Identification des modules équivalents d`une poutre composite à

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Identification des modules équivalents d`une poutre composite à
Année 1989
N° d'Ordre: ECL 89-001
THESE
présentée devant
L'ECOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir
le titre de DOCTEUR INGENIEUR
spécialité: mécanique
par M. CHAIYAPORN Somsak
IDENTIFICATION DES MODULES EQUIVALENTS
D'UNE POUTRE COMPOSITE A PARTIR D'ESSAIS
VIBRATOIRES NON-MODAUX
Soutenue le 19 Janvier 1989 devant la Commission d'Examen
Jury
MM.
R. HENRY
(Président)
J.C. DUFORET
B. DUPERRAY
L. JEZEQUEL
(Directeur de Thèse)
F. SIDOROFF
(Rapporteur)
A. VAUTRIN
(Rapporteur)
ECOLE CENTRALE DE LYON
Directeur :3. BORDET
Directeur Adjoint : R. RICHE
Directeur de l'Administration de la Recherche : P. CLECHET
Directeur des Etudes : F. SIDOROFF
LISTE DES PERSONNES HABILITEES A ENCADRER DES THESES A L'E.C.L.
(Doctorat d'Etat ou Habilitation au sens de l'Arrêté du 5 juillet 1984,
modifié par l'Arrêté du 21 mars 1988)
Mathématiques-Informatique-Systèmes
Professeur 2e Classe
Professeur 2e Classe - Univ.- Bordeaux
Professeur 1ère Classe
Maître Assistant ENSM-St-Etienne
THOMAS
Maître de Conférences
MUSY
Maître de Conférences
Cl. SCHMIDT-LAINE Chargée de Recherche au CNRS
B. DAVID
C.M. BRAUNER
3.F. MAITRE
CONRAD
Physicochimie des Matériaux
P. CLECHET
J. 3OSEPH
P. PICHAT
3.M. HERRMANN
N. 3AFFREZIC
ESCHALIER
A. GAGNAIRE
Cl. MARTELET
3.R. MARTIN
R. OLlER
TAILLAND
Professeur 1ère Classe
Professeur 2e Classe
Directeur de Recherche au CNRS
Directeur de Recherche au CNRS
Chargée de Recherche au CNRS
Maître de Conférences
Maître de Conférences
Maître de Conférences
Maître de Conférences
Maître de Conférences
Maître de Conférences
Métallurgie et Physique des Matériaux
P. GUIRALDENQ
D. TREHEUX
3. BLANC-BENON
3. BRUGIRARD
COQUILLET
D. 3UVE (Mme)
NGUYEN Du
Professeur 1ère Classe
Professeur 2e Classe
Professeur - LYON I
Professeur - LYON I
Maître de Conférences
Ingénieur d'Etude - 2e C.
Assistant Titulaire
P. VIKTOROVITCH
G. HOLLINGER
BLANCHET
KRAWCZYK
M. LE HELLEY
P. LEYRAL
O. BONNAUD
J. BOREL
3.P. CHANTE
Directeur de Recherche au CNRS
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Professeur 2e Classe
Chargé de Recherche au CNRS
Maître de Conférences
Maître Assistant
Professeur - INSA - Rennes
Direct. Technique Sté E.F.C.I.S.
Professeur - INSA - Lyon
Electronique
Electrotechnique
Ph. AURIOL
A. FOGGIA
A. NICOLAS
G. RO3AT
Professeur 2e Classe
Professeur 1ère Classe - I.N.P.G.
Maître de Conférences
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B. CAMBOU
F. SIDOROFF
L. 3EZEQUEL
Cl. SURRY
L. VINCENT
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Professeur - E.N.I.S.E.
Maître de Conférences
3.M. GEORGES
3. SABOT
T. MATHIA
Ph. KAPSA
3.L. LOUBET
3.L. MANSOT
1M. MARTIN
H. MONTES
Professeur 1ère Classe
Professeur 2e Classe
Directeur de Recherche au CNRS
Chargé de Recherche au CNRS
Chargé de Recherche au CNRS
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Maître de Conférences
Maître de Conférences
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3. BATAILLE
B. GAY
3.N. GENCE
3EANDEL
ALCARAZ
LEBOEUF
R. MOREL
Cl. CAMBON
3.P. BERTOGLIO
P. FERRAND
M. LANCE
Professeur Classe Exceptionnelle
Professeur Lyon I
Professeur Lyon I
Professeur Lyon I
Professeur 2e Classe
Professeur 2e Classe
Maître de Conférences
Maître de Conférences INSA
Chargé de Recherche au CNRS
Chargé de Recherche au CÑRS
Chargé de Recherche au CNRS
Chargé de Recherche au CNRS
G. COMTE-BELLOT
M. SUNYACH
D. 3UVE
Ph. BLANC-BENON
Professeur Classe Exceptionnelle
Professeur IUT-Lyon
Maître de Conférences - LYON I
Chargé de Recherche au CNRS
M. BRUN
Ph. ARQUES
Professeur 2e Classe
Professeur 2e Classe
Mécanique des Solides
Technologie des Surfaces
Mécanique des Fluides
Acoustique
(Mlle)
Machines Thermiques
4
REMERCIEMENTS
Je tiens à exprimer ma reconnaissance envers tous
ines professeurs, qui au cours de mes études, m'ont prodigué
leurs enseignements. En particulier, Monsieur le Professeur
Jézéquel du Département de Mécanique des Solides et
L.
Monsieur le Professeur F. Sidoroff Directeur des Etudes
l'E.C.L. qui m'ont accueilli dans leur laboratoire. Qu'il
soit permis de les remercier, tout particulièrement, pour
confiance qu'ils m'ont accordé et pour l'initiative de
de
me
la
ce
sujet.
J'exprime ma gratitude envers Monsieur le Professeur
R. Henry de GMD Structure à l'I.N.S.A. de Lyon, Monsieur le
Professeur A. Vautrin de Ecole Supérieure des Mines à
St.Etienne, Monsieur J.C. Duforet, ingénieur du Service
Monsieur
Navales
et
Construction
Armes
Technique
de
B. Duperray, ingénieur de Métravib à Ecully d'avoir bien
voulu participer à mon jury.
Enfin, j'exprime ma reconnaissance à l'ensemble du
laboratoire
de
mécanique des solides pour leur aide et leur amitié,
en
personnel
ainsi
qu'à
ines
collègues
particulier, Monsieur P. Chamblette.
du
5
RESUME
Le but de ce travail est de proposer une méthode
permettant d'identifier les caractéristiques dynamiques
(modules de Young et de Coulomb complexes) des matériaux.
Elle est basée sur l'analyse de la réponse forcées de
poutres.
Les valeurs de l'impédance au point courant d'une
poutre (homogène ou symétriquement stratifiée) libre-libre
chargée à son centre sont mesurées. Les modules complexes
équivalents sont obtenus à chaque fréquence d'excitation en
comparant les valeurs expérimentales à celles calculées à
l'aide d'un développement limité de l'impédance exacte. En
balayant en fréquence, on obtient en continue les variations
des caractéristiques du matériau.
Pour obtenir le module de Young complexe, une seule
poutre a été utilisée dans le cadre des approximations
d 'Euler-Bernouilli.
Pour obtenir le module de Coulomb complexe lorsqu'il
a une influence non négligeable comme dans le cas de poutres
longueurs
poutres
de
on
utilise
deux
composites,
différentes.
Dans ce cas on se place dans le cadre des
approximations de Timoshenko. On utilise la poutre la plus
longue pour calculer le module de Young complexe et la plus
courte pour calculer le module de Coulomb complexe à chaque
pas de fréquence.
6
ABSTRACT
An identification method of dynamic characteristic
of material (complex Young's modulus and complex shear
modulus), based on an analysis of the response of a forced
vibrated beam, is presented.
An impedance at the mid-point of a free-free
(homogeneous or symmetric sandwich) beam is mesured. The
apparent complex moduli are obtained at each frequency of
excitation by comparing the experimental impedance with the
calculated one.
The calculated impedance is obtained by using a
development in series of the exact impedance. By verying the
frequency, the variation of the complex moduli with respect
to the frequency is obtained.
In order to identifying the complex Young's modulus,
only one Euler-Bernouilli beam is needed.
In the case of a composite beam or whenever the
secondary effects are important, the complex shear modulus
can also be identified by using two Timoshenko beams. The
first beam, the longer one, is used to determine the complex
Young's modulus. Whereas, the second beam, the shorter one,
is used to determine the complex shear modulus.
7
INTRODUCTION
matériaux composites sont de plus en plus
utilisés en construction mécanique. En effet, les matériaux
Les
composites ont des rapports raideur-masse importants qui
peuvent donc réduire la masse des structures tout en leur
permettant de conserver leurs caractéristiques mécaniques.
De
plus
il
possède
souvent
de
bonnes
propriétés
amortissantes, une meilleur durée de vie en fatigue et en
corrosion. Ainsi, les matériaux composites ont été introduit
avec succès dans les structures soumises à des excitations
dynamiques telles que les pièces de véhicule, les pièces de
machine tournante, les articles de sports, ... etc.
L'idée de diminuer les vibrations en utilisant les
matériaux composites multicouches a été introduite pour le
première fois par William Swallow [24] en 1939 dans le
"British Patent Specification". Au début des années 50, P.
Léonard
[11]
s'est
attaché
à
mesurer
le
coefficient
d'amortissement des matériaux composites à revêtement simple
(sans plaque de contrainte)
en fonction du coefficient
d'amortissement de la couche viscoélastique.
Peu après, H. Oberst [12] a proposé une méthode pour
ainsi
a
montré
que
ce
coefficient.
Il
calculer
l'amortissement total dépend du coefficient d'amortissement
du matériau viscoélastique et aussi de son épaisseur.
En
1961,
Keer
et
Lazan
[21]
ont
étudié
amortissantes
des
les
caractéristiques
analytiquement
poutres sandwiches dans le cadre des approximations de
Euler-Bernouilli. En particulier ils ont estimé l'énergie
8
dissipée par cycle dans le cas de vibrations forcées. Dès
1959, E.M. Kirwin Jr. (15] a montré que l'amortissement des
matériaux dépend aussi de la fréquence. D.J. Mead et S.
Markus (14] ont étendu le travail de Keiwin en établissant
une équation du 6ème ordre pour décrire le mouvement
couches en
en
3
d'une poutre stratifiée
transversal
négligeant la déformation transversale. Plus récemment, R.N.
Miles et P.G. Reinhall ont continué le travail de Mead et
Markus en tenant compte de la déformation transversale [25].
Pour déterminer les caractéristiques dynamiques d'un
matériau composite à partir d'essais, on peut utiliser les
méthodes suivantes:
1. Méthodes basées sur les oscillations libres d'un
Aprés
ou
système
continu.
d'un
oscillateur
simple
application de la force d'excitation, on peut déduire la
raideur et le coefficient d'amortissement du matériau à
partir des caractéristiques des vibrations amorties. Ces
procédures donnent des résultats satisfaisants dans un
matériaux
pour
des
restreint
et
domaine
fréquentiel
présentant un amortissement peu élevé. [3],[27],[36]
Méthodes basées sur l'analyse des résonances de
structures simples mettant en évidence les caractéristiques
dynamiques à identifier. Ces procédures sont applicables à
matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez
élevées mais elles donnent des caractéristiques uniquement
appareils
d'essais
résonance.
Des
zones
de
dans les
des
utilisant soit une poutre encastrée excitée en flexion soit
un pendule de torsion ont été développés respectivement par
Oberst et Perez et al. [29],[20]
Vibration forcée en-dehors de la résonance, à
l'aide de viscoélasticimètres qui mesurent directement la
9
déformation et la contrainte au cours d'essais en traction
compression à fréquence variable. [1)
des
ondes
de
de
la
propagation
Analyse
compression ou de flexion le long de barreaux. Cette
démarche est surtout adaptée aux hautes fréquences. [3],[26]
4.
Ce rapport est divisé en 7 chapitres. Les premiers
la
de
théorie
de
la
sont
des
rappels
chapitres
viscoélasticité linéaire, des modèles d'amortissement, des
méthodes
quelques
et
de
composites,
matériaux
d'identification. Les domaines d'application sont limités,
soit par la fréquence (Le domaine de validité se situe selon
les méthodes au voisinage de la fréquence de résonance ou au
contraire loin de celle-ci.), soit par le modèle d'amortissement choisi (les modèles d'amortissement compliqués
sont difficilement utilisables).
Notre but est de trouver une méthode d'identif ication, à l'aide d'essais simples, qui soit valable pour un
domaine fréquentiel assez large. Ainsi, nous avons été
amenés à étudier dans le cadre des approximations de EulerBernouilli et de Timoshenko les impédances exactes de
module
de
du
L'introduction
viscoélastiques.
poutres
cisaillement étant particulièrement important dans le cas
apparaître
des
font
composites
qui
matériaux
des
déplacements non négligeables induits par l'effet tranchant.
La poutre libre-libre excitée en son centre a été
de
l'impédance
mesure
réaliser
le
choisie
pour
(force/accélération) car les conditions aux limites sont
d'effet
pas
n'introduissent
et
plus
réalistes
d ' amortissement supplémentaire.
lo
A partir des valeurs de l'impédance
de
développement
limité
l'expression
l'impédance,
on
peut
déterminer
les
dynamiques (modules de Young et de Coulomb
poutre homogène ou composite symétriquement
mesurées et d'un
analytique
de
caractéristiques
complexes) d'une
stratifiée.
à un balayage en fréquence, on obtient en
continue les variations des caractéristiques du matériau.
Grace
Cette méthode est présentée dans le chapitre V. Une fois les
modules complexes identifiés, on peut procéder à un lissage
par
moindres
carrés
pour
déterminer
modèle
un
d' amortissement approprié.
Le chapitre .VI décrit la méthode expérimentale et
plus
particulièrement
les
erreurs
dû
à
l'impédance
du
capteur et à la géométrie de la poutre en accord avec les
études
de
sensibilité
sur
les
courbes
souplesse
dynamiques effectuées par W.Ziolkowski et A.Sliwinski [37].
de
Le chapitre VII présente un exemple d'application
qui a permi de valider les procédures qui sont présentés
dans ce mémoire.
11
I. VISCOELASTICITE
1.1 ASPECT PHENOMENOLOGIQUE
Dans la théorie classique de l'élasticité on admet
que les relations entre l'état de déformation et celui de
contrainte sont linéaires et ne dépendent pas du temps.
L'hypothèse des petits déplacements permet d'appliquer le
principe de superposition des charges et des déformations.
Il est cependant connu qu'un certain nombre de corps
n'obéissent pas aux hypothèses de la théorie de l'élasticité
linéaire et que dans les équations de comportement interle temps.
vient un nouveau facteur
:
Les
expériences
faites
sur
différents
matériaux
montrent que, lorsque ceux-ci sont sollicités et maintenus
sous charge, les déformations qui en résultent croissent
avc le temps.
Essai de f luage: En traction ou compression simple,
impose une contrainte constante et on observe la
on
déformation en fonction du temps.
12
a (t)
4
C
B
00
E
rsidu.11.
t
T
(a)
o
T
(C)
(b)
Fig. 1.1.1
(a) la charge
(b) la déformation de type fluide
(C) la déformation de type solide
L'application de la contrainte s'accompagne d'une
déformation élastique instantanée OA, puis la déformation se
poursuit AB, puise se stabilise BC, soit vers une constante,
soit vers un
déformation
contrainte,
parties:
état
de
constante.
alors
la
f luage
Si
stationnaire
instante
à
déformation
se
T
à vitesse de
on
relâche
décompose
en
la
trois
- une déformation instantanée BD (recouvrance
instantanée)
- une déformation obtenue progressivement (recouvránce différée)
- une déformation résiduelle
cette dernière pouvant disparaître pour un matériau
de typé solide.
Essai de relaxation:
déformation
nécessaire.
constante
et
Il
consiste à
à
observer
appliquer une
la
contrainte
13
¿(t)
A
c(t)
a (t)
0
t
o
t
o
t
(a)
fig. 1.1.2
(a) la déformation appliquée
(b) le comportement de type fluide
(C) le comportement de type solide
type de comportement dépendent du temps est
"viscoplastique" ou "viscoélastique", selon qu'il
Ce
appelé
existe ou non un seuil de contrainte en dessous du quel le
comportement peut être considéré comme élastique.
14
1.2 THEORIE DE LA VISCOELASTICITE LINEAIRE
1.2.1
OPERATEURS INTEGRAUX
Dans le cas viscoélastique linéaire
(avec l'hypothèse de petites perturbations), la relation entre la
contrainte
et
la
déformation
peut
être
représentée
formellement par la fonctionnelle linéaire de la forme
suivante:
co
a(t) =
P ((t-s),(t))
(1.2.1)
s=O
En utilisant le théorème de représentation de Reisz,
cette loi de comportenent pour un matériau viscoélastique
linéaire non-vieillissant s'écrit sous la forme:
co
a(t) =
e(t-s)dE(s)
(1.2.2)
Jo
=
où
*
dE
dénote la convolution de Stieltjes.
Si e(t)
dérivée
*
par
= O pour t <
rapport
aux
O et si E(t)
temps
sont
et sa première
continues
l'intervalle Ot, l'expression (1.2.2) s'écrit encore:
dans
15
t
f
a(t) = E(0)e(t) +
d
e(t-s)--- E(s)ds
ds
I
J
(1.2.3)
o
En posant T = t-s et en utilisant l'intégration par
partie, on peut écrire l'expression (1.2.3) sous la forme
t
f
a(t) =
d
E(t-T) (T)dT
I
(1.2.4)
dT
J
o
-
E(t) est appelé la fonction de relaxation (la limite
inférieur d'intégration O peut être remplacer par
tant
que 6 (t) ---> O pour t---> -).
où
On peut interpréter aussi que l'expression
(1.2.4)
vient du principe de superposition de Boltzìnan.'
Par le même raisonnement, la forme alternative des
lois de comportement s'écrit:
t
(t) =
d
J(t-T)--- a(T)dT
dT
f
J
(1.2.5)
O
où
J(t) est la fonction de fluage.
1. Principe de Boltzman: La superposition de plusieurs actions produit
sur le matériau des effets additifs des déformations.
1.2.2 OPERATEURS DIFFERENTIELS
d'une
On peut écrire la loi de comportement sous la forme
linéaire
d'un
ordre
équation
différentielle
arbitraire:
(1.2.6)
A[cr(t)] = B[e(t)]
où
A et B sont des opérateurs différentiels
A = E arDr
r
B = E brDr
r
dr
Dr = dtr
et
ar et br sont des constantes caractéristiques des
matériaux.
Considérons les modèles de la fig.
1.2.1,
on peut
écrire:
(a) modèle de comportement élastique:
a = E
où les constantes a0 et b0 sont définies, les autres sont
égales à zéros.
17
(b) modèle de comportement visqueux:
a = c0dt
où les constantes a0 et b1 sont définies, les autres sont
égales à zéros.
