TD: Désintégration radioactive

TD: Désintégration radioactive
1 Position du problème
Soit N (t) le nombre de particules radioactives à l’instant t. Pendant un intervalle de temps ∆t, −∆N
particules se désintègrent radioactivement. On appelle p la probabilité, pour chaque particule radioactive, de
(t)
∆t
se désintégrer pendant un intervalle de temps unité. On a: p = − ∆N
N (t) = τ où τ est une constante. D’où:
∆N
∆t
= − Nτ(t)
À la limite, lorsque N tend vers l’infini et ∆t vers zéro, on a: dNdt(t) = − Nτ(t) et donc: N (t) = N (0).e−t/τ .
τ est donc une constante de temps qui représente une sorte de “durée de vie” des particules radioactives .
On veut vérifier que la description probabiliste du phénomène de désintégration radiaoactive correspond
bien: à une loi exponentielle pour N grand; à un phénomène chaotique pour N petit.
On prendra N (0) = 105 particules, ∆t = 1 s et λ =
1
τ
= 0, 3 s−1 . Tracer N (tk ) avec tk = k.∆t.
2 Code avec Mathematica
Desintegration radioactive
In[1]:= Desintegration[N0 ,lambda ]:=( Ntotal=N0; Nrestant=N0; NombreAtomes={};
While[Nrestant>0, NombreAtomes=Join[NombreAtomes,{Nrestant}];
Do[r=Random[]; If[r<lambda,Nrestant--],{Ntotal}]; Ntotal=Nrestant;];)
In[2]:= SeedRandom[]; Desintegration[10^5,0.3]; Graph1=ListPlot[Log[10,NombreAtomes]];
Graph2=ListPlot[Log[10,NombreAtomes],PlotJoined->True];
In[6]:= Show[Graph1,Graph2]
Out[6]= -Graphics-
3 Code avec Python
# -*- coding:
import math
utf-8 -*-
Le processus de désintégration radioactif suit une loi exponentielle. Mais cela ne veut pas dire que les atomes
“vieillissent”. Un atome de 14 C vieux de 3000 ans a rigoureusement la même probabilité de se désintégrer qu’un
atome de 14 C apparu il y a 5 minutes. Il ne faut donc pas en déduire que le temps de demi-vie désigne un “âge”
des atomes radio-actifs. Pour l’homme, au contraire, le taux de mortalité augmente avec l’âge: plus on est
vieux, plus on a de chance de mourir. Si nous suivions une loi exponentielle (i.e. un taux de mortalité constant
comme les atomes radio-actifs), une demi-vie de 75 ans correspondrait à: 25% d’une classe d’âge atteignant
l’âge de 150 ans et 0,1% d’une classe d’âge atteignant 750 ans !
1
ISEN-Brest. Kany.
TD: Désintégration radioactive
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import *
5
4
3
2
1
00
5
10
15
20
25
30
35
2