X Maths 1 MP 2010 — Corrigé

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X Maths 1 MP 2010 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été
relu par Emmanuel Cornet (ENS Lyon) et Guillaume Batog (ENS Cachan).
Cette épreuve se propose de répondre à quelques questions de calcul différentiel,
principalement dans Mn (R). Elle se compose de trois parties précédées de deux
questions préliminaires.
• Les questions préliminaires ont pour but de montrer un résultat concernant des
formes linéaires sur Rn , qui sera utilisé à de nombreuses reprises dans le reste
de l’épreuve.
• Dans la première partie, on considère une matrice symétrique réelle A et on
montre que la fonction x 7→ hx | Axi définie sur la sphère unité de Rn atteint
son maximum en un vecteur qui est nécessairement un vecteur propre de A.
• On montre dans la deuxième partie que la norme usuelle, définie sur Mn (R) par
1/2
P
2
kMk =
mij
16i,j6n
est minorée sur SLn (R) et√atteint son minimum exactement en les matrices
orthogonales, où elle vaut n.
• Enfin, dans la troisième partie, on démontre notamment la formule classique
(et hors-programme) donnant l’expression de la différentielle de la fonction
exponentielle en toute matrice X ∈ Mn (R) :
P
+∞
d expX (Y) = exp(X)
n=0
(−1)n
ϕ(X)n
(Y)
(n + 1)!
où ϕ(X) est l’endomorphisme de Mn (R) défini par ϕ(X)(Y) = XY − YX.
Rédigé de manière attentive, ce sujet guidait les candidats dans la démonstration progressive de plusieurs résultats intéressants en eux-mêmes, à l’aide des seuls
outils du programme. Comme il parcourt une très large partie du programme de MP,
il permet à la fois de réviser et d’enrichir sa culture mathématique.
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Indications
1.a Discuter en fonction du rang de α.
1.b Montrer le résultat plus général suivant : pour tout r > 1 et toutes formes
linéaires α, β1 , . . . , βr définies sur un R-espace vectoriel de dimension finie, on a
r
T
i=1
Ker βi ⊂ Ker α
=⇒
α ∈ Vect (β1 , . . . , βr )
2 Différentier la relation kγ(t)k2 = 1.
3 Poser Γ(t) = x + tv puis γ(t) = Γ(t)/kΓ(t)k.
4 Justifier que Ker hx | ·i ⊂ Ker dfx et utiliser la question 1.a.
5.a Écrire un développement limité à l’ordre 1 de f (x + h).
5.b Appliquer à f le résultat de la question 4.
2
6.c Développer l’expression q(M + H) pour (M, H) ∈ Mn (R) .
7 Montrer que det(M + tEij ) = det(M) + t m
e ij .
8 Utiliser la relation SLn (R) = f −1 ({0}).
9 Montrer la formule pour M ∈ Mn (C) triangulaire, puis M ∈ Mn (C) quelconque.
10 Utiliser la question précédente et la question 7 pour montrer que
det(γ(t)) = e t Tr (M
−1
H)
=1
t
11.b Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que dqM = λdfM , puis que M M = (λ/2) In .
13.a Poser A(t) = C1 (αt)C2 (βt)
14.b Justifier que pour H suffisamment petit, In + H est inversible et
P
+∞
(In + H)−1 =
(−H)n = In − H + O(N(H)2 )
n=0
où N est la norme subordonnée à la norme euclidienne.
15.b Montrer que a et b sont de classe C 1 sur R et sont solutions du problème de
Cauchy
(
Y′ (t) = Y(t)dfIn (X)
Y(0) = 0
15.c Prendre pour f la fonction déterminant et utiliser le résultat de la question 7
et l’égalité a(1) = b(1).
15.d Utiliser la question 15.b en t = 1 pour de bonnes fonctions a et b.
16.b Admettre que la fonction exponentielle est de classe C 2 sur Mn (R) et utiliser
l’identité de Schwarz en (t, s) pour u.
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Préliminaires
1.a Rappelons que la dimension de l’image d’une forme linéaire sur Rn est soit 0
soit 1 suivant que la forme linéaire est nulle ou non. Le théorème du rang certifie
alors que la dimension de son noyau est n si elle est nulle ou n − 1 sinon.