(C) modèle de Kelvin-Voigt:
d
C = (E0 + c0)
dt
où les constantes a0, b0 et b1 sont définies, les autres
sont égales à zéros.
(cl) modèle de Zener:
d
d
(E1 + c1)a = [E0E1 + (E0 +
dt
dt
où les constantes a0, a1, b0 et b1 sont définies, les autres
sont égales à zéros.
E0
co
(a)
(b)
E0
E0
(c)
(d)
E1
co
Fig. 1.2.1
18
1.2.3 MODULES COMPLEXES
Dans le cas de la sollicitation harmonique station-
naire d'un matériau linéaire,
la réponse prend la même
fréquence que celle de la sollicitation:
ã=aeJwt
=
et
La loi de comportement est traduit par le module
complexe E* (w):
a
-
= E *1 w) = E1(w)+jE2(w)
(1.2.7)
On définit le coefficient d'amortissement r
= E2/E1
= tan(ç), rp est l'angle de déphasage
et
la complaisance complexe J*(w),
complexe E*(w):
inverse du module
- = J *,
tw) = J1(w) - jJ2(w)
(1.2.8)
a
Dans ce cas,
l'expression
(1.2.6)
peut prendre la
forme:
(a0 + (jw)a1 + (jw)2a2 + ... + (jw)rar + ...)a
= (b0 + (jw)b1 + (jw)2b2 + ... + (jw)rb
+ ...)6 (1.2.9)
19
1.2.4 MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES
La forme générale s'écrit:
M
am
a(t) + E amDm [a(t)]
m=l
avec:
=
b0(t) +
N
ßn
E bnDn [e(t))
n=1
(1.2.10)
l'opérateur dérivatif DOE définit par:
t
1
d
x(T)
Da[x(t)] =
(l -a) dt
dT
0<a<l
a
I
(t - T)
J
o
(1.2.11)
Sa transformée de Laplace s'écrit:
L[DOE[x(t)]] =
(S)OE L[x(t)]
(1.2.12)
De même, sa transformée de Fourier s'écrit:
= (jw)OE P[x(t)]
(1.2.13)
En prenant la transformée de fourier,
l'expression
(1.2.10) devient:
M
am
a*(jw) + E a(jw) a (Jw)
m=1
N
b06*(jw) +
E b(jw) *(jw)
n=l
(1.2.14)
20
1.3 INTEGRATION DES MODELES AU NIVEAU STRUCTURAL
Une structure mécanique à comportement linéaire peut
être approchée par un modèle discret à N degrés de liberté
à
associée
des
matrices
de
masse
de
raideur
et
d' amortissement.
Les équations de mouvement peuvent en transformée de
Laplace être écrites sous la forme matricielle suivante:
+ [D(s)] + [K)]
[
]
(U(s))
=
(F(s))
(1.3.1)
avec:
[M] = matrice de masse (N,N)
[K] = matrice de raideur (N,N)
[D(s)] = matrice d'amortissement (N,N)
(U(s)) = vecteur de déplacement (N,1)
(F(s)) = vecteur de force (N, 1)
1.3.1 STRUCTURE AVEC AMORTISSEMENT HYSTERETIQUE
L'amortissement
structural
entre
particulier de modèle d'amortissement.
Le
système
correspondant
s'écrit
dans
(en
ce
cas
régime
harmonique) sous la forme
[
[K + jH) - ()2[M)
]
(U(w))
=
{F(w))
(1.3.2)
21
L'équation homogène associée à ce système admet N
valeurs propres complexes (A)2 auxquelles correspondent N
vecteurs propres complexes (} satisfaisant l'équation:
[K + jH] - (A)2[M]
]
=
{'}
(1.3.3)
0
Les vecteurs propres {) vérifient les relations
d' orthogonalité suivante:
{n)T[M]{r} = mn&nr
{)T[K
+ jH]{r) = (k
(1.3.4)
(1.3.5)
+
où
mn, k et hn désignent respectivement la masse, la
rigidité et l'amortissement généralisé.
Prélnultiplions l'équation (1.3.3) par
{)T[K + jH]{)
(À)2{)T[M]{)
=
0
(1.3.6)
En tenant compte de (1.3.4) et (1.3.5) dans (1.3.6)
nous avons:
= (k
w
+jh)/nì
= (n)2(l +
(1.3.7)
le coefficient d'amor-
est la pulsation propre,
tissement modal.
Les vecteurs propres {) sont définis à une conmultiplicatrice
normaliser par:
stante
près,
,n) =
nous
pouvons
donc
les
22
(1.3.3)
solutions de
L'ensemble des
représenté à l'aide des deux matrices suivantes:
"
peut
être
] = matrice diagonale des valeurs propres
(A)
[
,{"),
= matrice modale
[']=[(l)'
Les relations
(1.3.4)
et
(1.3.5)
permettent alors
d' écrire:
= [I]
[I]T[K
La
solution
+ jH][If] = [(A)2]
de
l'équation
(1.3.2)
en
vibrations
forcées peut être exprimée comme une combinaison linéaire
des N vecteurs modaux
N
(U) =
(1.3.10)
E
n=l
Les q
sont appelés les coordonnées principales ou
modales.
et prémultiplions
{w)T. En utilisant les relations d'orthogonalité
par
(1.3.8) et (1.3.9) nous obtenons pour la nième composante:
Remplaçons
(1.3.10)
dans
{ '1'n
(1.3.2)
T F)
(1.3.11)
(Wa) 2 (1 +
'7n)
()2
23
et l'équation (1.3.10) devient:
N
{U},=
{W)T(F)()
(1.3.12)
E
nl (w)2(1 + jt7) - ()2
1.3.2 STRUCTURES AVEC AMORTISSEMENT VISQUEUX
Dans ce cas, les équations de mouvement s'écrit:
[M]{ü(t)) + [C){i(t)) + [K]{u(t))
=
(f(t))
(1.3.13)
Lorsque la matrice [C] est quelconque, les équations
de mouvement ne sont pas découplées par les modes propres du
système conservatif associé (la matrice d'amortissement
modal n'est pas diagonale). Pour ramener le problème à un
problème de valeurs propres standard, on adjoint au système
(1.3.13) l'identité matricielle suivante:
[N]{û(t)) - [M]{û(t))
=
0
(1.3.14)
Nous formons un nouveau système:
([Ñ]{ii(t))) + [R]{ii(t)}
=
{(t))
(1.3.15)
dt
avec:
[0]
[M]
[M] =
(2N, 2N)
[M]
[C]
24
-[M]
[O]
[O]
[K]
[K] =
(2N, 2N)
(0)
{(t)) =
(2N, 1)
{f(t))
{û(t))
{u(t)) =
(2N, 1)
{u(t))
homogène associé à (1.3.15) admet 2N
(n = 1, 2, ..., 2N) auxquelles
valeurs propres complexes
correspondent à 2N vecteurs propres {n) de 2N composantes
complexes chacun et vérifiant l'équation suivante:
Le
système
[n[Ñ] + [R]] () =
matrices
et
[Ñ]
les
propriétés
construction,
Les
[R]
(1.3.16)
0
étant
symétriques
d'orthogonalité
par
permettent
d' écrire:
{n)T[Ñ](r) =
n6nr
{n)T[R]{r) =
n6nr
Prémultiplions l'équation (1.3.16) par
+ (n)T[R]{n)
=
0
(1.3.19)
25
En tenant
nous avons:
propriétés
des
compte
d'orthogonalité,
= -jn/iimn
Si nous posons
{(t)) = {)eJwt
La solution particulière du système
(1.3.15)
peut
donc s'écrire sous la forme:
{ii(t)) = {U)eJ)t
=
2N
E
(}qeJWt
(1.3.20)
n= 1
En remplaçant (1.3.20) dans
pliant par (}T, nous obtenons:
2N
{}T[) 2NE
jW{}TEÑ) E (n)qn +
et en multi-
{n)qn
n=l
n=1
{n}T{)
=
D'après
(1.3.15)
(1.3.17)
et
(1.3.18),
(1.3.21)
nous avons pour
la
nième composante de (1.3.21):
inqn +
= {n}T{P)
(1.3.22)
Nous pouvons écrire:
q-
{n)T{)
(1.3.23)
26
Remplaçons
obtenir:
qn
2N
{U)=
par sa valeur dans (1.3.20) pour
(n)T{P){n)
(1.3.24)
E
n=l
mn(jw - An)
Pour un système résonant, les pôles 5 sont conjugués
par paire, les vecteurs propres sont aussi conjugués deux à
deux.
27
1.3.3 STRUCTURES AVEC MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES
peut écrire les équations
transformée de Laplace) sous la forme:
On
[s2[M] + [K(s)]] {U(s)}
avec:
=
de
mouvement
{F(s))
(en
(1.3.25)
la matrice de raideur [K(s)] en fonction du paramètre
de Laplace s.
Pour découpler ces équations, on utilise la même
technique que pour l'amortissement visqueux. C'est-à-dire
que l'on cherche à écrire les équations de mouvement sous la
forme de deux matrices carrées, réelles et symétriques afin
assurant
le
d'orthogonalité
conditions
d'obtenir
les
découplage des équations.
Considérons le cas de la structure
matériaux élastiques et viscoélastiques:
composée
de
En transformée de Laplace, on peut écrire la matrice
de raidéur des matériaux viscoélastiques, en utilisant le
principe de la correspondance élastique-viscoélastique, sous
la forme:
[KV] = A*[K] +
¡.*[Kfl]
(1.3.26)
Dans l'expression (1.3.26), les constantes de Lamé
et p sont substituées par les modules viscoélastiques A*(s)
et
p*()
28
Si l'on considère seulement le cisaillement dans les
matériaux viscoélastiques, l'expression (1.3.26) se reduit
a:
[KV] = ,*[KII]
(1.3.27)
En utilisant le modèle de derivées fractionnaires à
5 paramètres pour le module j, (1.3.27) s'écrit sous la
forme:
E0 + E1sa
[KV] -
[K"]
(1.3.28)
i + bsß
peut construire la matrice [K(s)] du
problème à l'aide des deux matrices de raideurs élastique et
Ainsi,
on
viscoélastique. En multipliant par le dénominateur (l+bsß),
les équations de mouvement s'écrivent:
[s(2ß)b[M] + s2[M] + saE1[K1] + sßb[K2] + [K3]] (U(s))
=
(1 + bsß)(F(s))
(1.3.29)
En suite, on cherche le plus petit dénominateur
commun d des fractions a et ß. L'équation (1.3.29) s'écrit
encore:
I
E [A]{sh/dU(s))
i=O
avec:
I = d(2 + ß)
=
(1 + bsß) (F(s))
(1.3.30)
29
Pour obtenir les conditions d'orthogonalité et découpler les équations de mouvement, on pose les équations de
mouvement sous la forme suivante:
[sh/d[Ñ] +
[R]] (U(s))
(i(s))
=
(1.3.31)
avec:
[A1]
[O]
[O]
[O]
.
[O]
[O]
; [Ai]
[O]
[Ai]
.
[A3]
[A2]
[Ai]
[Ai_1]
:
[A2]
[A1]
[O]
[O]
.
[O]
[O]
[O]
.
-[A1]
[O]
[O]
:
[Ai_1]
[M] =
[K] =
-[A1] -[Ai_i]
[O]
[O]
s(i-1)/d{u(s))
s(i-2)/d{u(s))
(U(s)) =
1'du($)
}
1{U(s))
-[A1]
[O]
-[A....1]
[O]
-[A1_1] -[Ai_2] [O]
.
-[A3]
-[A2]
.
[O]
[O]
[O]
[A0]
30
(0)
(0)
(F(s)) =
(0)
(1+bsß) (F(s))
Les matrices
et
[Ñ]
[R]
sont réelles,
carrées et
symétriques.
Le système homogène associé à (1.3.31) s'écrit:
+ [R](rt) = 0
(1.3.32)
Les propriétés d'orthogonalité permettent d'écrire:
(n)T[Ñ]{r) =
n6nr
(1.3.33)
(n)T[R]{r) =
n6nr
(1.3.34)
Procédons la même façon que dans le cas d'amortissement visqueux, on obtient:
{U) =
N
E
()T(){)
n=]. iii(sh/d -
avec:
N = l'ordre des matrices [Ñ] et [R).
(1.3.35)
31
II.THEORIE DES POUTRES
11.1 LA MODELISATION DES POUTRE HOMOGENES EN FLEXION
On va utiliser le Principe de Hamilton pour écrire.
l'équation du mouvement transversal harmonique d'une poutre
homogène dans la fig. 11.1.1
T
h
£
Fig. 11.1.1
32
Le champ de déplacement choisi est:
U1 = _x3Ø(x1)eJct
U2=o
U3 = W(x1)eJct
On construit
fonctionnelle
la
choisit les fonctions inconnues
stationnaire cette fonctionnelle.
Ø
de
et
Hamilton et on
W qui rendent
Energie cinétique:
T =
li
pw2[(U1)2 +(U2)2 + (U3)2]dv
-
2J
V
soit:
T =
i
lr
-
r
I
{(x3)22 + W2)dS]dx1
I
2J
J
s
o
1
f
1
=
-
+ C2t2]dx1
,2
2
(11.1.1)
J
o
avec:
C1
pdS
I'
=pA
pbh
s
bh3
C2 =
f
p(x3)2dS
= p12
s
= p'
33
Energie de déformation:
'r
=-
V
(a1111 + 02222 +
I
a33e33 + 2a1212
2J
V
+ 2a13e13 + 2a23e23)dv
On se place dans le cas de matériaux élastiques isotropes. La loi de comportement s'écrit:
ajj =
kk6ij + 2Ljj
On suppose que a22 et a33 peuvent être négligées
devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses
et le champ de déplacements choisi, l'énergie de déformation
s 'écrit:
V
ir
=-
(a1111 + 2a13e13)dv
I
2J
V
ir
=-
1
r
[
I
2J
o
if
=-
{E(x3)2(q')2 + kG(-q + W')2)dS]dx1
I
J
s
i
[C3(Ø')
I
+ C4(-
+ W')2]dx1
2J
o
avec:
bh3
C3 =
I
(x3)2EdS
=E12
s
=EI
(11.1.2)
34
C4=
=GA
=Gbh
GdS
J
s
E = module de Young
G = module de Coulomb
Fonctionnelle de Hamilton:
HT-V
1
i
=-
f
[C1W2 +
I
2
J
o
i
'r
- - [C(q')
+ C4(-
I
+ W')2]dx1
(11.1.3)
2J
o
Les fonctions
et W qui permettent de répresenter
les modes de flexion doivent être telles que:
C2w2
+ C3" + C4(-
+ W') = 0
(11.1.4)
8H
o
aq
0
=
:'&I
=
o
1
et
C1w2W + C4(-,' + W") = 0
3H
(11.1.5)
=0
3W
(-Ø + W')SWI
=
o
(- 0' +
W')ÔWI
i
=
O
35
On obtient ainsi un système de deux équations à deux
inconnus Ø et W avec les conditions aux limites associées.
La modélisation d'Euler-Bernouilli:
Les effects secondaires (les effets dûs au cisaillement
et
les
effets
dûs
l'inertie de rotation) sont
et
les deux équations (11.1.4)
à
découplant
(11.1.5), on obtient l'équation de mouvement:
négligés.
En
c1
d4
w
w
-
dx4
=
(11.1.6)
0
C3
avec:
C1 = pA
C3 = EI
La modélisation de Timoshenko:
Les
effets
secondaires
sont
pris
en
compte,
en
combinant les équations (11.1.4) et (11.1.5), l'équation de
mouvement s 'écrit:
d4
C1
C2d2
w+2- +--- w+w2 CíC2 w2-1w=o
dx4
(c4
C3Jdx2
c3(c4
J
(II. 1.7)
avec:
C1 = pA
C2 = pI
C3 = EI
C4 = kGA
1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillement
la section droite nécessite l'introduction du coefficient du
cisaillement k.
sur
36
11.2 IMPEDANCE AU POINT COURANT D'UNE POUTRE LIBRE-LIBRE
La
fig.
11.2.1
représente une poutre
excité par la force sinusoïdale
dtune extrémité.
libre-libre
'o = F0ei)t à la distance ja
gia
a
I-
F0
Fig. 11.2.1
L'impédance au point courant est défini par
Force
-
(11.2.1)
accélération
d ! où:
F0
z /.L -
w2W0
où:
le déplacement transversal à ltorigine
Ño = W0eWt
37
11.2.1 IMPEDMCE DE LA POUTRE D'EULER-BER1OUILLI
Reprenons
l'équation
déplacement
de
transversal
d'une poutre Euler-Bernouilli:
(*) 4.w
- Ñ
(11.2.2)
ax4
d' où:
(n
)
-
E*r2
On peut écrire (11.2.2) sous la forme:
d4
- W(x) - (n
)
W(x) = O
(11.2.3)
dx4
La solution de (11.2.3) est alors
W(x) =
+ c*e_n )C + d*enx)
+
(
A partir
de
(11.2.4),
on
peut
écrire
(11.2.4)
aussi
la
solution Ñ sous la forme:
Ñ = (p*cosh(fl*x) + Q*cos(n*x) + R*sinh(n*x)
+ S*sin(n*x))ejwt
P, Q*
(II. 2 . 5)
R*, et S comme a*, b*, c* et d* peuvent
être déterminer par les conditions aux limites.
OÙ
38
Par la suite, on notera Ñ par l'expression
Ñ = (p*ch
+
Q*c
+ R*Sh. + S*S.)n*x eJwt
(11.2.6)
On peut écrire aussi que:
Q*5
Ñ = fl*(p*sh
+ R*ch. + S*c.) *
nx
ax
-
(*
2
(P ch
Q
c
+ R * sh
S* s
)
*
+ Q* s
+ R * ch
S* c
)
*
*
eJt
3x2
-
Ñ
(*
3
(P sh
ax3
(11.2.7)
*
jwt
e
(11.2.8)
*
jwt
e
(11.2.9)
nx
flX
Pour determiner les constantes p, Q*, R* et S, on
utilise les quatres conditions aux limites.
Considérons la partie droite de 'la poutre dans la
f ig.II.2.l ,en prenant le point d'application de la charge
pour origine des x.
La première condition aux limites correspond à
la
nullité du moment Ñ à l'extrémité:
a2
=
Ñ
_E*I(_
Ñ)
=
0
(11.2.10)
ax2
x=/La
On écrit, par ailleurs, que l'effort tranchant
l'extrémité est nul.
à
39
a3
_E*I(_
=
=
Ñ)
(11.2.11)
0
3x3
x=/.La
La somme des efforts tranchants de la partie droite
FOD et de la partie gauche FOG est égale à la force
appliquée 'o
(11.2.12)
FOD + FOG =
Enfin, au point de la charge appliquée, le déplacement est égale à Ño.
En
utilisant
quatre
ces
conditions
aux
limites,
(11.2.7), (11.2.8) et (11.2.9), on obtient alors:
S*S.)jn*a
(p*ch
-
Q*c
+ R*sh.
-
(p*sh
+ Q*s
+ R*ch.
