Oui - Site personnel d`Olivier Leguay

Eléments de correction
Exercice 1 - Statistiques 4 points
On appelle « enneigement décadaire » l’enneigement moyen sur une période d’environ dix jours
consécutifs.
1) Le tableau ci-dessous donne les enneignements décadaires en centimètres au sommet de la
station La Plagne durant la saison 2006-2007, c’est-à-dire du 1er décembre 2006 au 30 avril 2007
Période
Enneigement
1-12 au 10-12
11-12 au 20-12
21-12 au 31-12
1-01 au 10-01
11-01 au 20-12
21-01 au 31-01
1-02 au 10-02
50
55
48
86
89
113
98
11-02 au 20-02
21-02 au 28-02
1-03 au 10-03
11-03 au 20-03
21-03 au 31-03
1-04 au 10-04
11-04 au 20-04
21-04 au 31-04
143
178
265
258
271
255
230
188
a.Donner la moyenne et l’écart type de la série des enneigements décadaires ci-dessus. Arrondir les
réponses à l’unité.
̅
b. Donner le minimum, le maximum, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de
cette série.
2) Pour la période de l’hiver 2006-2007, on a réalisé des mesures d’enneigement décadaire en
centimètres au sommet de la nation de Vars. Voici les résultats :
Moyenne
Médiane
Q1
Q3
Min
Max

138
32
123
88
146
74
176
Construire sur un même graphique, le diagramme en boîtes des séries des enneigements
décadaires des stations Vars et La Plagne
3) