Cours et activités

CHAPITRE
Proportionnalité
Énigme du chapitre.
Quinze ouvriers ont tissé à la main 2700 m
d’étoffe en 9 journées de travail de 8 heures
chacune.
En travaillant à la même cadence, combien de
mètres d’étoffe 18 ouvriers tisseront-ils en 15
journées de 7 heures chacune ?
15
Objectifs du chapitre.
— Reconnaître les situations qui relèvent
de la proportionnalité et les traiter en
choisissant un moyen adapté :
— utilisation d’un rapport de linéarité, entier ou décimal,
— utilisation du coefficient de proportionnalité, eniter ou décimal,
— passage par l’image de l’unité (ou
« règle de trois »)
— *utilisation d’un rapport de linéarité, d’un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de
quotient.
I/ Reconnaître une situation de proportionnalité
Activité A. Reconnaître une sitution de proportionnalité
Pour chaque problème, répondre à la question (a) si c’est possible et ensuite répondre à la
question (b).
1. Au marché 1 kg d’organes coûte 2;50 e.
(a) Quel est le prix de 4 kg de ces oranges ?
(b) La masse d’oranges et le prix à payer sont-ils proportionnels ?
2. À 10 h, il fait 25 C.
(a) Quelle température fera-t-il à 20 h ?
(b) L’heure et la température sont-elles proportionnelles ?
3. 4 bouteilles identiques contiennent 6 litres d’eau.
(a) Combien de litres contiennent 12 de ces bouteilles ?
(b) Le nombre de litres et le nombre de bouteille sont-ils proportionnels ?
4. Lundi, Emilie a effectué 4 tours d’un lac, soit 1000 m. Mardi, elle a effectué 6 tours.
(a) Quelle distance a-t-elle parcourue mardi ?
(b) Le nombre de tours du lac et la distance parcourue sont-ils proportionnels ?
5. Karim a 6 ans et sa sœur a 10 ans.
(a) Quel âge aura Karim quand sa soeur aura 20 ans ?
(b) L’âge de Karim et l’âge de sa sœur sont-ils proportionnels ?
Faire les exercices 1 2 3 F
II/ Propriétés de la proportionnalité
Activité B. Utilisation des proporiétés de la proportionnalité
Partie A : Propriétés de la proportionnalité
Julien a rapporté des foulards de son voyage au Népal. Il a payé 2100 roupies népalaises pour
l’achat de 6 foulards. Chaque foulard est vendu au même prix.
Le prix payé est proportionnel au nombre de foulards achetés.
1. (a) Quelle est la moitié de 2100 roupies ?
(b) Combien de foulards peut-on acheter avec la moitié de 2100 roupies ?
2. Calculer le prix d’achat de 2 foulards.
3. Déduire des résultats précédents le prix payé pour l’achat de 5 foulards.
Partie B : Passage par l’unité
1. (a) Dans le problème précédent, que permet de calculer l’opération 2100 6 ?
(b) Calculer ce prix.
2. En déduire le prix payé pour l’achat de 13 foulards.
Partie C : Règle de trois
Marie qui est allée au Népal avec Julien a dépensé 5250 roupies en achat de foulards.
1. (a) Recopier le tableau ci-dessous.
Nombre de foulards
6
Prix (en roupies)
2100
:::
5250
(b) Colorier en rouge la case du tableau que l’on cherche à remplir.
Colorier en rouge la case qui forme une diagonale avec la case rouge précédente.
(c) Colorier en bleu les deux cases de l’autre diagonale du tableau.
2. (a) Calculer le produit des deux nombres écrits dans les cases bleues.
(b) Diviser ce produit par le nombre écrit dans une case rouge.
(c) Écrire le résultat dans la case vide rouge.
3. Combien de foulards Marie a-t-elle achetés avec 5250 roupies ?
1) Propriété additive - propriété multiplicative
Exemple
1;5 kilogramme de raisin coûte 5;85 e. Le prix du raisin est proportionnel à sa masse. On veut
calculer le prix de 3;5 kilogramme de ce raisin.
On peut utiliser les propriétés additivites et multiplicatives de la proportionnalité.
2
Masse (en kg) 1;5
Prix (en e)
3
5;85 11;70
2
3
— Prix de 3 kg de raisin :
Masse (en kg) 1;5
0 ;5
5;85 1;95
Prix (en E)
3
— Prix de 0,5 kg de raisin :
+
Masse (en kg) 3
0 ;5
3;5
Prix (en E)
1;95
13;65
11;70
+
— Prix de 3,5 kg de raisin :
— Conclusion : 3;5 kilogrammes de ce raisin coûtent 13;65 e
2) Passage par l’unité
Exemple
12 litres de lait coûtent 14;40 e. On veut calculer le prix de 5 litres de lait.
On peut commencer par calculer le prix d’un litre de lait.
12 5
Quantité de lait (en L) 12
1
Prix (en e)
1;20 6
14;40
5
12 5
Conclusion : 5 litres de lait coûtent 6;00 e.
3) Règle de trois
Exemple
Pour fabriquer 40 chouquettes, on utilise 140 g de farine. On veut calculer la masse de farine
pour réaliser 25 chouquettes.
On peut utiliser la règle de trois.
Nombre de chouquettes
Masse de farine (en g)
40
25
140
?
? = 140
25 40 = 87;5.
Conclusion : Pour réaliser 25 chouquettes, il faut 87;5 grammes de farine.
Faire les exercices 4 5 6 7 F 8 F 9 F 10 F
III/ Coefficient de proportionnalité
Activité C. D’une suite à l’autre
1. On sait que la masse d’une bille est proportionnelle à son volume. On donne, dans le
tableau ci-dessous, les masses (exprimées en g) et les volumes correspondants (exprimés
en cm3) de cinq billes de plomb différentes.
Volume de la bille en plomb (en cm3) 3
Masse de la bille de plomb (en g)
33
6
9
12
24
66
99
132
264
Quelle opération permet d’obtenir les nombres de la deuxième ligne du tableau à partir des
nombres de la première ligne ?
2. Recopier et compléter la phrase suivante : « Si deux suites de nombres sont : : :, alors
on peut obtenir les termes de l’une en multipliant les termes de l’autre par un nombre,
toujours le : : :. ».
Cet opérateur multiplicatif est appelé le coefficient de proportionnalité.
Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de calculer la masse d’une bille de
plomb à partir de son volume ?
À la masse de quel volume de plomb ce nombre correspond-il ?
Propriété
Dans un tableau de proportionnalité, chaque nombre de la seconde ligne est obtenu en multipliant
chaque nombre de la première ligne par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de
proportionnalité.
Exemple
On souhaite compléter le tableau de proportionnalité suivant :
Masse de pommes (en kg) 2
Prix (en e)
8
7;68
9;60
15;36
24
kg de pomme coûtent 7;68 e. On cherche le coefficient de proportionnalité, c’est-à-dire le
nombre manquant dans la multiplication : 8 : : : = 7;68. Ce nombre est égal à 7;68 8 = 0;96.
8
Masse en pommes (en kg) 2
Prix en e
7;68 10
1;92 8
9;60
16
24
15;36
23;04
0;96
0;96
Remarque
On pouvait compléter ce tableau de proportionnalité avec l’aide de la règle de trois ou encore
avec les propriétés additives et multiplicatives en remarquant que 24 = 3 8 et 24 = 12 2.
Faire les exercices 11 12 13 14 F
Problèmes :
Faire les exercices 15 F 16 F 17 F 18 F