- S*c.)n*a = O
= O
_E*I(R* - S*) = F0
(p* + Q*)
Q*
p*
LDP
= WO
On peut donc trouver les quatre constantes complexes
R* et S sous les formes:
= W0(sh.s. + ch.c. - l)n*a + çoQ(sh.c. - ch.s.),n*a
(11.2. 17)
DQ* = W0(sh.s. + ch.c. + l)pn*a -
OD(sh.c. - ch.s.),n*a
(11.2.18)
40
oD(sh.s. - ch.c. -
DR* = -W0(sh.c. + ch.s.),1n*a +
(11.2.19)
DS* =
W0(sh.c. + ch.s.),n*a + OD('
+ ch.c. + l)n*a
(11.2.20)
Le detérminant est donc D = 2(sh)jLn*a
-FOD
OD =
(indice D dénote la partie droite de la poutre)
De même, on peut trouver les quatre constantes comet D* de la partie gauche de la poutre
plexes A*, B*, C
sous les formes:
GA* = W0(sh.s. + ch.c. - ])n*a + çoQG(sh.c. - ch.s.)n*a
(11.2.21)
= W0(sh.s. - ch.c. +
)n*a -
oG(5h
ch.s.)n*a
(11.2.22)
GC* = -W0(sh.c. + ch.s.)n*a + çoQ(sh.s. - ch.c. (11.2.23)
GS
= -W0(sh.c. + Ch.s.)n*a -
OG(
+ ch.c. + l)n*a
(11.2.24)
d'où
= 2(sh.s.)n*a
-FOG
POG
E * I(n * )3
41
Pour déterminer w0, on impose la continuité à l'origine de la pente (FOG = - ROD) et du moment fléchissant (ÑOD
= MOG)
OG =
OD avec l'expression (11.2.7) nois donne:
+ s*) = (C* + D*)
d'où:
[OD(sh.s.)(ch.c. + 1)
+ 4OG(sh.s.)(ch.c. + l)]n*a
= -W0 [(sh.s.)(sh.c. + ch.s.)
+ (sh.s.)(sh.c. + Ch.5.)]n*a
(11.2.25)
= MOD avec l'expression (11.2.8) nous donne:
(p*
(A* - B*)
Q*)
d'où:
[OD(sh.s.)(sh.c. - ch.s.)
= -W0 [(sh.s.)(ch.c. - l)
-OG(sh.s.)(sh.c. - ch.s.)]n*a
- (sh.s.)2(Ch.c. - l)]n*a
(11.2.26)
On
resoud
(11.2.25)
et
l'expression de W0 sous la forme:
(11.2.26)
pour
obtenir
42
-2WONE
= P0D + "0G =
DE
=
-FOD
FOG
E*I(n*a)3
E*I(n*a)3
-
-F0
E*I(n*a)3
(11.2.27)
d' où:
NE =
{
(sh.c.)(sh.c.)
+ (ch.c.)(ch.c.)
- (sh.s.)(sh.s.)1 - (ch.s.)(ch.s.)
]n*a
et
DE =
[
(ch.c. + 1)(sh.c. - ch.s.)
+ (ch.c. + l)(sh.C. - ch.s.)
Jn*a
En introduisant 1'inpédance nor1Ta1isée Z/.L/Mb (où: Mb
la masse de la poutre), l'expression d'impédance
est
(11.2.1) s'écrit:
Z,.L
F0
Mb
W2MbWO
2NE
(1 +bL)(n*a)DE
(11.2.28)
obtenir l'impédance au centre de la poutre
ZO/Mb, on prend p. égale à l'unité. Il vient:
Pour
43
Z0
i
sh.c. + ch.s.
Mb
(n*a)
ch.c. + i
(11.2.29)
Les
fig.II.2.2
n*a
montrent les
variations du module de l'impédance normalisée IZO/MbI et la
(a)
et
11.2.2
(b)
phase en fonction du coefficient d'amortissement dans le
cadre de l'approximation d'Euler.
44
Fig. 11.2.2
(a)
Impédance d'une
poutre d'Euler
E*E(1+ Jri)
Fig, 11.2.2 (b)
Phase de
dance
L
.25
IMPEDANCE
I.impe-
.1
oI
-50
:,
o
o)
I
J.
-100i
-150
o
i
4
3
na
5
b
7
45
11.2.2 IMPEDANCE DE LA POUTRE DE TIMOSHENKO
Reprenons
l'équation
d'une poutre de Timoshenko:
-
Ñ+
(n
*
)
r
1E
i-+ik-Ñ + (*) 4{(fl* ) 44ii
r
kG
ax4
déplacement
de
Jax2
kG
transversal
Ñ =
o
J
(11.2.30)
(n*)4 =
où:
E*r2
En introduisant les paramètres adiinensionnels a,
et À
,
- W +
ß
(11.2.30) s'écrit:
(n*a)
4
a
(a + ß)- W + (nia)
*4
[(n a) aß - l]W
=
O
8À2
(11.2.31)
déformation exacte
ligne moyenne
déformation supposée
section droite
Fig. 11.2.4
46
d 'où:
a-
i rE
k a2G*
r2
a2
X
-
a
Lt équation caractéristique devient:
X4
+
(n*a)4(a+ß)x2 + (n*a)4[(n*a)4aßl]
=
o
(11.2.32)
Son discriTninant t=[(n*a)4(a+ß)J2_4(n*a)4[(n*a)4aß_1]
est positif.
Les racines (X1)2 et (X2)2 sont réelles.
Leur somme (X1)2+(X2)2 = _(n*a)4(a+ß) est négative.
Leur produit (X1)2(X2)2 = (n*a)4[(n*a)4aß_1] change
de signe au passage de la valeur (wf)2 = E*/paa2.
Il y a deux familles de solutions possibles:
Première famille:
()2
<
()2
On a alors: (X1)2 > O
,
(X2)2 < O
47
On pose: (e*a)2 = (X1)2 > O
(O*a)2 = -(X2)2 > O
La solution de l'équation différentielle est alors:
Ñ = [p*sin(o*a)À+Q*cos(e*a))+R*sinh(e*a)À+S*cosh(e*a)A] eJwt
(11.2.33)
avec:
2(O*a)2 = (n*a)4(a
+ /3)
+ [(n*a)B(a - /3)2 + 4(n*a)4]½
(11.2.34)
2(*a)2 = _(fl*a)4(a
+ [(n*a)B(a
+ /3)
¡3)2 + 4(n*a)4]½
(11.2.35)
Les
P*,Q*,R*,
constantes
et
S
dépendent
des
conditions aux limites.
Deuxième famille:
(w)2 >
On a alors: (X1)2 < O
,
On pose: (e*a)2 = -(X1)2
(X2)2 < O
(9*)2 = -(X2)2
La solution de l'équation différentielle est alors:
Ñ=
[p*5jfl(9*a)À+Q*co5(9*a)À+R*sjfl(e*a)À+S*co5(e*a))] eJwt
(11.2.36)
avec:
2(O*a)2 = (n*a)4(a
+ /3)
-
[(fl*a)B(a -
/3)2
+ 4(n*a)4]½
(11.2.37)
2(*a)2 = (n*a)4(a +
f3)
+ [(n*a)B(a -
/3)2
+ 4(n*a)4]½
(11.2.38)
48
P*,Q*,R*,
constantes
conditions aux limites.
Les
solution
La
du
et
dépendent
S'
déplacement
transversal
de
des
la
deuxième famille est valable dans le domaine fréquentiel
trop important. Ainsi, la solution de la premiière famille
seule
(11.2.33)
est
utilisée
pour
le' développement
de
l'expression de l'impédance.
On peut écrire alors:
B
BA
Ñ
=
(o*a)[p*c(o*a)À_Q*s(9*a)À]
(
+ (e*a)[R*ch.(*a)A+S*sh.(*a)A1
-
Ñ
=
{
eJ
)
(11.2.39)
(O*a)2[_P*s.(e*a)A_Q*c.(O*a)A]
BA2
+ (e*a)2[R*sh.(e*a)A+S*ch.(e*a)A]
-
w
=
{
)
eJ'
(11.2.40)
)
eJ'
(11.2.41)
(9*a)3[p*c(e*a)A+Q*s(o*a)A]
ax3
+ (*a)3[R*ch.(e*a)A+S*sh.(E*a)A]
(b)
la rotation totale:
1BÑ
A) = - a BA
(11.2.42)
49
(c) la rotation
(À) due au moment fléchissant:
a3
pa[l - (n*a)4a13)
= a
a
Ñ + [a2(n*a)4 + 1) Ñ
8A
(A*
ç2*)
e
jt
(11.2.43)
a(O*a) (*a)
d'où:
A
*
-
x*(un* a){R*ch.(*a)A
* a)[P*c.(8*a))L
*
= y
¿L
+ s*sh.(e*a)À]
-
Q*s(o*a)À]
(
= [(n*a)4a + (E*a)2]
*
= [(n*a)4a - (G*a)2]
(d) le moment flèchissant, Ñ(A):
Ñ(x)
E*I I a2
-
a2
(
+ a(n*a)4Ñ
8À2
*[p*5
-
(9*a)À + Q*c. (O*a)À]
a2
+ x * [R* sh.(e* a)\
+ S *ch.( * a)À]
I
Jwt
e
(11.2.44)
50
(e) l'effort tranchant:
E*I(n*a)4 I
(*a)[P*c (9*a)A
-
Q*
(O*a)À]
a3(e*a) (O*a)f
+ (O*a)[R*ch.(e*a)À + S*sh.(*a)À]
e
jwt
Q*
Pour déterminer les constantes p,
(11.2.45)
R*
et
S
et D*), on prend les mêmes quatre conditions
(ou A*,.B*, C
aux limites que celles de la poutre de Euler-Bernouilli:
Le moment flechissant à l'extrémité = O
Ñ)
E*I I
-.
.
*[P*s(e*a)JJ. + Q*c.(o*a)1Lt]
a2
+ x*CR*sh.(e*a)Ii + S*ch.(*a)jL]
I
e
jct
= O
(11.2.46)
L'effort tranchant à l'extrémité = O
E*I (n*a)
_(*a) [P*c (O*a)
=
-
Q*s(o*a)]
a3(o*a)(e*a) {
jwt
i
+
(e*a)[R*ch.(e*a),.L + S*sh.(e*a)/.LJ
e
= O
(11.2.47)
l'effort tranchant de la partie
droite, POD' et de la partie gauche, 'OG' est égale à la
3.
La
somme
force appliquée,
o
de
51
F0
= FOG+FOD
ÀO
E*I(n*a)4
(
a3(g*a) (E*a)
jwt
+ (O*a)R*
-
FOD -
e
(11.2.48)
J
{
FODa3 (O*a) (*a)
rPOD
=
E*I (n*a)
= - (e*a)P* +
4.
(0*a)R*
(11.2.49)
Le déplacement est égale à Ño au point de la
charge appliquée
Ñ
Ñ0
w0
(Q* +
Q* +
(11.2.50)
En utilisant les quatre conditions aux limites, on
peut écrire:
p*,*5
(e*aI.L)
+ Q*j1*c. (O*a/i)
+ R*x*sh.(e*a,1) + S*x*ch.(*a/.L)
= 0
(11.2.51).
p*(*a)c (9*ali) + Q*(e*a)s. (o*aI.L)
+ R*(O*a)ch.(*abL) + S*(9*a)sh.(*a/.L)
_p*(e*a) + R*(8*a)
Q* +
=
P0D
=
W0
= 0
(11.2.52)
(11.2.53)
(11.2.54)
52
On obtient les quatre constantes complexes sous la
formes:
=
(*(O*a)c(o*al.L)ch(e*aI.)
+ x*[_(O*a)_(e*a)s.(O*a1L)sh.(*aP)])
OD
{*(e*a)2sh(e*a!)c(O*aM)
+ wo
- x*(9*a)(e*a)s.(O*aIL)ch.(e*abL))
DQ* =
(11.2.55)
{_v*(O*a)s(9*a/2)ch(*a/.L)
- x*(e*a)c.(o*aM)sh.(*aM))
OD
{_v*(O*a52s(O*aJ)sh(e*ap)
+ W0
+ x*(8*a)(*a)[l - c.(9*aIt)ch.(*aJ.L)]) (11.2.56)
DR* = v'OD
{*c(e*a) - (O*a)s.(O*aj)sh.(*a/)]
- x*(e*a)c. (9*)h (*aI.L))
+ W0
- x*(8*a)2s. (O*a/t)ch. (e*a,i))
DS* = Ç°OD
(11.2.57)
+ x*(*a)c. (O*aj)sh. (e*aI)
+ W0
(*(O*a)(*a)[l - c.(O*a/2)ch.(*a,t)]
+ x*(*a)2s.(O*a,.L)sh.(e*a,))
(11.2.58)
d' où:
+ x*)(O*a)(*a)[l - c.(O*al.h)ch.(e*a,L)]
+ s.(O*a,L)sh.(e*aL)[_v*(O*a)2 + X*(e*a)2]
(11.2.59)
De même, pour la partie gauche de la poutre, on peut
trouver les constantes complexes A*, B*, C et D* en
remplaçant D' POD' p*1 Q* R* et S dans les équations
53
(11.2.55) - (11.2.59) par
prenant i par 1.
OG'
G'
B*, C
A*
et D*
et en
Considérons la continuité à L'origine (À = O):
La continuité de la rotation
(11.2.60)
tPOG = - POD
La continuité du moment flechissant
(11.2.61)
MOG = - MOD
d'après (11.2.43) et (11.2.44), on a:
x*(O*a)R* - v*(*a)P*
a(O*a) (*a)
E*I
et
jwt
e
°OD =
MOD =
Q
+
jwt
**
S )e
a2
Donc, (11.2.60) et (11.2.61) s'écrivent:
- X *, 9* a,R *
+
=
*
*
- ii
x (e *)C*
a
*
(
ajA *
(11.2.62)
et
**
** +vQ
XS
=
**
** +vB
XD
(11.2. 63)
En remplaçant les constantes complexes P', Q*1 R*,
et A*, B*, C*, D* dans les équations (11.2.62) et
S
(11.2.63), on peut établir deux équations à 3 inconnus q,
OD et W0:
54
et
OGR + PODS
=
- W0T
(11.2.64)
OGU + PODV
=
WOW
(11.2.65)
d' où:
R =
[*(*a)A
-
S =
- x*(O*a)G]/D
T =
-
+
[*(*a)F - x*(9*a)H]/D
U = [*1 + X*K]/G
V =
W =
- X*P]/D
[_z,*J
- X*L)/tG +
[z,*N
+ x*QJ/LD
A = 'OG (*(e*a)c(o*a)ch(e*a)
+
B = W0 (*(0*a)2c(0*a)sh(*a)
- x*(9*a) (*a)s (g*a)ch (*a))
C =
ç°OG
{v*N*a)_(0*a)s(0*a)sh(e*a)]
- x*(*a)c.(O*a)ch.(*a))
D = W0 {*(o*a)(e*a)c(e*a)sh(e*a)
- x*(e*a)2s. (O*a)ch (e*a)
E = Ç°OD
(*(e*a)c(9*a1i)ch(e*a)
+
55
F = W0
V
G=
H = W0
I = Ç°OG
{*(O*a)2c(9*aI)sh(*a1)
- x*(9*a) (*a)s (9*a/.h)ch (*aI))
(v*[(*a)(9*a)s(9*aIi)sh(E*aI.L)]
- x*(*a)c. (O*aI.)ch (*aI.L))
fv*(9*a)(*a)c(O*aI)sh(*a,)
{_v*(0*a)s(O*a)ch(*a)
- x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a)
J = W0 {_v*(O*a)2s(O*a)sh(e*a)
+ x*(O*a) (*a)[l - C. (O*a)ch (*a)])
K = 'POG (*(e*a)s(o*a)Ch(e*a)
+ x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a))
L = W0
{*(O*a)(*a)[l - C. (O*a)ch. (*a)]
+ x*(*a)2s. (O*a)sh (e*a))
M = POD {L,*(o*a)s(o*a/)Ch(e*a,.L)
- x*(*a)c. (8*aI.L)sh (e*a1))
N = W0
= POD
Q = W0
{_,*(O*a)2s(O*aI2)sh(*a/)
+ x*(O*a)(e*a)[l - C.
{*(9*a)s(O*a!)ch(*a/2)
+ x*(*a)c.(e*al.L)sh.(e*a)}
(*(o*a)(e*a)[l -
C.
(9*j) (e*ai.)]
+ x*(e*a)2s. (O*a/.L)sh. (*a,))
En résolvant (11.2.64) et (11.2.65) simultanément,
56
on obtient:
W0(TtJ + WR)
q'oD -
SU-VR
(11.2.66)
W0(TV + WS)
et
P0G -
SU-VR
(11.2.67)
o =OG + POD' on peut déduire que:
Comme
F0 (a)
(O*a) (*a)
E*I (n*a)
wo
=
D'après
SU-VR
(TV+WS-TtJ--WR)
l'impédance normalisée
définition,
la
(11.2.68)
est
donnée par:
Z
F0
(11.2.69)
Mb
W2MbWO
p0E*I(n*a)4
3.
a3(O*a) (e*a) W2MbWO
Finalement, on peut déduire que:
[T(V -U) + W(S -R)]
Z
(11.2.70)
Mb
(1 + j) (O*a) (e*a) (SU -VR)
En prenant
j
= 1,
l'expression (11.2.70) nous donne
57
l'impédance au centre de la poutre
Z0
[(9*)2 + (*a)2] NT
(11.2.71)
Mb
DT
d'où:
NT = {*(e*a)c(e*a)sh(e*a)
DT =
(
- x*(e*a)s.(O*a)ch.(e*a)]
* *
* *
*
2v x (O a1 'e'a) - y x [6 *a1'2 _(e*a)2]s (O*a)sh. (e*a)
[(*)2 + (x * 2 ] (O*a) (e*a)c. (O*a)ch (*a)
,
Les f ig.(II.2.4) et (11.2.5) montrent les variations
de l'impédance normalisée IZO/MbI pour différentes valeurs
du E*/G* et du coefficient d'amortissement.
Les
fig.(II.2.6)
et
(11.2.7),
les
variations
de
cette même IZO/MbI en fonction de E*/G* et du rapport r/a
(rayon de gyration/demi-longeur).
comparent l'impédance
entre les poutres d'Euler et les poutres de Timoshenko (avec
des rapports de r/a et de E*/G* différents).
Les fig. (11.2.8)
et
(11.2.9)
La valeur du coefficient de cisaillement k pour la
poutre à section rectangulaire est prise égale à 5/6, comme
nous l'étudirons plus en détail par la suite (paragraphe
111.3)
58
Fig. 11.2.4
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+01 -
E*.224E10(1+JflE)
N/m2
-
G*. 448E0( i +i i)
M/m2
o
M 1E+00
E*/G*5
-
masse densité
.5E4 Kg/m3
Q)
-
lE-01 -
r/a=. 02
a.i0 m.
Fig. 11.2.5
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224El0(l+it?)
