est positifs est de 44,51.%
La fréquence des rhésus positif est de..81,05%
La fréquence du groupe O sachant que le rhésus est négatif est de …47,49 %
4