Considérons deux formes linéaires α et β sur Rn telles que Ker β ⊂ Ker α et
construisons un réel λ vérifiant α = λβ. Si α = 0, alors λ = 0 convient. Supposons
désormais que α 6= 0. Dans ce cas, dim Ker α = n − 1. Puisque Ker β ⊂ Ker α et
dim Ker β > n − 1, on a dim Ker β = n − 1. Par suite,
Ker α = Ker β
n
Soit x0 ∈ R un vecteur directeur d’un supplémentaire de Ker α de sorte que
Rn = Ker α ⊕ Rx0
Puisque α(x0 ) 6= 0, on a β(x0 ) 6= 0 car α et β ont le même noyau. Posons λ =
Soit x ∈ Rn . Écrivons
α(x0 )
.
β(x0 )
x = xk + µ x0
avec xk ∈ Ker α et µ ∈ R. Calculons
α(x) =
=
=
=
=
=
α(x) =
En conclusion,
α (xk + µx0 )
α(xk ) + µα(x0 )
µα(x0 )
λµβ(x0 )
λβ(xk ) + λµβ(x0 )
λβ(xk + µx0 )
λβ(x)
car α(xk ) = 0
par définition de λ
car β(xk ) = 0
α = λβ
1.b Montrons par récurrence sur r ∈ N∗ la propriété
P(r) :
« Pour tout R-espace vectoriel E de dimension finie, toute famille
de r + 1 formes linéaires α, λ1 , . . . , λr définies sur E telle que
r
T
Ker βi ⊂ Ker α
i=1
vérifie également
α ∈ Vect (β1 , . . . , βr )
»
• P(1) : Soit E un R-espace vectoriel et α et β deux formes linéaires sur E telles
que Ker β ⊂ Ker α. Si E est de dimension nulle, alors toutes les formes linéaires
sur E sont nulles et le résultat est trivial : α = β ∈ Vect (β). Sinon, E est de
dimension n ∈ N∗ . Dans ce cas, à l’aide d’une base de E, on construit un
isomorphisme ϕ de E dans Rn . Les applications
α
e = α ◦ ϕ−1
et
βe = β ◦ ϕ−1
sont des formes linéaires sur Rn qui vérifient
Ker α
e = ϕ (Ker α)
et
Ker βe = ϕ (Ker β)
Puisque Ker β ⊂ Ker α par hypothèse, on a Ker βe ⊂ Ker α
e. Le résultat de la
e Puisque
question précédente assure alors qu’il existe λ ∈ R tel que α
e = λβ.
e
α=α
e ◦ ϕ et β = β ◦ ϕ, on en déduit que α = λβ.
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• P(r) =⇒ P(r + 1) : Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. Considérons r + 2 formes linéaires définies sur E, notées α, β1 , . . . , βr+1 telles que
r+1
T
i=1
Posons F =
r
T
i=1
Ker βi ⊂ Ker α
Ker βi et notons α
e et βer+1 les restrictions respectives de α et
de βr+1 à F. Constatons que
et
Ker α
e = Ker α ∩ F
L’inclusion précédente se réécrit
Ker βer+1 = Ker βr+1 ∩ F
F ∩ Ker βr+1 ⊂ Ker α
Par conséquent,
F ∩ Ker βr+1 ⊂ Ker α ∩ F
Ker βer+1 ⊂ Ker α
e
soit
En appliquant le résultat P(1) aux formes linéaires sur F que sont α
e et βer+1 ,
e
on obtient l’existence de λr+1 ∈ R tel que α
e = λr+1 βr+1 .
Définissons une nouvelle forme linéaire sur E en posant
γ = α − λr+1 βr+1
Constatons que, pour x ∈
r
T
Ker βi = F, on a
i=1
γ(x) = α(x) − λr+1 βr+1 (x)
=α
e(x) − λr+1 βer+1 (x)
γ(x) = 0
Ceci montre que
r
T
i=1
car x ∈ F
par définition de λr+1
Ker βi ⊂ Ker γ
On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à la famille de r + 1 formes
linéaires γ, β1 , . . . , βr sur E pour conclure qu’il existe λ1 , . . . , λr ∈ R tels que
γ = λ1 β1 + · · · + λr βr . Ceci s’écrit encore
α = λ1 β1 + · · · + λr+1 βr+1
On a ainsi démontré l’hérédité de la propriété P.
• Conclusion : On a donc montré que P(r) est vraie pour tout r, c’est-à-dire
Pour tout r > 1 et toutes formes linéaires α, β1 , . . . , βr définies
sur un R-espace vectoriel de dimension finie, on a
r
T
i=1
Ker βi ⊂ Ker α
=⇒
α ∈ Vect (β1 , . . . , βr )
Le résultat demandé par l’énoncé correspond au cas E = Rn pour un
certain n ∈ N⋆ .
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