N/m2
G*. 50E08(i+i77E)
M/m2
E*/G*40
masse densite'
.5E4 Kg/m3
r/a.02
.a.l0 m.
lE-02-
59
Fig. II.2.
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1i)
N/m2
G*=.448EOq(1+.1J)
M/m2
E*/G*5
masse dens ¡te'
1E+O1 -
E
o
M 1E+OOa)
-o
-
lE-01 -
.5E4 K/m3
lE-02-
Fig. 11.2.7
Impe'dance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1i)
M/m2
G*.5OEO8(1+. i J)
M/m2
E*/G*4O
masse densite'
=.5E4 Kg/m3
60
Fig. 11.2.8
Impédance exacte:
comparaison entre
la poutre d'Euler
et celle de Timoshenko pour diff4rentes valeurs
de E*/G*
1E+O1 -
o
Nl 1E+OOQ)
-
lE-01 -
lE-02-
Fig,
II.2.
Impédance exacte:
comparaison entre
la poutre d'Euler
et celle de Timoshenko pour dif-
frentes valeurs
de r/a
61
III. MATERIAUX COMPOSITES
On peut distinguer trois classes de composite.
Le
composite
fibreux:
matériau
Un
(ou
une
structure) composite est constitué de deux ou plusieurs
constituants distinct. L'un d'entre eux constitue la
Itmatricelt auquel on adjoint trenforttt qui consolide le
matériau. Les renforcements peuvent être obtenus à partir de
fibres longues ou courtes, unidirectionnelles ou possèdent
plusieurs directions.
Le
composite
multicouches
(stratifié):
Ces
particulièrement utilisés pour amortir les
vibrations sont constitués de plaques superposées. Certaines
matériaux
correspondent à l'élément de base (matériau élastique) et
les autres à des couches amortissantes (matériau
viscoélastique). Dans le cas de trois plaques ou plus, les
matériaux viscoélastiques peuvent être insèrés entre deux
semelles de matériaux élastiques.
Le
composite granulaire:
Le
renforcement est
constitué par des particules ou granules.
111.2. LA MODELISATION DE TIMOSHENKO DES POUTRES COMPOSITES
MULTICOUCHES (STRATIFIEES)
théorie présentée ici est une extension aux
poutres symétriquement stratifiées de la modélisation de
La
62
Timoshenko
homogènes.
originellement
construite
pour
les
poutres
X3
d2
N
C
$
dE/2
B
$
X2
A
h
B
C
N
Fig. 111.1.1 poutre symétriquement stratifiée
caractéristiques mécaniques des matériaux:
EA,B,...,N = module de Young des matériaux A, B, ..., N
AA B
N = constante de Lamé
= constante de Lamé (appelé également le
module de cisaillement)
63
PA,B,...,N = masse volumique
PA,B,...,N = proportion des matériaux
hypothèse:
La répartition de contrainte linéaire.
Les matériaux A, B, ..., N sont homogènes, élastiques.
Les joints de colle sont supposés parfaits.
La flèche W et la rotation
pour tout le matériau.
sont supposés être les même
Le champ de déplacement choisit est:
U1 = _x3(x1)eJwt
U2 = O
U3 = W(x1)eJcòt
On construite la
choisit
les
fonctions
fonctionnelle de Hamilton et on
inconnues
qui
et W
rendent
stationnaire cette fonctionnelle.
Energie cinétique:
T
li
=-
pw2[(U1)2 + (U2)2 + (U3)2] dv
I
2J
V
li
=-
I
pw2[(x3)22 + W2] dv
2J
V
64
matériau A:
b/2
i
i
TA =
2
f
--J
J
r
2
J
J
-b/2
O
i
= -
I {(x3)22 + W2) dx3dx] dx3.
I
[2p
PAh/2
O
i
PA [I(p)3p2 + APAW2] dx1
O
bh3
1=,
A=bh
12
avec:
matériau B:
i
b/2
i
r
TB = - w2
2
[2PB
J
O
i
= -
r
2
J
r
r
I
I
J
J
-b/2
(PA+P&h/2
{(x3)22 + W2) dx3dx2] dx1
PAh/2
i
PB [I{(pA+pß)3
- (PA)3)2 + APBW2] dx1
O
matériau N:
i
1
r
PN ['{(PAPB
TN = - w2
2
J
O
+PN)3 - (PA)3)P2 + APNW2] dx1
65
matériau composite:
T =
N
E T1
i=A
i
i
T =
r
[C1W2 + C2] dx1
w2
2
(111.1.1)
J
o
avec:
C1 = A [PAPA + PBPB + .. + P{ 1- (pA+PB+... +pM))]
C2 = I [PA(PA)3 + PB((PAPB)3(PA)3) +...
+ PN{1(pA+pB+... +pM)3)]
énergie de déformation:
V
ir
=I
(aiili + 02222 + C3333
2J
V
+ 2a12e12 + 2a13e13 + 2a23e23) dv
On se place dans
le
cas
de matériaux élastiques
isotropes.
On suppose que a22
et a33 peuvent être négligées
devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses
et le champ de déplacement choisi, l'énergie de déformation
s 'écrit:
66
i1
=-
V
(a1111 + 2a13e13) dv
I
2J
V
V
i
ir
=I
2J
r
[
{E(x3)2(')2 + G(-+W')2) dS J dx1
I
J
o
s
matériau A:
VA
ir
=-
b/2 PAh/2
i
r
[2
J
2J
J
J
J
{EA(X3)2(')2 + GA(-+W')2) dx3dx2
J
dx1
-b/20
o
ir
=-
r
I
i
[ EAI(pA)3(Ø')2 + GpA(-q+W')2 J dx1
I
2J
o
matériau B:
VB
ir
=-
[2
I
2J
O
ir
=-
b/2 (PA+PB)h/2
i
r
r
I
I
J
J
(EB(x3)2(')2 + Gß(-+W')2} dx3dx2 J dx1
-b/2 PA'/2
i
[ EBI((pA+pB)3-(pA)3)(')2 + GBpBA(-Ø+W')2 J
I
2J
O
dxi
67
matériau N:
VN
li
=-
i
f EI { 1- (PA+PB+... +pM)3)
2J
I
o
(t
2
+ GNA{ 1- (pA+pB+... +pM) ) (-Ø+W' 2
dx1
matériau composite:
N
V= E
Vj
i=A
VN
'r
=-
i
2J
f
I
C3(Ø')2 + C4(_+Wt)2 3 dx1
(III. 1.2)
o
avec:
C3 = rigidité à la flexion
= I [EZ(p?)3 + EB{(pA+pB)3-(pA)3) +...
+ EN{l-(pA+pB+...
PM)3)3
C4 = cisaillement équivalent
= kA [GAPA + GBPB + ... + G{ - (pA+PB+.. +pM))]
1
1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillement
sur la section droite nécessite l'introduction du coefficient du
cisaillement k.
68
Fonctionnelle de Hamilton:
H=T-V
i
i
r
H = - w2
C1W2 + C2()2 J dx1
[
2
J
- -if
o
1
C3(t)2 + C4(-+W')2 J dx1
[
I
2J
(111.1.3)
0
et W qui permettent de représenter
Les fonctions
la flexion doivent être telles que:
+ C3t' + C4(+W') = O
C2w2
8H
- =01
'6
=
I
I
o
i
(III. 1.4)
=o
et
0H
-
ow
c1w2w + C4(_+Wt) = O
=O
I
(-Ø+W')6W
= (-+Wt)&W
I
(III. 1.5)
=o
I
1
0
On obtient ainsi un système de deux équations à deux
et W avec les conditions aux limites associées.
inconnus
combinant
ces
l'équation de mouvement.
En
¡c1
Ic4
équations
w2
w2 - 1 }
on
obtient
c21 d2
_4w+w21_+_F_2w+
dx1
deux
c3j dx1
=
C3
(111.1.6)
69
On remarque que l'équation (111.1.6) est semblable à
l'équation de mouvement (11.1.6) des poutres homogènes. Ce
est
car la
description
cinématique
qui
logique
est
identique.
70
111.2 AMORTISSEMENT DES POUTRES STRATIPIEES
L'amortissement des poutres stratifiées a recours à
deux types de méthode: Dans le première, les couches
amortissantes travaillent en traction-compression.
Cette
technique consiste à revêtir une structure métallique d'un
ou
plusieurs
matériau
fortement
amortissant.
Les
déformations de la structures sont transmises au matériau et
le travail ainsi communiqué conduit à une dissipation
d'énergie. Dans le deuxième cas, en rajoutant une plaque de
contrainte, on fait travailler les couches amortissantes en
cisaillement.
matériaux amortjssants
matériau amortissant
'J'
E*
(a)
(b)
revêtement viscoélastique
simple
revêtement viscoélastique
à plaque de contrainte
Fig. 111.2.1
71
Considérons la première technique, fig. 111.2.1(a).
On a déposé une couche de produit amortissant caractérisé
de Young complexe E* = E(l + jr)E) (E
par un module
coefficient d'amortissement intrinsèque du produit) sur une
Lors d'un
poutre métallique de section rectangulaire.
travail en flexion de la poutre, il y aura une sollicitation
en traction-compression de produit amortissant. On pourra
définir la rigidité complexe en flexion K* = K(l + ji7) = E*I
son
représent la rigidité au sens classique et
(EI
,
amortissement global).
Au début des années 50 Lénard, P. [11] s'est attaché
en fonction de E pour diverse
à mesurer le coefficient
matériaux de revêtement. Peu après, Oberst, H [12] a mené le
calcul de ce coefficient, Il montre que l'amortissement
rj
total dépend de
17E
et aussi de l'épaisseur du matériau
viscoélastique.
La deuxième technique, fig. 111.2.1(b), consiste à
les
matériaux
plaque
de
contrainte,
ajouter
une
viscoélastiques vont cette fois travailler en cisaillement.
Dès 1959, E.M. Kirwin Jr. [15] a montré que l'amortissement
du matériau dépend aussi de la fréquence.
Dans ce cadre, Mead, D.J. et Markus, S. [14] ont
étudié le mouvement transversal d'une poutre stratifiée (cf.
fig. 111.2.2) à partir des hypothèses suivantes:
Les deux couches extérieurs sont purement élastiques
et
la
couche
intermédiaire
est
viscoélastique
linéaire.
Les contraintes de cisaillement des couche extérieurs ainsi que les contraintes normales longitudinales
dans la couche intermédiaire sont négligeables.
72
Les déplacenients transversaux de tòus les points
de la section sont égaux.
(Il n'ya pas de dilatation
transversale.)
3.
z ,w
b-1
L
(a)
u'
facette déformée
w
(c)
(d)
deuxième couche
fr
r8x
P3
-
f---1
4- P3 + dP3
(e)
Fig. 111.2.2
73
L'effort tranchant totale s'écrit:
F = F1 + F2 + F3
03w
a3w
=D1
-rd+D38x3
3x3
a3w
= Dt
- rd
8x3
83w
= Dt
3x3
@8w
G*dl_
+
lh2ax
U1-U3
h2
(111.2.1)
avec:
Dt = la rigidité totale = D1 + D3 = E111 + E313
r
= la contrainte de cisaillement
= le module de coulomb de la deuxième couche
= G(l + J7G)
8F
La charge transversale (p = ) s'écrit:
8x
p = Dt
a4w
8x4
G*d2 82W
h2
3x2
G*dIaU,
8U
h2 lax
ax
(111.2.2)
74
CoTnne la conibinaison des efforts longitudinaux est
nulle (Pi = -P3), on a donc:
aU1
8133
ax
ax
E1h1 - E3h3L'expression (111.2.2) devient:
a4w
p = Dt
Dg*y_a2w
g*dE3h3_
ax2
ax
ax4
au3
(111.2.3)
avec:
g*
-
E1h1
)
E1h1E3h3
Dt
E1h1 + E3h3
suite,
ils
= g(i +
l'équilibre
considèrent
élément de longueur 6x dans la
fig.
évidant que:
6P3 = - r6x
d'où:
jr7)
E3h3
d2
Y =(
En
+
(
h2
et
i
i
- =-T
ax
d'un
111.2.2(d),
petit
il
est
75
ou encore:
8
-
aU3
d8W U1U3
(E3h3_)=_G*(__+
8x
h2ax
8x
82u3
h2
Dt 8W
(111.2.4)
E3h38x
8x2
En
éliminant
(111.2.4),
ils
dans
U3
obtient
les
équations
l'équation
de
(111.2.3)
et
déplacement
transversal:
a6w
a4w
- g*(l
1
+ Y)4
ax6
82p
g*p
(111.2.5)
Dt
avec:
p = charge d'inertie + charge extérieure
= -m-2 + q(x,t)
Bt
extérieure
est
proportionnelle (en tous points le long de la poutre) à la
sont
les modes de vibration
charge dtinertie locale,
Dans
le
cas
où
la
charge
découplées. A la résonance, la charge extérieure est
fois la force d'inertie (q = jT1m(w)2W).
76
En posant W = W(x)T(w,t),
l'expression
(111.2.5)
s 'écrit:
d4W
d6Wn
-
wn(l +
dx4
dx6
-d2W
ni
2
g* (1 + Y) -
jì)-Dt(
gW
)
= O
dx2
(111.2.6)
Ax
= Ae
W
Posons,
1' équation caractéristique
,
s ' écrit:
*
6
-
À
4
g (1 + Y)Ah
ni
2
''n(1- +
-
2
- (An
Dt
+ g) = O
(111.2 .7)
Si l'on cherche une composante harmonique (An2 réel
négatif) W, l'expression (111.2.7) peut être séparée en
parties réelle et imaginaire:
6
2m
4
-
g(l + Y)An
-
2
C4)n - [A
+ g(1'ic - 1)] = O
Dt
(111.2.8 a)
et
2m
4
- gnc(1 + Y)A
-
2
Wn - (unAn
Dt
- g(n
+ 7G)] = O
(111.2.8 b)
expressions
(111.2.8),
les
deux
Avec
calculer r en fonction de la fréquence.
on
peut
La fig. 111.2.3 donne les valeurs de r en fonction
de la fréquence pour une poutre stratifiée en trois couches
avec le modèle d'amortissement hystérétique pour la deuxième
77
couche, G2* = O.1E8(1 + O.3j) N/rn2, E1 = E3 = O.2E12 N/rn2.
Les dimensions des différentes couches (h11h2,h3) sont: (a)
3,4,3 mm. (b) 2,4,4 mm. et (C) 3,2,5 mm.
pour les
111.2.4 donne les valeurs de
poutres stratifiées avec les modules de Young des couches
La
fig.
rj
les dimensions h11h21h3 = 3,4,3
mm. Les modules de Coulomb pour la deuxième couche sont: (a)
extérieures = O.2E12 N/rn2,
O.lE8(l + O.3j) N/rn2
O.1E8(1 + O.lj) N/rn2.
(b) O.lE9(l + O.3j) N/rn2
et
(c)
78
Fig. 111.2.3
hl,h2,h3 =
3,4,3
2,4,4
3,2,5
mm.
Coefficiei,i dsamoriissement
Fig. 111.2.4
0.30-
C
(a) G*.1E8(1+.3j)
(b) G*=.lEq(1.3J)
(c) G*.1E8(1+.1j)
N/m2
a
b
0.20-
0.10
0.00
1E+01
:.- -_
I
1E+02
1E+03
f (hz)
1E+04
79
En général, dans le cas d'une poutre sollicitée en
flexion, les matériaux stratifiés travaillent à la fois en
traction-compression et en cisaillement. Une étude combinant
ces deux cinématiques a été faite par Ross et Kirwin
Plusieurs travaux concernant des configurations
[16,17].
plus spécifiques ont été entreprises par ailleurs.
Les principales conclusions sont les suivantes:
Les composites obtenues avec le revêtement par
plaque de contrainte ont des coefficients d'amortissement,
plus important que
en général,
technique de revêtement simple.
ceux
qui
utilisent
la
Tous les paramètres géométriques et élastiques de
tous les composantes de la structure influent sur la valeur
du coefficient d'amortissement souvent même de façon très
importante.
En particulier, le module d'élasticité et surtout
cisaillement du matériau viscoélastique
module
de
le
définissent une caractéristique importante du matériau
composite.
80
111.3 COEFFICIENT DE CISAILLEMENT
La
prise
compte
en
du
nécessite
cisaillement
de cisaillement (ou de
l'introduction d'un coefficient
k. Il rend compte du fait que les contraintes
Timoshenko)
et les déformations, dont il dépend, ne sont pas distribuées
uniformément sur la section droite. Sa détermination a
suscité de nombreuses recherches qui ont abouti aux diverses
,
conclusions suivantes:
Timoshenko [6]: Le coefficient de cisaillement,
k, représente le rapport entre le cisaillement moyen sur la
section droite et le cisaillement au centre (pour une
section rectangulaire: k = 5/6).
Cowper
[7]:
Il
définit
un
coefficient
de
cisaillement en fonction des caractéristiques mécaniques du
matériau. (Pour une poutre isotrope, k = lO(l+v)/(12+llv)).
Gay [8]: Le coefficient k dépend de la fréquence.
Fages
ficient k
en
Il détermine les variations du coeffonction de caractéristique mécaniques du
[9]:
matériau et de la fréquence.
81
Dans le cas d'une poutre homogène orthotrope:
Xi
X2 hT
-e.
Fig. 111.3.1
Fages n'a pas négligé 033 devant
dans les équations de comportement (à l'encontre des analyses clas-siques
[6], (7]et [8]), les équations du problème sont:
pw2AW
+ F' = O
F + Mt =
moment flèchissant:
M =
-
pw2IØ
AW2
-1E1LIt' - v13E13 -
5ß
effort tranchant:
F
=
G13A(kwW' -
kØ)
82
d' où:
W = flèche moyenne
= rotation
/Al4
a = paramètre de fréquence
= wJ
E31
aI
x = coefficient sans dimension = -
Al2
2
p = i - -(1 - '13"3l)X2
7
V13L131X2
5ß
A = bh
et les "coefficients correctifs", k
kw
6
1
5
5ß
L1l31/31X2
257162
=
1
5
16-1
'3lX2
(111.3.1 b)
=
6
1
5
p-y
5E3
111.3.2 à 111.3.4
montrent les coefficients
pour les poutres isotropes
(en fonction de x)
avec des rapports E/G différents.
correctifs
a)
5E3
5ß-y
Les fig.
(111.3.1
v31G13
6
1
k
et k:
83
Fig. 111.3.2
E/G3
Coefficient correctif
2.00-
1 .50-
0.50
0.00
0.50
1 .
00
1 .50
2.00
X
Fig. 111.3.3
E/G10
Coefficient correctif
2.00-
0.50
0.00
I
0.50
-
1
.
X
00
1 .50
2.00
84
Fig. 111.3.4
E/G40
Coefficient correctif
2.00-
1
.50-
Si.iq
1
.00-
0.50
0.00
0.50
1 .00
2.00
1 .50
X
0n appel "valeurs statiques" de k
obtenues en faisant w = 0. On obtient:
kws = kp5
= 1/(
6
etk0 les valeurs
v31G13
5
Dans le cas où la poutre est isotrope,
10(1 +
k5 = k5 -
(111.3.2)
5E3
G = E/[2(l+v)]
')
12 + 11v
C'est le coefficient trouvé par Cowper [6].
(111.3.3)
85
dans les
d'utiliser le coefficient
. Le système d'équations
Fages conclut que l'on peut négliger c
équations
de
et
comportement
statique, k, jusqu'à x
=
1.2
utilisé sera:
+ F' =
O
F + M' =
-
pw2AW
moment flèchissant:
M
=
E1I'
effort tranchant:
F
=
G13Ak5(W' 6
v31G13
5
5E3
avec:
Pour une poutre symétriquement stratifiée à 3 couches:
X3
II--1
I
Fig.
111.3.3
LT
th
86
Le
coefficient
de
cisaillement
Fages
(cf.
[9))
s écrit:
k
=
i/
L
+ t2 +
I
I
G1
3
(h+t)21
G1
(h-t)2
It(ht) G11
r
+
t(h-t)G11
3
(111.3.4)
Ainsi défini, il dépend des caractéristiques mécaniques des matériaux.
t
G11
R=-
On pose:
,
q=-
h
G1
r
k
=
4
-
1
Rq(i-q) + (l+4q2-2q)R + 3q(l-q)
i /
[
3R(1+q)21
(111.3.5)
Fig.
Coefficient de cisailLement
111.3.5
R1
poutre stratifie'e
R.2
R.04
R.005
1E+02-
- R.001
1E+O1 -
/
\\
/
:1
1E+OO
0.00
0.20
0.40
0.bO
q.t/h
0.80
1.00
87
IV. IDENTIFICATION DES
CARACTERIBTIQUES DES MATERIAUX A
PARTIR D'ESSAIS
caractéristiques des matériaux viscoélastiques
peuvent être déterminées selon les méthodes suivantes:
Les
Oscillation libre: En utilisant par exemple une
poutre encastrée ou le pendule en torsion et en mesurant le
décrément logarithmique et la fréquence, on peut déduire les
caractéristiques des matériaux.
Cette méthode donne des résultats satisfaisants pour
les matériaux présentant un amortissement peu élevé et indépendant de l'implitude de solicitation. C'est pourquoi, le
possédant
des
dévelopement des
amortissants
matériaux
valeurs de décrément logarithmique supérieures à 10 en
limite l'utilisation.
Méthode de résonance forcée: Cette méthode permet
la détermination des caractéristiques viscoélastiques à
partir de la coube de réponse. Elle reste correcte dans le
cas de matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez
élevé niais l'inconvenient réside dans le fait que l'essai
est limité à la zone de résonance. Un appareil standard, qui
utilise une poutre encastrée vibrant en flexion a été
utilisé avec succès par Oberst. Une version améliorée
utilisant un pendule de torsion a été développée par Perez
et al.[20).
88
Vibration forcée en-dehors de la résonance: Pour
des sollicitations harmoniques, le diagramme de contraintedéformation présente une boucle d'hystérésis à partir de
laquelle on peut calculer le module et le coefficient
d'amortissement (ou le coefficient de perte) prise égale à
Wd/27TW. Ou, Wd est l'inergie perdue au cours d'un cycle et W
est énergie élastique maximale.
Cette méthode permet
Propagation des ondes:
l'étude de quelques caratéristiques physiques d'élastomère.
la
et
élevée
fréquence de propagation est assez
La
déformation est petite (moins que iO%).
IV.]. MESURE DIRECTE
J
On peut mesurer directement les caractéristiques
dynamiques (le module de la raideur complexe IK*I et l'angle
des matériaux en utilisant
déphasage q
élasticimètre qui est basé sur l'analyse des
forcées en-dehors de la résonance.
de
le visco-
)
vibrations
Le principe de la mesure de la raideur dynamique
d'un échantillon dans le cas d'essai en compression est
présentés dans la fig. IV.l.l.
F2
Fig. IV.l.l
89
Le rapport entre la force f2 et le déplacement u1
donne la raideur complexe K*
:
K* = K' + jK" = f2/u1
(IV.l.l)
Dans le cas du matériaù viscoélastique, sous l'hypothèse d'un comportement linéaire, on traduit le déphasage
entre la force et le déplacement par un angle q.
u1 = tJ1eJt
(IV. 1.2)
= F2eJ(i)t + q)
En
tenant
compte
de
dans
(IV.1.2)
(IV.1.1),
on
obtient:
K' = (F2/tJ1)cos(q)
K" = (F2/U1)sin(p)
soit:
= J(KI)2 + (K")2 = F2/U1
= tan(q)
K* = K(1 + ji7)
Finalement,
on
peut
obtenir
le
module
de
Young
complexe E*
E* = (K*L/A)/(1 + fiS2)
(IV. 1.3)
90
avec:
L = longeur de l'échantillon
A = surface excitée de l'échantillon
S = facteur de forme = surface excité
surface laterale
f3 = 2 pour la section circulaire ou rectangulaire
Le viscoélasticimètre mesure les valeurs des caractéristiques dynamiques des matériaux en fonction de la
fréquence, la température, la déformation dynamique et la
déformation statique.
(tractionAvec le type de solicitation choisi
compression, cisaillement, flexion, ...), on peut obtenir le
module complexe désiré.
d'équivalence
tempsprincipe
utilisant
le
les caractéristiques viscoélastiques d'un tel
température
En
(
matériau observées à une fréquence et à une température
données doivent prendre la même valeur pour une autre fréquence de solicitation si la température change de façon
appropriée), on peut construire la courbe intrinsèque qui
permet d'obtenir les modules viscoélastiques dans un large
domaine d'utilisation.
91
IV.2 IDENTIFICATION MODALE
Les méthodes dt identification modale sont, pour la
plupart, basées sur un lissage des courbes de la fonction de
transfert. Elles font toutes l'hypothèse d'un amortissement
soit structural soit purement visqueux. Elles sont pour but
de rechercher les modes et les fréquences complexes qui
minimisent l'écart
mesurée
dynamique
analytiquement.
les valeurs de la souplesse
celle
obtenue
expérimentalement
et
entre
La fonction de transfert est définie par:
Uk
(IV. 2.1)
11kl=
F1
avec:
Uk = le déplacement en un point k.
F1 = la force appliquée au point 1.
Dans le cas d'amortissement structural, la souplesse
dynamique d'un système discret s'écrit:
*
H(jw)
=
knln
E
n
*
-
+
2
(IV.2.2)
92
Dans le cas d'amortissement visqueux, la fonction de
transfert s' écrit:
* *
knln
=
H1(jw)
*c *c
*+
N
E
n=l a
knln
*
(jwS)
a
(''nn)
(IV.2. 3)
avec:
*
a
*T
=
**T
*
*
2snn M
n Cfl +
= vecteur propre (en complexe)
M
= matrice de masse
C
= matrice d'amortissement
*
s
= fréquence propre
En pratique (par exemple, dans le cas d'amortissement visqueux), on ne peut pas connaître toutes les modes.
On intraduit alors des caractéristiques résiduelles de la
façon suivante afin de diminuer l'influence de la trancature
modale:
*
n2
H(jw)
=
*
*c
knln
1
a
, n1nn2
+
jwC
*
(jwnSn)
1
1
+
Mw2
knln
+
*
*
n=n1 an (l'nn)
E
*
K
(IV.2.4)
93
Le comportement à base fréquence est traduit par la
masse résiduelle M et l'amortissement résiduel C. Le
comportement à haute fréquence est traduit par la raideur
résiduelle K.
Avec le modèle d'amortissement choisi, la recherche
des paramètres modales s'effectue à l'aide d'un lissage par
la méthode "des moindres carrées". Il existe plusieurs
variantes correspondant à diverses stratégies visant à minimiser un critère quadratique.
La méthode classique est d'effectuer le lissage des
fonctions de transfer en utilisant le critère:
N
E =
c
c
[(H(jw) - H(jcifl)][(H(jWfl) - HE(jwn))
E
(IV. 2. 5)
n=l
La méhode proposée par R. Dat et J.L. Neuzec [22] à
l'avantage de ne pas nécessiter d'estimation préalable.
Cette méthode donne la fonction rationnelle qui représente
au mieux les valeurs expérimentales de la fonction de transfer. Supposons que l'on ait mesuré la fonction de transfert
HE(jwfl) pour des valeurs discrètes, w, de la pulsation.
H(jw) étant une fraction rationnelle, on peut trouver deux
polynômes P(jw) et Q(jw) tels que:
(IV. 2.6)
HE(jwfl)
Q (j w)
On cherche les coefficients des polynômes P et Q, de
donné, qui rendent minimum un paramètre d'erreur
degré
définit par
94
2
E
E
HE(jwfl)Q(jwn) - P(jwn)
(IV.2.7)
n
Lorsque la fraction rationnelle est déterniinée, on
effectue la décomposition en éléments simples. Celi-ci
détermine les modes propres de la structure dissipative: les
pôles définissent les fréquences propres et les amortissenient, les numérateurs définissent la forme propre.
95
IV.3 PROBLEME LIES AUX POLES MULTIPLES
une
Considérons
poutre
encastrée
(dans
la
fig.
IV.3.l) solicitée longitudinalement par la force harmonique
= FeJw.
Fig. IV.3.l
Pour introduire l'amortissement interne dans le
système, on utilise le module de Young complexe. L'équation
de propagation s'écrit:
a2U
ri
+
(w)
pw2Ü
=
O
(IV.3.l)
ox2
Si l'on prends la solution particulière de la nÒ
mode sous la forme:
U(x,t)
=
+ wnt)
(IV.3.2)
En rapportant (IV.3.2) dans (IV.3.l), on peut écire
que:
96
kE*(w)
2
PWn
-
=
(IV.3.3)
o
Dans le cas d'utilisation du modèle de Zener pour le
module de Young complexe
i + a(jw)
1w)
=
(IV.3.4)
E0
i + b(jw)
Pour la solution générale, on peut écrire:
U
=
(Acoskx + Bsinknx) e
(wnt)
(IV. 3.5)
Dans le cas de vibrations libres on doit vérifier
les conditions aux limites suivantes:
U =0 en x =0, nous obetnons
A=0
= O en x = 1, nous obtenons
ax
kncOs(knl) = o
d'où
knl = iij2 + j7T
On trouve que les modes sont réels:
= sin(knx)
avec:
kn = (n/2 + jir)/l
(IV.3.6)
97
En tenant compte de
(IV.3.4)
dans
nous
(IV.3.3),
obtenons 3 pôles:
=
+ iß
Wn,2 = -a
+ Jßn
W3 = im
vibration
de
cas
le
Dans
l'équation
forcée,
de
mouvement s' écrit:
a2U
E*(w)
+
2U +
=
(IV.3.7)
O
(x=l)
ax2
et la solution générale prends la forme:
=
U
(x)q(t)
E
n=l
En tenant compte de
multipliant par
r'
(IV.3.8)
(IV.3.7)
et en
1
1
nrS
E qn I
dans
(IV.3.7) s'écrit encore:
1
- E*(w)
(IV. 3.8)
+
n= 1
o
in
J
pnrd
o
=
- J
rd
o
(IV. 3.9)
d' où:
co
qn
=
E
n=]
(E *()k2
pwn2)
co
q
=
(IV. 3.10)
E
n1 d(w
- wn,l) (' - ''n,2) (» -
98
En rapportant la valeur du qn dans
(IV.3.8),
nous
obtenons la solution du problème:
U(x,t)
=
(IV. 3.11)
E
n1 d(w - c»n,l)(w - )n,2)(w - W3)
Cette
l'opposé
des
expression
expressions
fait
apparaître
classiques
trois
utilisées
pôles
lors
à
de
l'identification modale. Cet exemple simple permet donc de
mettre en évidance les erreurs découlant d'une analyse
modale lors de l'identification des modules complexes.
99
METHODE
IV.4
D'IDENTIFICATION
DES
PLAQUES
DANS
LE
CAS
ANISOTROPE
méthode
permettant
d'identifier
les
caractéristiques mécaniques des plaques anisotropes,
à
Une
partir des vibrations forcées, est proposée par Hugo Sol
[4]. Dans cette méthode, la réponse expérimentale a été
mesurée et comparée avec la réponse obtenue analytiquement.
Les paramètres recherchés dans le modèle mathématique (les
rigidités) sont ajustés jusqu'à ce que l'écart entre la
réponse expérimentale et la réponse calculée soit minimal.
La fréquence de résonance est mesurée par le montage
décrit dans le fig. IV.4.l
éprouvette
fil mince
capteur d'accélélation
amplificateur
2
analyseur de spectre
i
5
Fig. IV.4.].
loo
L'équation de mouvement d'une plaque anisotrope
a
été écrite avec les hypothèses suivantes:
La section droite reste droite et pérpendiculaire
à la surface moyenne.
La contrainte normale a
contraintes a, cr et Txy.
a4w
a4w
D11-- + D22- +
ax
a4w
2(D12+D26)ax2ay2
a4w
+
4D16
est négligiée devant les
a4w
+
=
4D26
axay
a2w
- ph
(IV. 4.1)
at2
avec:
D11 = rigidité en f lexion autour de l'axe Y
D22 = rigidité en flexion autour de l'axe X
D66 = rigidité en torsion
D12, D16, D26 = couplages des rigidités
Dij = Eh3
La réponse a été calculée par la méthode de Ritz (en
utilisant un seul élément, la plaque entière, et le polynôme
de Lagrange comme la fonction de forme).
101
ajuster
il
paramètres (les rigidités),
utilise la sensibilité de la réponse due au changement des
Pour
les
paramètres (la sensibilité a été prise égale à la partie
linèaire de la dérivée partielle du développement de Taylor
de la réponse).
{P) = [S]-{R)
(IV.4.2)
avec:
= variation des paramètres
= variation des réponses
S
= sensibilités
Il utilise la méthode Baysian (en introduisant {Cp]
et [CR]) pour tenir compte de l'incértitude entre les
valeurs de paramètre du modèle d'origine et celles de
paramètre ajustés et de l'incértitude de la mesure des
Il
introduit une constante k
expérimentales.
réponses
entre
le
modèle
relative
confidence
traduisant
la
mathématique et la réponse mesurée expérimentalement.
Ansi, l'expression (IV.4.2) s'écrit encore:
[Cp]{LP) = k[S][CR](L1R)
(IV.4.3)
Il conclue que:
1.
La plaque avec les extrèmités libres donne la
meilleur sensibilité pour les changements de la rigidité.
2. En utilisant un seul élément avec le polynôme de
102
Lagrange comme la fonction de forme avec 7 x 7 = 49
noeuds/éléTnent, on peut obtenir d'une façon satisfaisante la
réponse forcée.
que
Pour
3.
la
matrice
soit
[S]
inversible
ou
pseudo-inversible:
Dans le cas de la matrice
[S]
terme de couplage de la rigidité),
diagonale
(pas
de
il est nécessaire de
mesurer les fréquences de résonance associées avec les
formes propres fondamentales (torsion et flexions dans les
deux directions).
cas de
la matrice [S] non-diagonale, le
rapport longueur/largeur doit être approprié pour donner le
Dans
maximum
de
matériaux.
le
sensibilité
au
diverses
caractéristiques
des
103
V. IDENTIFICATION NON-NODALE
V.1 PRESENTATION GENERALE DE LA METHODE
On
utilise
l'expression
de
l'impédance
mécanique
pour identifier les modules de Young et de Coulomb complexes
symétriquement
poutre
composite
homogène
ou
d'une
stratifiée).
Dans le cas d'une poutre d'Euler: Il n'y a que le
module de Young complexe qui se présente dans l'expression
de l'impédance. L'étude experimentale d'une poutre permet
l'identification du modèle de Young complexe E*(w), par une
méthode d'itération appropriée.
On a choisi une poutre libre-libre excitée en son
centre pour mesurer les valeurs de l'impédance. On détermine
à l'aide de celle-ci et d'un développement limité de l'expression analytique de l'impédance le module de Young
En balayant en
complexe
(par
la méthode de Newton).
fréquence,
on obtient lés vriations du module de Young
complexe du matériau composite (voir organigramme V.3.1).
Dans le cas d'une poutre de Timoshenko: On peut
obtenir les deux modules complexes en utilisant deux poutres
Les
expressions
différentes.
deux
de
longueurs
de
l'impédance conduisent à un système à deux inconnues que
l'on resoud par une procédure méthode itérative.
104
Dans la procédure utilisée, on utilise la poutre la
plus longue pour calculer le module de Young complexe et la
plus courte pour calculer le module de Coulomb complexe à
chaque pas de fréquence. Ainsi, on obtient les deux modules
complexes du matériau composite de façon continue
(voir
organigramme V.3.2).
V.2 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DES IMPEDANCES
Dans cette partie,. on va rechercher un développement
limité des expressions de l'impédance au centre de la poutre
(cf. (11.2.29) et (11.2.67)).
V.2.1 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DE L'IMPEDANCE AU POINT
COURANT D'UNE POUTRE D'EULER-BERNOUILLI
L'équation de l'impédance (normalisée par la masse,
Mb) d'une poutre libre-libre chargée en son centre s'écrit:
Z0
1
- ---(
n*a
Mb
sinh(n*a)cos(n*a) + cosh(n*a)sin(n*a)
)
cosh(n*a)cos(n*a) + 1
n*a = x
Désormais, on dénote
et avec:
sinh(x) =
(X + X3 +
3!
cos(x) = (1
X5 + ...)
5!
+ X4 2!
4!
..)
(V.2.1)
105
+ X4 + ...)
cosh(x) = (1 +
4!
3
sin(x) = (X -
+
- ...)
5!
On peut reécrire (V.2.1) sous la forme de développement limité suivant les puissance de x
Z0
ajX1
-
(V.2.2)
Mb
; bx3-
d' où:
X =
= (n*a)4
a0 = 2
a1=2(14!
+1)
1
2!3!
a2=2(- i
8!
+
-
1
3!iO!
12!
b0 = 2
b1= (- i
2!2!
-
1
4!5!
3!6!
a3=2(1
4!
5!
+
+1)
1
7!2!
i
5!8!
-
9!
i
6!7!
+
i
4!9!
-
i
2!li!
+1)
13!
106
+ 1)
2
8!
12!
4!4!
6!2!
2
10!2!
+
2
8!4!
-
1
)
6!6!
Comparons les valeurs exactes et les valeurs approchées (obtenue par le développement du 6ème ordre de
(n*a)4). Des fig. V.2.1 à Fig. V.2.9, on trace les expressions exactes et approchées en fonction de la fréquence (na
a 1w). On constate que, quelque soit la valeur du module de
Youg complexe, la précision des valeurs de 1t impédance
obtenue est très bonne jusqu' au deuxième mode.
107
Fig. V.2.1
I
i
Impedance d une
poutre d'Euler
E*.224E10(1+.OIJ)
M/m2
Fig. V.2.2
Impe'dance d'une
poutre d'Euler
E*.224E10(1+.1i)
M/m2
108
Fig. V.2.3
Impédance d'une
poutre d'Euler
E*.224E10(1+.25j)
N/m2
Fig. V.2.4
IMPEDANCE
Jmpdance d'une
ap p roch e
- exacte
IE+02-
poutre d'Euler
E*.224E10(1+.Olj)
1E+O1 -
M/m2
E
o
NJ
1E+OO-
O)
lE-02-
lE-03
IE+02
I
I
1E+03
1E+04
w
1E+05
109
Fig. V.2.5
Impédance d'une
poutre d'Euler
E*.224E10(1+.li)
N/m2
Fig. V.2.b
IMPEDANCE
Impe'dance d'une
- exacte
1E+02-
poutre d'EuLer
E*.224E10(1+.25J)
ap p roch e
1E+01 -
N/m2
E
o
M 1E+00
Q,
-
i E-02 -
lE-03
1E+02
1E+04
1E+03
w
IE+05
110
Fig. V.2.7
Impédance d'une
poutre d'Euler
E*.5E08(1+.01 i)
M/m2
1E+01 -1
o
NJ
1E+00
Q)
-
lE-01 -
i E-02 -
Fig. V.2.8
IMPEDANCE
Impédance d'une
poutre d'Euler
ap p roch e
- exacte
i E-f 02 -
E*. 5E08 (1 +. '1 i)
IE+0i -
N/m2
o
M 1E+00
a)
-o
-
lE-01 -
I E-02 -
lE-03
IE+02
1E+04
1E+03
w
1E+05
lu
Fig. V.2.q
I MPEDANCE
Impédance d'une
poutre d'Euler
ap p roch e
- exacte
1E+02-
E*.5E08(1+.25j)
t1/m2
-o
IE+01 -
o
M 1E+00
-
-
a)
lE-01 -
lE-02 -
lE-03
1E+02
I
I
1E+03
1E+04
w
1E+05
112
DEVELOPPEMENT
V.2.2
D'IMPEDACE
ASYMPTOTIQUE
AU
POINT
COURAÌT D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO
L'expression d'impédance (normalisée par la masse de
la poutre,
d'une poutre libre-libre chargée en
Mb)
son
centre s'écrit:
[(O*a)2 + (e*a)2J NT
Z0
(V.2.3)
Nb
DT
avec:
2(O*a)2 = (n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4]½
2(e*a)2 =
NT =
{
DT =
{
(n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4J½
*(O*a)c(O*a)sh(*a) - x*(*a)s.(O*a)ch.(e*a)
2zì*x*(O*a)(*a) -
**[(O*a)2
-
(e*a)2]s (O*a)sh (e*a)
[(*a)2 + (X*a)2] (9*a) (e*a)c (O*a)ch. (e*)
[(n*a)4a - (O*a)2]
X
*
= [(n*a)4a + (e*a)2]
1 r2E*
k a2G*
r2
f3=a2
113
pw2a4
E*r2
Désormais, on dénote:
x = (e*a)
y =
(*)
X =
(*)4
Y = c/ß
Donc, on peut reécrire (V.2.3) comme suivant:
(x2+y2) (*x c.x sh.y - x*y s.x ch.y)
z0
Mb
2,,*x*xy -
,*X*(X2....Y2)S
x sh.y -
(z.,*2+x*2)xy
c.x ch.y
(V.2.4)
d'où,
par exemple,
c.x sh.y = cos(x)sinh(y)
En écrivant les expressions circulaires et hyperen développement limité, on peut
de
x
et
y
boliques
récrire (V.2.4) sous la forme de développement limité en
puissance de
X, (V.2.5 a), et en puissance de Y,
(V.2.5 b),
explicitement.
zoNi
aX'
Mb - D1
bX1
(V.2.5 a)
114
CjY
Zo
Mb
D2
(V.2.5 b)
djYi
avec:
N1=-4+X [ a(U1)
+ a(ßU2 + U3)
+ (ß2U4 + ßU5 + U6)]
+ X2
[
a3(TJ7)
+ a2(ßU8 + U9)
+ a(ß2U10 + ßt111 + U12)
+ (ß3U13 + ß2U14 + ßU15 + U16)]
+ X3
[ a4(U1)
+ a3(ßU18 + U19)
+ a2(ß2U20 + ßU21 + tJ22)
+ c(ß3U23 + ß2U24 + ßU25 + U)
+ (ß4U27 + ß3U28 + f32U29 + ßU30 + U31)]
Ltexpression pour D1 prend la même forme que celle
de N1 en remplaçant les constantes U1 par V1.
N2 = -4 +
+ ßU5 + tJ6)
+ x2(ß3u13 + ß2U14 + ßU15 + tJ16)
+ x3(ß4u27 + ß3U28 + ß2U29 + ßU30 + U31)
+ x4(ß5U47 + ß4U48 + ß3U4g + ß2U50 + ßU51 + U52)
+ x5(ß6U74 + ß5U75 + /34U76 + ß3U77 + ß2U78
+ ßU79 + U80)
+ x6(ß7tJ109 + ß6U110 + ß5U111 + ß4U112 + ß3U113
+ ß2U114 + ßU115 + U116)]
[
X (ß2U
115
+ Y [ X (ß2U2 + ßU3)
+ x2(ß3u10 +
+ x3(ß4u23 +
+ ßU2)
ß2U25 + ßU26)
+ ßU46)
+ x4(ß5u42 + ß4U43 + ß3U44 +
+ x5(ß6tJ68 + ß5U69 +
+
X6(ß7tJ102 +
+ ß3tJ71 + ß2U72 + ¡31173)
¡3611103 + ß5U104 + ß4TJ05 +
+ ¡3211106 + ¡311107))
X
(ß2tJ1)
+ x2(ß3u8 + ß2U)
+ x3(ß41120 + ßU21 + ¡321122)
+ x4(ß5u33 + /34U39 + ßU4o + ß2U41)
+ x5(ß6u63 + ß5U64 +
+ x6(ß7u96 + ß6Ug7 +
+ ß3U101))
+
ß3tJ66 +
ßU)
+ ß4Ugg + ß3U100
x2(ß3u7)
+ x3(ß41118 + ß3U19)
+ x4(ß5u35 +
+ ßU37)
+ x5(ß6u59 + f3U6o + ¡341161 + ß3U62)
+ x6(ß7u91 +
+ ßU93 + ßU94 + ß3U95)]
x3(ß4u17)
+ x4(ß5u33 + ß4U34)
+ x5(ß6u56 + ß5tr57 +
ßtJ58)
+ x6(ß7u87 + ß6U88 + ßU89 + ßUgo)]
X4(ß5U32)
+ x5(ß61154 + ßU55)
+
+
+ ß5U86 + ßU87))
X5(ß6U53)
+ x6(p71182 + ¡361183)]
X6(ß7TJ81)]
116
remarque: Le développement limité en Y , (V.2.5 b), est basé
sur le développement limité de 6ème ordre en X (i=6) dans
l'expression (V.2.5 a).
L'expression pour D2 prend la même forme que celle
de N2 en remplaçant les constantes U1 par V1.
Les constantes Uj et Vj pour les développement en X
(6ème ordre) et en y (7ème ordre) sont listés ci-desous:
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
i)=-0. 100000000000000000E+01
2)= 0.200000000000000000E+01
3)= 0.666666507720947266E+00
4)=-0. 10000000000000O000E+01
5)= 0.200000000000000000E+0j.
6)= 0.i.33333333333333318E+00
7)= 0.166666626930236816E+00
8)= 0.1666667461.39526367E+00
9)= 0.000000000000000000E+00
U(
10) = -0.833333373069763184E +00
U(
U( II )=-0 . 399999999999999939E+00
U ( 12) =-0 .952380952380952380E-02
U( .t3)= 0.500000000000000000E+00
U( 14)=-0. i.33333333333333331E+00
U( 15)=-0. .L587301587301587J.3E-01
U( 16)=-0. 176366843033509536E-03
U( 17) =-0 .833333333333333409E-02
U ( 18) =-0 .666666666666666380E-01
U( 19)=-0. 158730158730158773E-02
U( 20)= 0.116666666666666627E+00
LJ( 21)= 0.174603174603174573E-01
U( 22)= 0.220458553791886903E-03
U( 23)= 0.156125112837912638E-16
U( 24)= 0.333333333333333303E-01
U( 25)= 0.132275132275132262E-02
U( 26)= 0.801667468334134137E-05
II
H
II
II
H
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U
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ai
(BWU1
H
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W4U14U1OWWWF @WOWO
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W Jo
wOmwOwwwwma1wwwwWwWWWg
o
w
H
w
mmmwmnwmmwWWW(JWW(J1rUr0
OW)
(J14W
(fl3
iii uggugi g
0000000000000000000000000000000000000000000000000090
ccccccccccccccccccccccccccccccccccCCCCCCCCCCCCCCCCCC
118
U( 79)= 0.925972354179763260E-13
U( 80)= 0.801707665956526947E-16
U (
81) =-O . 698327S21244187821.E-06
U(
U(
U(
U(
82)=
83)=
84)=
85)=
U (
86) = 0. 171296467S92764634E-09
0.277452100369767040E-05
0.338310523495707831E-07
0.625989558281224747E-05
0.719445163889608sS9E-07
U( 87) =0.647597001763668237E-OS
88) = -O . 350729517396184149E-06
U ( 89)=-O .359722581944803637E-08
U( 90)=-0. 695976243313230180E-li.
U ( 91) =-O. 100239748677248661E-04
U( 92)=-0. 146972369194591341E-05
U (
U ( 93) = -O . 2608600492 19837593E -07
U( 94)=-0. 125233551937566768E-09
U( 95)=-O. 167836196735186850E-12
U( 96)= 0.502921075837742339E-05
U ( 97)=-0 .918577307466196210E-06
U ( 98) =-0. 349934212368074806E-07
U ( 99) = -0.328673410319262873E-09
=-0 .999629245989519030E-12
=-Q 138346636400725886E-13
= 0. 285907186948853641E-05
U(103)= 0. 14889251Q259544981E-22
U (104)=-0. 104980263710422341E-07
U(lOS) =-0 . 205843654334161535E-09
U(106 )=-0. 123112233453445940E-11
U (107) = 0. 232S993S1173844015E-13
U ( 108 ) = 0.6073398512226S5026E -16
= 0. 275573192239858671E-06
= 0. 2697919364S86029s3E-07
U( 111)=-0. 1712964G7S92764944E-09
U(112)=-0 . 2423335S80383j.1727E-10
U (113) =-0 .305149980354694755E-12
U( 114)=-0. 14235S174730S08394E-13
U(1iS)= 0. 604171046218874351E-16
U ( 116 ) = -0. 10S6268334693S9579E -20
V(
V(
V(
V(
V(
V(
V(
1)=-0. 100000000000000000E+01
2)= 0.200000000000000000E+0j.
3)= 0.200000000000000000E+oj.
4)=-0. 100000000O0000000oE+j.
S)= 0.200000000000000000E+o1
6)= 0.333333333333333343E+oo
7)= 0.500000000000000000E+00
'.) (
8) =-0 . 500000000000000000E+00
V(
9)= 0.833333730697631836E-01
V (
10 )=-0 . 500000000000000000E+00
11) = -0. 1166666S8719390689E +01
12) =-0 . 444444427887598671E-01
V (
V (
V( 13)= 0.500000000000000000E+00
119
V( J.4)=-0. 833332935969034738E-oj
i ) = -0. 444444427887S98671E -01
V (
V ( 16)=-0. 7936EO7936507937S9E-03
V( 17)=-O.4l6G662447o995o5E-oj
V( lB)=-0.74999992s494j40j-+oo
V( 19)=-o . 7638BB516369859278E-02
V (
20) = -0. 166866624446709932E +00
V( 21)= 0.S2O93334S7SO96764.0j
V( 22)= O.iSB73Qj5873OjSB725EO2
V( 23)=-O.1666666666666G6G5+oo
V( 24)= O.S2O833320916698996E-Oj
V( 25)= O.63492O634920634833E-02
V( 26)= O.S29IOO529i.00529089E-04
V( 27) =-0. 416666666666666652E-Oj
V ( 28)=-0. 7638887647j2S4678O2
V( 29)= 0.1E873Qj5873OjS87jO2
V( 30)= O.529100529100529089E-04
V( 31)= O.267222489444712106E-O6
V( 32)= O.13B888888888888883E..02
V(
V(
V(
V(
33)= O.1BO565530720286845E...Qj
34)= O.347222222222222181E..03
35)=-O. 194444469279712959E-Qj
36) =-0 . 21826395997664S2 17E-02
V( 37)=-0 . 22O45853408 136646 lE-04
V( 38)=-0. 194444444441114439E-Qj
V( 39)=-O.902'ff,'6j22o93j6oeE..o2
V (
40) = -0. 260141O95445479782E -03
V( 41)=-o. i2G93O6B24623809 lE-OS
V( 42)=
V( 43)=-0 . 218263959975545363E02
V (
V(
V(
V(
V(
V (
V (
44) =-0 . 260141095445479782E-03
4S)=-o . 3874726O9694.3j79jE..O5
46)=-0. 117460434920752371E-07
47)= O.13BB88898898898883E..02
48)= 0.347222222222222j2..03
49) =-0 . 220458534081366528E-04
SO ) = -0. 634653412431i.905j.OE -06
V( 51)=-0. 11746O43492O762371E-07
V ( 62) =-0 . 2447O92394i823Si.9j.E-.jO
V( 53)=-0. 124007936507936423E...04
V( 54)=-0. 71924603174603j.630E-03
V( 55) =-0. 771604938271605263E-OS
V( S6)=-0. 186011904761905331E..O3
V( 57)= O.561146384479717850E..O5
V( 58)= °.B3SO7O279514722949E...07
V( 59)= °.183531746031745960E..02
V( 60)= 0284393439iS34j.GSE-O3
V( 61)= 0474319919764363jG2E..OS
V( 62)= O.1S416G92OB334g7447Q7
V ( 63) =-0. 18601190476
1904799E-03
V( 64)= 0284393439153422QE-O3
V( 65)= 0.117243867243867237E..04
I
I
I
I
I
I
I
I
000000000000000000000000000000
O
I
I
I
sDQOQ'DQs3cD
O
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w
w
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wo
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w
w
JOW.PO1
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O
w
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w
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oi-000-.jwowi-woo
000W-P
WOO
(11
wi---.Jwrowwowwmi-0wWi--rUOmwwwi-wwwwwi--ww
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I
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I
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rnrimm
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rlimmmmmmmmmmrnrilnhmmmmm
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I
I
I
I I I I I I
I
I
I I I I I I I I I
I I
I I
I III II II
i-i-i-i-0000E-F-F-0000E-I-0000E-00000000000000i-I-00000I-0000000
WawF-WwwOww0waw.pI-ww-.Ju1.pwwwww.pwwawwwnm
i-i-,-I-uii-l-owroww,-i-w
wo3.pwwcJIwwF-wI-wwmF-wwF-wwwwI-.Jw-.Jo.pww4w
wIwww-JwwI-I-.pwwwoI--wWa1.pw.pww4I---.JwwI--.poWwwroaI.po.pmwoI-Woww
W
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0(11.
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o
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w
w
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I-fflomo([email protected]
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W
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I
o
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Q
I
IIIIHhIUhIIIIuIIIIIIIIIIIIIIIIIlUhIIIIIIIItIIIIIIIIIIIIlIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHhIIIIIIIIlIIIlIlIIII
III
II
liii liii,
I-F-I-I-I-II-00000000000wwwmwwwww000'
ccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccc
121
V.2.10 à fig. V.2.21, on peut
comparer les impédances obtenues par la formule exacte et
celles obtenues par la formule basée sur un développement
limité. On remarque que les valeurs approchées sont de
meilleurs qualités lorsque les rapports E*/G* et r/a sont
A l'aide des
petits.
fig.
122
Fig. V.2.10
!mpdance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224El0(1+.1i)
M/m2
*=.44Eoq(1+. li)
M/m2
1E+01 -
E
-
ci
M 1E+00-
masse densite'
.5E4 Kg/m3
r/a. 02
lE-01 -
a. 10m.
lE-02-
Fig. V.2.11
Impe'dance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1i)
M/m2
G*.448E0(1+.1 i
M/m2
masse densite'
.5E4 Kg/m3
r/a. 03
a.07 m.
123
Fig. V.2.12
Impe'dance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1i)
N/m2
*=.448oq(1+. Ii)
N/m2
masse densité
=.5E4 Kg/m3
r/a. 04
a.05 m.
Fig. V.2.13
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1J)
N/m2
G*.112E0q(1+.1i)
1E+01 -
-o
o
M/m2
masse densité
.5E4 Kg/m3
M
r/a=. 02
-
a.10 m.
1E+00
a)
lE-01 -
1 E-02 -
124
Fig. V.2.14
Impe'dance d'une
poutre de Timoshenko:
IE+01 -
E*.224E10(1+.1i)
M/m2
G*=.112Eoq(1+.IJ)
N/m2
masse densité
.5E4 Kg/m3
r/a. 03
o
M
1E+00
a)
-
lE-01 -
a.07 m.
lE-02--
Fig. V.2.15
Impe'dance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1J)
N/rn2
G*.112E0(1+.1j)
N/m2
masse dens it
.5E4 Kg/m3
r/a. 04
a.05 m.
125
Fig. V.2.1&
Impédance d'une
poutre deTimoshenko:
1E+01 -
E*.224E10(1+.1J)
N/m2
G*448Eoq(1+ li)
F'l/m2
o
M 1E+00
a)
masse densité
=.5E4 Kg/m3
r/a. 02
lE-01 -
a.10 m.
i E-02 -
Fig. V.2.17
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+01 -
E*.224E10(1+.1j)
N/m2
G*=.44Eoq(+, 1j
M/m2
masse densité
.5E4 Kg/m3
r/a. 03
a.0(o7 m.
E
o
M 1E+00
a)
-ci
-
lE-01 -
lE-02-
126
Fig. V.2.18
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1j)
N/m2
G*=.448Eoq(+ Ii)
M/m2
masse dens it
=.5E4 Kg/m3
r/a. 04
a.05 m.
Fig. V.2.lq
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
E*.224E10(1+.1j)
N/m2
G*.112Eoq(1+.j)
M/m2
masse densité
.5E4 Kg/m3
r/a. 02
a.10 m.
127
Fig. V.2.20
Impédance d'une
poutre de.Timoshenko:
E*:.224E10(1+. Ii)
N/m2
G*. 11 2E0 (1 +. i J)
N/m2
1E+0l -
.0 1E+00
a)
masse dens ite'
.5E4 Kg/m3
r/a. 03
-
lE-01 -
a.0,7 m.
lE-02-
Fig. V.2.21
Impe'dance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+01 -
E*.224E10(i+.1J)
M/m2
G*=.li2Eoq(i+.1J)
N/m2
z
-
o
M 1E+00
masse dens ite'
a)
.5E4 Kg/m3
r/a. 04
-
lE-01 -
a.05 m.
lE-02-
128
V.3 OBTENTION DU MODULE DE YOUNG COMPLEXE DANS LE CAS D'UNE
POUTRE D' EULER-BERNOUILLI
L'expression
l'impédance
de
normalisée
(V.2.2)
s 'écrit:
In
E a1X'
Z0
i=0
Mb
fi
(V.3.1)
E bX'
i=0
d'où:
X =
(*)4
pw2a4
E*r2
l'impédance normalisée Z/Mb,
mesurées expérimentalement en variant la fréquence c, on
peut calculer les valeurs du module de Young complexe E*(w)
associées à chaque fréquence par la méthode d'itération
Avec
les
valeurs
de
décrite par l'organigrainnte V.3.1 présenté ci-dessous.
129
organigramme V.3.1
(Debut)
*
valeur initiale: E0
données: valeurs géométriques de la poutre
f
boucle j = 1,J
données: w
calculer X0
resoudre Xj
dans (V.3.1) par
méthode de Newton
chercher Xj = Xjj le plus proche de X0 (et
1
*
*
E1 = E0
*
*
E0 = E
associé)
130
non
écrire:
*
et E
(Fin)
*
131
V.4 OBTENTION DES MODULES DE YOUNG ET DE COULOMB COMPLEXES
DANS LE CAS D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO
En utilisant l'expression (V.2.4):
In
E a1X1
Z0
i=0
Mb
In
(V.4.1 a)
E bX'
i=0
xn+l
E cjYJ
j =0
(V.4.1 b)
=
m+l
E dYJ
i=0
d'où:
pw2a4
X = (na)4 E*r2
a
1E*
ß
kG*
En mesurant les valeurs de l'impédance normalisées
Z/Mb de deux poutres de deux longeurs différentes, on peut
obtenir les deux modules de Young et de Coulomb complexes du
matériau composite par la méthode d'itération décrite par
l'organigramme V.4.1 présenté ci-dessous.
132
Organigramme V.4.1
(Debut)
valeur initiale: E0, G0
données: valeurs géométriques des deux poutres
i = l,L
données:
1
1
2
2
Z1 et w3, Z1
Ica1cixo
I
avec la poutre longue et (V.4.1 a) resoudre
pour X1j par la méthode de Newton
*
cherche X1 = X1,j le plus proche de X0 (et E1 associé)
*
*
E0 =E1
133
1ca1cu1e. Y
avec la poutre coutre et (V.4.1 b) resoudre
pour Y11 parla méthode de Newton
*
chercher Y1 = Y11 le plus proche de Y0 (et G1 associé)
*
*
*
*
*
*
*
*
et
E0 = E1
G0 = G1
*
*
[{1 - (G1/G1))
non
* *
et (1 - (E1/E1))] <
*
écrire:
l'
(Fin
*
E1, G1
134
Les fig. V.4.1 à V.4.2 donnent les modules de Young
et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites
cas
d'un
le
et V.4 dans
paragraphes V.3
dans
les
= 0.1). Les courbes (a):
amortissement hystérétique (E =
On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4 pour
calculer les deux modules complexes à la fois. Les coubes
(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.3
pour calculer le module de Young complexe.
Les fig. V.4.3 à V.4.4 donnent les modules de Young
et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites
cas
d'un
dans
le
et V.4
paragraphes V.3
les
dans
amortissement visqueux (en prennant le modèle de Zener). Les
courbes (a) représentent les valeurs exactes. Les courbes
(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4
pour calculer les deux modules complexes à la fois. Les
coubes (c): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe
V.3 pour calculer le module de Young complexe.
Dans les deux cas d'amortissements cités ci-dessus,
les résultats obtenus dans la cadre de Timoshenko (pour le
module de Young complexe) sont plus proches des valeurs
exactes que ceux obtenus dans le cadre d'Euler.
135
Fig. V.4.1 (a)
ModuLe de Young
moduLe de Young
compLexe identifie
3.
OOE#O-
a
b
Timoshenko:
iteration pour
E* et G*
2. 5OE+Ei-
d.
Th
2,00E'-oq-
EuLer:
iteration pour E*
1.5OE+O-
données génere'es
en prennant:
r/a1.04, r/a2.08
E*.224E10(l+..li)
M/m2
1.DOEO
1E+02
E*/G*5
Fig. V.4.1 (b)
1E+03
w
1E+04
Coefficient darnortiz5ement
0.30-
a
b
0.20-
0.10
0.00
1E+02
IE+03
t.J
1E+04
136
Fig, V.4.1 (c)
module de Coulomb,
complexe identifie
ModuLe de CouLomb
?.OE+O8
J
b.OE+08-
5.OE+08
, q OE+08-
3.OE+O-
2.OE+08
1E+02
1E+03
1E+04
w
Fig. V.4.1 (d)
Coefficient d'amortissement
0.30-
0.20-
0.10
0.00
1E+02
I
1E+03
w
1E+04
137
Fig. V.4.2 (a)
Module de Young
3. DØE+oq-
module de Young
complexe identifie
a
b
Timoshenko:
iteration pour
E* et G*
2 5E
Euler:
iteration pour E*
données génere'es
en prennant:
r/a1.04, r/a2.08
.0-
2OOE+E$3
u
i ,soE0q-
E*.224E10(1+.1J)
M/m2
E*/G*40
1,00E+0
1E+02
Fig. V.4.2 (b)
1E+03
w
1E+04
Coefficient d'amortissement
0.30-
a
b
0.20
w
0.10-
0.00
1E+02
1E+03
w
1E+04
138
Fig. V.4.2 (c)
Module de Coulomb
module de Coulomb
complexe idertifie'
1E+02
1E+03
IE+04
tAJ
Fig. V.4.2 (d)
Coefficient d'amortissement
0.30-
0.20-
0.10
0.00
1E+02
I
1E+03
w
1E+04
139
Fig. V.4.3 (a)
ModuLe de Young
5. OE+0-
module de Young
complexe identifié
C
a
b
valeur exacte
4. OE+O -
valeur obtenue
avec Le cadre des
approximations de
r
r
T i moshenko
vaLeur obtenue
avec le cadre des
u
3.OE+O-
approx i mat ions
/
d'EuLer
donne'es génere'es
en prennant:
r
/
2. OE+0
1E+02
E*(Zener)
1E+03
IE+04
w
Eo.224E10 N/m2
a.004 ; b.002
G* (Zerier)
Coefficient d'amortissement
Go.448E0q N/m2
a=.00, ; b.003
r/a1.04
r/a2.08
a1.05 m.
0.50
C
0.40
a
b
a2.025 m.
masse densit4
.5E4 Kg/m3
0.30
4
0.20
0.10
0.00
1E+02
1E+03
w
Fig. V.4.3 (b)
1E+04
140
Fig. V.4.3 (c)
Module de Coulomb
module de Coulomb
S.OE+08-
complexe identifie'
a
b
8.OE+08
valeur exacte
résuLtat
i7.OE+08
d' iteration
(J
b. OE+08-
5.OE+08-
4. OE+08
IE+02
Fig. V.4.3 (d)
IE+03
w
1E+04
Coefficient d'amortissement
0.50-
a
b
0.40-
0.30
w
0.20-
0.10-
0.00
1E+02
1E+03
w
IE+04
Fig. V.4.4 (a)
Module de Young
5.0E+0-
module de Young
complexe identifié
C
a
b
valeur exacte
4.OE+0
vaLeur obtenue
avec Le cadre des
approximations de
T imoshenko
valeur obtenue
avec le cadre des
u
approx i mat ions
/
d'Euler
donrt4es gènere'es
en prennant:
2.OE1-0
J
/
/
1E+02
IE+04
1E+03
E*(Zener)
w
Eo.224E10 M/m2
a.004 ; b.002
G*(Zener)
Go=.5ÇE8 M/m2
a.00
Coefficient d'amortissement
b.003
0.50-
C
r/a1.04
b
r/a2. 08
0.40-
a1.05 m.
a2.025 m.
masse densité
.5E4 Kg/m3
-a
0.30
\
ç:-
0.20
\
\
\
0.10
i"
0.00
1E+02
1E+03
w
Fig. V.4.4 (b)
1E+04
142
Fig. V.4.4 (c)
Module de Coulomb
module de Coulomb
compLexe ¡dentifi4
a
b
valeur exacte
résuLtat
d' iteration
U,
ao.co.
Q-
Q
1E+02
Fig. V.4.4 Cd)
1E+03
w
1E+04
Coefficient d'amortissement
0.50b
0.40a
0.30
L:.
0.20-
010
0.00
1E+02
I
IE+03
w
1E+04
143
COURBES PAR DES MODELES VISCOELASTIQUES
V.5 LISSAGE DES
CLASSIQUES
peut faire le lissage des modules complexes
obtenus par les méthodes décrites aux paragraphes V.3 et V.4
On
en utilisant la méthode des moindres carrés.
classiques
modèles
Les
des
modules
complexes
s ' écrivent:
n
E a(jw)'
i=o
=
(V.5.1)
n
1 + E b1(jw)
1=1
Afin de rapprocher les valeurs calculées à l'aide du
(w), des valeurs itérées E(w), obtenues
modèle analytique
pour m pulsations wk, on définit le critère de minimisation:
m
=
E
k= i
(V.5.2)
(wk)e(wk)
soit:
= E(wk) [1
+
n
E b1(jw)3-] -
1=1
n
E
On recherche les valeurs de a
fonction
q'
(V.5.3)
i=O
et b1 qui minimise la
144
d'où
=0
(V.5.4 a)
et
=0
(V.5.4 b)
ab1
L'expression (V.5.4 a) nous donne:
-
in
n
E
E b1
in
n
p
E ap
(jwk)
[
k=1 p=0
C'
C
E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk)
[
k=1 1=1
+ E
ci
i
c
nl
=
cP
i
(jwk) + (i'k)
E
[
k= 1
(jwk)
J
C
E(wk) (iwk) + E(wk) (jwk)
(V.5.5 a)
L'expression (V.5.4 b) nous donne:
ni
n
- E
E a
k=1 i=0
ni
+ E
k=1
1
1
[
E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk)
q
n.
E bq [
E(wk)E(wk) (iwk)
1
(jwk) + E(k)E(k) (i'k)
1
cq
(îwk)
q=]
in
= -
E
k=1
[
C
C
C'+ E(w)E(w)(jw)
E(w)E(w)(jw)
(V.5.5 b)
145
On pose:
x=...
1.
=
b
On peut mettre les expressions (V.5.5) sous la forme
matricielle:
Lr
Caa
cab
Cba
cbb
]
J
=
b1J
(V.5.6)
bJ
avec:
m
Caa =
E
p
[
k= 1
(p=O,..
m
cab = - E [
k= 1
cP
c-
(jwk) (jwk) + (jwk) (iwk)
1
,n; i=O,.. ,n)
i
i
E(wk) (i'k) (jwk) + E(wk) (i''k) (jwk)
(i=O,..
i
,n; 1=1,.. ,n)
m
cc- c
E { E(w)(jw) (jwk)
+ E(w)(jw)
(i'k)
-
Cba = -
k= 1
(1=1,.. ,n; i=O,..
q
c
Cbb = -
E E(wk)E(wk)
k=l
[
(jwk)
c1
cq
1
(i'k) + (jw) (jwk)
(q=1,..
,n)
J
,n; 1=1,..
,n)
146
et
ci
in
C
E [ E(w)(jw) + E(w)(jw)
=
(i=0,.. ,n)
k=1
in
Sb
=
C
E E(wk)E(wk)
1
l
(jwj) + (jwk)
I
(1=1,..
)
,n)
k= i
En résolvant (V.5.6), on peut obtenir a1 et b1
Exemple: Modèle de Zener
le module complexe s'écrit:
a0 + a1(jw)
E(w) =
(V.5.7)
+ b1(jw)
i
L'expression (V.5.6) devient:
c11 c12
c21 c22
c31 c31
.
.
.
C13 C23
c33 -
I
ail
.. .
b1J
avec:
cil =
I
aol
2
In
C12 = C21 = 2j E [Re(ok)]
k=i
c22 = -2E[(Re(wk))2 + {Im(cok))2]
I
=
s1
2
I s3
(V.5.8)
147
In
C13 = C31 = -2j E [Re(E)Re(wk) + Lfl(E)Im(wk))
k=1
In
C23
= C32 = 2 E Re(E)[(Re(wk))2 + {IIn(wk))2)
k= i
In
C33
= -2 E [{Re(E))2 + (IIn(wk)}2] [{Re(wk))2 + {IIn(wk))2)
k=1
In
s1
= 2 E [Re(E)]
k= i
m
s2
= 2j E [Re(E)Re(wk) - IIn(E)IIn(wk)]
S3
= 2j E Re(wk) [{Re(E)}2 + (Lu(E))2]
k=1
In
k= 1
148
VI. ASPECT EXPERIMENTAL
VI.1 METHODE EXPERIMENTALE
utilise un appareil pour mesurer l'impédance
d'une poutre libre-libre coiame le décrit la fig. V.1.].
On
i
(
LI-3
U
4
¿prouvetti
5
6
6
8
7
Fig. VI.1.1
149
Dispositif:
générateur et amplificateur de puissance
excitateur
3. capteur de force piézo-électrique
capteur d'accélération piézo-électrique
pré-amplificateur
filtres suiveurs
diviseur phasemètre
ordinateur
Les erreurs de mesure de l'impédance peuvent provenir des erreurs géométriques (pour détérminer le centre de
la poutre), des erreurs de l'impédance du capteur et des
erreurs de mesure provoquées par le bruit de la chame de
mesure.
Pour minimiser les erreurs de mesure provoquées par
la masse du capteur, on utilise la méthode décrite dans les
paragraphes suivants.
VI.1.2. INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE PROVOQUEES PAR LA
MASSE DU CAPTEUR
Fig. VI.l.2
150
F = force d'excitation
M = masse ajouté totale
-y = accélération au centre de la poutre
Z = impédance de la poutre
La force excercée sur la poutre s'écrit:
(VI.l.1)
F = M-y + Z-y
= ZexpY
d'où
Zexp est la valeur de l'impédance mesurée expérimentalement.
Donc,
on
peut
déduire
que
la
valeur
execte
de
i ' impédance
Z = Zexp - M
(VI. 1.2)
On fait les deux hypothèses suivantes:
L'accélération reélle
valeur d'accélération mesurée
y, est proportionnelle à la
et on peut écrire
-y = a(w)-ym
De même, la force effective
nelle à la force mesurée Fm:
Feff = ß(w)Fm
(VI.l.3)
Fef f, est propotion-
(VI. 1. 4)
-
151
Par définition, l'impédance
F
z=-
(VI. 1.5)
-
7
Si l'on corrige les erreurs causées par la masse des
capteurs, on peut écrire:
Fef f -
(VI.1.6)
Z -I
les
utilisant
précédemment, on peut écrire
En
Z=
deux
hypothèses
citées
ßFm - Ma-Im
cr-Im
(ß/cr)Fm - Mym
Finalement, l'expression de l'impédance est
(ß/a) - M(m/Fm)
Z -
(VI.l.7)
(m/'m)
Maintenant, si l'on mesure la valeur de l'impédance
sans poutre, la valeur de l'impédance Z doit être égale à
zéro. En rapportant le résultat dans l'expression (VI.l.7),
on déduit que
ß/a = M(7m/Fm) capteur
(VI.l.8)
152
Ainsi, on peut obtenir la valeur corrigée de l'impédance en rapportant le rapport ß/cr dans l'équation (VI.]..7).
M(im/Fm)capteur - M(ym/Fm)
(VI.l.9)
z (Yt/ Fm)
VI.l.2 INFLUENCE DES ERREURS GEOMETRIQUES
Ces erreurs viennent de l'incertitude de la détermination du centre de la poutre où la force a été excercée.
a
'r
o
Fig. VI.l.3
VI.l.2 décrit une poutre libre-libre, de
masse Mb, excitée par une force sinusoïde à la distance j.a
est
d'une extrémité de la poutre, d'où le paramètre
La
fig.
j
définit par
(1 - a)
(VI. 1.10)
a
153
supposons que la précision de la détermination de la
si la
ni.,
de la poutre est de l'ordre i0
1
longeur
longeur de la poutre est égale à 0.2 in. et l'erreur fl-max
ni., on peut déterminer la valeur maximum du paramètre ji
l0
par l'expression (VI.l.l0)
umax = ((1 1/2 -
1max
1/2 + Almax
= 0.9802
utilisée pour
examiner l'effet sur l'impédance et sur le module de Young
La valeur maximale
supposée
a
été
complexe d'une poutre de Timoshenko (en utilisant la formule
(11.2.66)).
Les
fig.
VI.l.4
à
VI.1.l5
on
peut
comparer
l'impédance de la poutre chargée au centre (ji = 1) et
l'impédance de la poutre avec la charge décentrée (ji < 1)
=
dans le cas du modèle d'amortissement hystérétique avec
= 0.01 et 0.1 et dans le cas du modèle d'amortissement de
Quand la charge est décentrée, on remarque que
type Zener.
la fréquence de résonance et d'antirésonance sont décalées
vers la haute fréquence.
la poutre dont la charge est décentrée, on
remarque la présence de quelque pics intermédiaires (très
Pour
faibles) à haute fréquence, notament lorsque l'amortissement
est faible. On peut alors les prendre en compte pour
effectuer le controle de la qualité de l'essai.
154
A l'aide des fig. VI.l.16 on peut comparer le module
de Young complexe obtenu avec la charge au centre ou avec la
charge décentrée. On trouve que les valeur obtenues sont
très différentes à proximité des pics supplimentaires.
155
Fig. VI.1.4
Impédance daune
poutre de Timoshenko:
I.L1
1=.8
E*.224E10(1+.01i)
M/m2
*=.7o5Eoq(1+.01J)
M/m2
masse dens ite'
.5E4 Kg/m3
r/a. 02
a.10 m.
Fig. VI.1.5
Impe'dance d'une
poufte de Timoshenko:
1.
E*.224E10(1+.1 i)
M/m2
G*.705E0c3(1+. li)
M/m2
masse dens ite'
.5E4 Kg/m3
r/a. 02
a.10 m.
156
Fig. VI.1.b
Impe'dance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+01 1
i'=.%
£3
o
N IE+00-
E*.224E10(1+.O1J)
M/m2
G*=,705EOq(1+.O1J)
M/m2
Q)
lE-01 -
-
masse dens it
.5E4 Kg/m3
r'a. 04
lE-02-
a.05 m.
Fig. VI.1.7
Imp4dance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+01 -
i.t1
i.&=.%
ci
o
N 1E+00
E*.224E10(1+.1i)
M/m2
G*=.7o5Eoq(1+. li)
M/m2
masse densité
.5E4 Kg/m3
r/a. 04
a.05 m.
Q)
-
lE-01 -
lE-02 -
3.57
Fig. VI.1.8
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+01 -
.t1
E
o
M 1E+00
E*.224E10(1+.O1J)
a)
M/m2
G*.5(00E08t1+.01 j
M/m2
1E01 -
masse dens it
.5E4 Kg/m3
r/a. 02
i E-02 -
a.10 m.
Fig. VI.1.
Imp4dance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+0l -
.t1
-o
o
M
E*.224E10(1+.1J)
1E+00
Q)
N/m2
G*.50E08(1+. li)
lE-01 -
M/m2
masse dens it
.5E4 Kg/rn3
r/a=. 02
a.10 m.
lE-02-
158
Fig. VI1.10
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
i.&=.%
E*.224E10(1+.01j)
N/m2
G*.%0E08(1+.01j)
N/m2
masse densité
.5E4 Kg/m3
r/a. 04
a.05 m.
Fig. VI.1.11
Impdarice d'une
poutre de Timoshenko:
1E+01 -
111
-o
L.%
o
NJ
1E+00
w
E*.224E10(1+.1J)
M/m2
G*.5OEO8(1+. li)
-
lE-01
M/m2
masse dens it
.5E4 Kg/m3
r/a. 04
a05 m.
lE-02-
159
Fig. VI.1.12
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
I.L1
1.=.q8
avec:
modèle de Zener
Eo.224E10 N/m2
a.002
b.001
Go.705E0q M/m2
a.001,
b. 0008
masse dens it
=.5E4 Kg/m3
r/a. 02
l/2.10 m.
Fig. VI.1.13
Impédance d1une
poutre de Timoshenko:
A1
i.t.%
avec:
modèle de Zener
Eo.224E10 N/m2
a.002
b.001
Go.7O5EOq N/m2
a.001
b.0008
masse densité
.5E4 Kg/m2
r/a. 04
l/2.05 m.
160
Fig. VI.1.14
IMPEDANCE
Impédance d'une
poutre de Timoshenko:
1E+02-
a
b
1E+01 -
i1
E
1i.q8
o
NJ
avec:
modèle de Zener
Eo=.224E10 M/m2
1E+00
Q)
lE-01 -
-
a.002
b.001
Go.5b0E08 N/m2
1 E-02 -
a.001b
b. 0008
masse densité
5E4 Kg/m3
r/a 02
l/2.10 m.
lE-03
0
I
I
2
4
Fig. VI.1.15
I
b
na
I
I
8
10
12
IMPEDANCE
Impe'dance d'une
1 E+02 -
poutre de Timoshenko:
a
b
1E+01 -
-t1
-
=
(b)
I.A.%
avec:
modèLe de Zener
Eo.224E10 M/m2
o
NJ
1E+00
Q)
-D
-
lE-01 -
a.002
b.001
Go.5b0E08 M/m2
a.00lb
1 E-02 -
b. 0008
masse densite'
.5E4 Kg/m3
r/a. 04
L/2=.05 m.
lE-03
0
I
I
2
4
I
b
na
I
t
I
8
10
12
161
Fig. VI1.lb (a)
module de Young
complexe identifie'
en négligeant les
effets secondaires
Module de Young
3. OOE+09-
a
b
données gênerées
en prennant:
.t1
i.q8
E*.224E10(1+.O1J)
r/a.02
a10 m.
masse densité
.5E4 Kg/m3
0
I
I
2
4
I
I
I
b
8
10
na
Fig. VI.1.lb (b)
Coeff Ic lent d 'amort issement
0. 100 -
a
b
0.080-
0.ObO-
0.040-
0.020-
0.000
I
0
2
4
na
I
I
I
b
8
10
162
VI.2 INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE
On voit bien dans les deux paragraphes précédents
que l'on peut corriger les erreurs dues à la masse du
capteur tandis que les erreurs géométriques induisent des
écarts au voisinage des pics interitédiaires et quand
l'amortissement est faible. Il reste à étudier l'influence
des erreurs causées par le bruit de la chame de mesure.
Dans ce but, on a simulé le bruit de la chame de
mesure par un bruit blanc à 2% (valeur moyenne carrée) de
l'impédance gênerée en utilisant le modèle d'amortissement
hystérétique avec le coefficient d'amortissement égale à
0.2 et en changeant le rapport E*/G* et r/a.
Avec le développement limité au 6eme ordre, la zone
de validité fréquentielle se limite au voisinage de la
première fréquence de résonance. Si l'on compare les fig.
VI.2.2 et VI.2.3, on constate que le module de Young itéré
des premières figures est meilleur que celui des dérnières
parce que son impédance approchée est plus proche de
l'impédance exacte. Par contre, le module de Coulomb est
beaucoup plus sensible au bruit.
Si l'on compare les fig. VI.2.1 et VI.2.3, on trouve
zone de
que la
résonance dont la zone de validité
fréquentielle se décale avec des longueurs de poutre
différentes.
De ces essais on peut conclure que la qualité des
résultats et la zone de validité fréquentielle dépendent de
163
la qualité de l'impédance,
des effets secondaires et de
l'élancement de la.poutre.
Néanmoins
dans
le
cadre
d'un
essai
réel,
l'identification du module de Coulomb devrait être de
meilleur qualité car la simulation des erreurs de mesure par
un bruit blanc introduit un caractère aléatoire lors de la
simulation numerique extrèmeinent pénalisant. Ainsi un erreur
de calibration de 4% d'un des capteurs de force ou
et
une
de
sur
la
phase
d'accélération
erreur
4%
n'introduisent qu'un écart relativement faible sur les
modules identifiés comme le montre les Fig. VI.2.4.
164
Fis.
VI.2.1
Module de Young
(a)
4.OE+0c3_
module de Young
complexe ientifi
avec:
2Z de bruit
E*(exacte)
.224E10(1+.2j)
N/m2
G*(exacte)
=.112EOq(1+.2i)
F'1/m2
3.OE+OS-
w
2.OE+O-
r/a1.04, a1.05 ni.
r/a2.0, a2.033m.
masse densite'
.5E4 Kg/m3
1.OE+O
i
1,000
2,000
3,000
i
i
4,000
5,000
w
Fig. VI.2.1 (b)
Coefficient d'amortizsement
0.50-
0.400.300.20-
0.10
0.00
1,000
i
2,000
i
i
3,000
w
4,000
i
5,000
165
Module de Coulomb
Fig. VI.2.1 (c)
moduLe de CouLomb
compLexe identifié
4.OE+0ô-
3.OE+08-
2.OE+0-
1.OE+08
I
I
1,000
2,000
I
3,000
4,000
5,000
w
Coefficient d'amortissement
Fig. VI.2.1 (d)
0.bOJ
0.50-
0.40
É
0.300.20I
0.10
I'
0.00
1,000
-
2,000
-
t
3,000
w
'I
4,000
5,000
166
Fig. VI.2.1 (e)
comparaison entre
impedance exacte
(avec 2Z de bruit) et
¡mpdance approche'e:
E*.224E10(1+.2J)
M/m2
E*/G*20
valeur exacte
valeur approchée
167
Fig. VI.2.2 (a)
module de Young
complexe identifie'
avec:
2'4 de bruit
E*(exacte)
.224E10(1+.2j)
M/m2
G*(exacte)
.448E0(1+.2j)
N/m2
r/a1.08, a1.025m.
r/a2.10, a2.020m.
masse densité
.5E4 Kg/m3
1.OE+O9
i
i
b,000 8,000
i
12,000
lb,000
w
Fig. VI.2.2 (b)
Coefficient d'amortissement
0.
0
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
b,000 8,000
12,000
w
1b000
Fig. VI.2.2 (c)
module de Coulomb
complexe identifie'
Module de Coulomb
7.OE+08-
I
b.OE+08-
I
J
3.OE+08
I
t?'
2.OE+Oô
i
i
b,000 8,000
i
12,000
lb,000
w
Coefficient d'amortissement
Fig. VI.2.2 (d)
0. bO
0.50
0.40
1.
J.
0.20
0.10
0.00
b,000 8,000
12,000
w
lb , 000
169
Fig. VI.22 (e)
comparaison entre
impedance exacte
(avec 2Z de bruit) et
impe'dance approche'e:
E*.224E10(1+.2i)
M/m2
E*/G*5
vaLeur exacte
vaLeur approche'e
170
Module de Young
Fig. VI.2.3 (a)
module de Young
complexe identifié
4.OE+O-
avec:
2Z de bruit
E*(exacte)
.224E10(1+.2i)
N/m2
G*(exacte)
.112Eoq(1+.2i)
N/m2
3.OE+O
Lii
2.0E+0-
r/a1.08, a1.025m.
r/a2.10, a2.02 in.
masse densité
.5E4 Kg/m3
1.OE+0
I
b,000
I
i
I
8,000
10000
12,000
w
Fig. VI2.3 (b)
Coefficient damortissement
0. bO
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
b,000
8,000
10,000
w
12,000
Fig. VI.2.3 (c)
module de Coulomb
ModuLe de Coulomb
'. OE+0ô
complexe identifie'
3.OE+08
2.OE+08
1.OE+08
b,000
8,000
10,000
12,000
w
Fig. VI.2.3 (d)
Coefficient d'amortissement
0.50-
0.40
o
0.30
0.20
0.10
f
0.00
I
b,000
I
I
8,000
10,000
w
12,000
172
Fig. VI.2.3 (e)
comparaison entre
¡mpdance exacte
(avec 2Y de bruit) et
impédance approchée:
E*.224E10(1+.2J)
N/m2
E*/G*20
valeur exacte
valeur approchée
173
Fig. VI.2.4 (a)
Module de Young
module de Young
complexe identifié
4.0E+O-
a
b
(a) sans erreur
de mesure
de
L' impédance
(b) avec 44 des
erreurs de
cal ibrat ion
E*(exacte)
.224E10(1+.2i)
M/m2
G*(exacte)
=.112EOq(1+.2J)
N/m2
r/a1.041 a1.05 m.
r/a2.0, a2.033m.
w
1.OE+0
1E+02
masse dens ite
1E+03
w
1E+04
.5E4 Kg/m3
Fig. VI.2.4 (b)
Coefficient d'amortissement
0.bO-
a
0.500.400.30-
0.20
0.10-
0.00
1E+02
I
I
1E+03
w
IE+04
Fig. VI.2.4 (c)
Module de Coulomb
module de Coulomb
complexe identifié
4.OE+Oô-
a
b
3.OE+O
2.OE+Oôu,
1.OE+O8-
1E+02
Fig. VI.2,4 (d)
1E+03
w
1E+04
Coefficient damortissement
a
b
0.50-
o
0.40
0.30-
0.20-
0.10
0.00
1E+02
I
1E+03
w
1E+04
175
VII. EXEMPLE DE VALIDATION
VII.2. POUTRE HOMOGENE
On
utilise
une
poutre en P.V.C.
suivantes:
F
Fig. VII.l.1
masse densité = 1306.1
épaiseur = 3.12 Innì.
longueur = 182 min.
largueur = 30 min.
kg/in3
de
dimensions
176
La poutre a été excitée en son centre et le module
ainsi que la phase de l'impédance ont été mesurés par la
méthode décrite en chapitre VI. Les résultats expériméntaux
sont présentés dans les fig. VII.l.2 à VII.l.4.
En négligeant les effets secondaires, on identif je
le module de Young complexe par la méthode décrite au
paragraphe V.3. Le résultat est présenté dans les fig.
VII.l.5.
Pour étudier l'influence du module de Coulomb, on
réalise une itération du module de Young complexe avec la
formule utilisée pour la poutre de Timoshenko en prennant le
rapport de E*/G* constant égale
à
3.
On ne trouve pas
beaucoup de changement dans le résultat tel qu'il est décrit
dans les fig. VII.1.6 (l'écart important à haute fréquence
est du à l'emploi du polynôme du 9eme ordre en (n*a)4 dans
le cadre d'Euler et à du polynôme de 6ème ordre dans le
cadre de Timoshenko).
Les
fig.
VII.1.7
(les
courbes
(c))
mentrent
les
résulats obtenus en lissant les modules complexes identifiés
à l'aide du modèle classique défini en équation
soit:
3
E aj(jw)'
*
E (w)
i=O
=
3
1 + E b1(jw)1=1
(V.5.1)
177
A l'aide de
(V.5.6), on obtient:
procédure
la
décrite
en
équation
a0 = 0.1631E10
a1 = 0.7840E6
a2 = 0.4665E2
a3
b1
b2
b3
Les
=
=
=
=
fig.
0.1130E-1
0.3442E-3
0.2517E-7
0.4776E-11
VII.1.7
(les
courbes
(b))montrent
les
résultats obtenus avec un lissage à l'aide d'un modèle de
derivées fractionnaires du module de Young défini par:
1
E a(jw)a
i=0
=
1 +
On obtient:
a = ß = 0.5
a0 = 0.1361El0
a1 = 0.3567E8
b1 = 0.1193E-1
b1(jw)ß
179
Fig. VI!.1.4
poutre P.V.C.
180
Fig. VII.1.5 (a)
Module de Young
3. OOE+E$3
module de Young
compLexe identifie'
E*=E(1+itiE)
2. 50E+E$3-
2.00E+0-
Li
i
,5+0-
0
Fig. VII.1.5 (b)
500
I
I
1,000
f (hz)
1,500
I
2,000
Coefficient d'amortissement
0.500.40-
0.30-
0.20
0.10-
0.00
I
0
500
I
I
1,000
1,500
f(hz)
2,000
181
Fig. VII.1.
(a)
Module de Young
module de Young
complexe identifié
3. E3E+$3-
a
cadre cfes
b
approx i mat ions
2. 5OE+Dc3
d'EuLer
cadre des
approx i mat ions
de Timoshenko
(en prennant
E
u
E*/G*3)
1.50Eeq-
1,DOE*O
0
Fig. VII.1.
500
I
I
1,000
f (hz)
1,500
2,000
(b)
Coefficient d'amortissement
0.50-
a
b
0.40-
0.30-
0.20-
0.10-
0.00
0
I
I
I
I
500
1,000
f (hz)
1,500
2,000
182
Fis. VII.1.7
(a)
Module de Yourg
module de Young
complexe identifié
E*E(1+Jflz)
3,OOE4E$3-
c
a
b
2 5OE+I-
lissage avec
modLe de drives
fractionnaires
param tres
lissage avec
modèLe cLassique
7 paramètres
4
2OOE+E
w
SOE+oq -
1.00EO
0
500
I
I
I
1,000
f (hz)
1,500
2,000
Fig. VII.1.7 (b)
Coefficient d'amorti5sement
0.50-
c
0.40-
a
b
0.30
k,
0.20-
0.10-
0.00
0
I
I
I
I
500
1,000
f (hz)
1,500
2,000
183
CONCLUS ION
Le but de cette thèse est de développer une méthode
des
caractéristiques
dynamiques
des
d'identification
matériaux. A priori, celle-ci doit s'appuyer sur des essais
un
en
couvrant
domaine
simples
tout
expérimentaux
fréquentiel assez large.
-
La démarche utilisée est une méthode non-modale,
basée sur des essais en vibration forcée. Elle permet la
détermination des modules de Young et de Coulomb complexes
des matériaux en fonction de la fréquence.
A l'aide
d'une poutre homogène
ou
symétriquement
stratifiée libre-libre sollicitée en flexion, on mesure les
valeurs de l'impédance. En reportant ces valeurs dans le
analytique
de
l'expression
développement
limité
l'impédance, on identifie les modules complexes par
méthode itérative de Newton.
de
la
Dans le cadre des approximations d'Euler-Bernouilli,
les
avec un développement limité jusqu'au 9eme ordre,
courbes obtenues peuvent couvrir un domaine fréquentiel
assez large, englobant plusieurs fréquences de résonance.
Dans le cadre des approximations de Timoshenko, le
résultat obtenu est meilleur que celui obtenu dans le cadre
des approximations d'Euler, mais le domaine de validité
fréquentiel dépend plus sensiblement de la qualité du
développement limité de l'impédance et du rapport des
modules de Young et de Coulomb. En outre, le coefficient de
184
cisaillement doit être pris en compte dans l'analyse.
le cadre de la procédure expérimentale, les
erreurs provenant de 1' impédance du capteur ont pu être
Dans
éliminées.
Une fois les modules complexes identifiés à l'aide
de la méthode proposée, on peut procéder à un lissage par
moindres carrés pour identifier un modèle d'amortissement
approprié.
185
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195
TABLE DES MATIERES
Résumé
5
Abstract
6
Introduction
7
Viscoélasticité
11
1.1 Aspect phenoiuénologique
11
1.2 Théorie de la viscoélasticité linéaire
14
1.2.1 Opérateurs intégraux
1.2.2 Opérateurs différentiels
1.2.3 Modules complexes
1.2.4 Modules de dérivées fractionnaires
1.3 Intégration des modèles
14
au niveau structural
16
18
19
20
1.3.1 Structures avec amortissement
hystérétique
20
1.3.2 Structures avec amortissement
visqueux
1.3.3 Structures avec modèles de
23
dérivées fractionnaires
27
Théorie des poutres
31
11.1 La modélisation des poutres homogènes
en flexion
11.2 Impédance au point courant
31
d'une poutre libre-libre
11.2.1 Impédance de la poutre
d 'Euler-Bernouilli
36
37
196
11.2.2
Impédance de la poutre
de Timoshenko
III. Marériaux composites
111.1 La niodèlisation de Timoshenko des poutres
45
61
composites multicouches (stratifiées)
61
Amortissement des poutres stratifiées
111.3 Coefficient de cisaillement
70
111.2
IV. Identification des caractéristiques
des matériaux à partir d'essais
IV.l Mesure directe
IV.2 Identification module
IV.3 Problème liés aux poles multiples
IV.4 Méthode d'identification des plaques
dans le cas anisotrope
V. Identification non-modale
V.1 Présentation générale de la méthode
V.2 Développement asymptotique des impédances
V.2.1
80
87
88
91
95
99
103
103
104
Développement asymptotique
de l'impédance au point courant
d'une poutre d'Euler-Bernouilli
V.2.2 Développement asymptotique
de l'impédance au point courant
d'une poutre de Timoshenko
V.3 Obtention du module de Young complexe dans
le cas d'une poutre d'Euler-Bernouilli
V.4 Obtention des modules de Young et de Coulomb
104
112
128
complexes dans le cas d'une poutre
de Timoshenko
V.5 Lissage des courbes par
des modèles viscoélastiques classiques
131
143
197
VI. Aspect expérimental
VI.1 Méthode expérimentale
V.1.1 Influence des erreurs de mesure
provoquées par la masse du capteur
148
V.1.2 Influence des erreurs géométriques
VI.2 Influence des erreurs de mesure
152
148
149
162
VII. Exemple de validation
VII.l Poutre homogène
175
Conclusion
183
Blibiographie
...
175
185
dernière page de la thèse
AUTORISATION DE SOUTENANCE
Vu
les dispositions de l'arrêté du 5 juillet 1984, modifié par l'arrêté du 21 mars 1988,
Vu
la demande du Directeur de Thèse
M. L. JEZEQUEL - Professeur - E.C.L.
et les rapports de
M. VAUTRIN - Professeur - Ecole Supérieure Des Mines
Samt-Etienne
M. F. SIDOROFF - Professeur - E.C.L.
Monsieur CHAIYAPORN Somsak
est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR INGENIEUR
Spécialité
MECANIQUE
Fait à Ecully, le 6 janvier 1989
Le Directeur de l'E.C.L.
J. BORDET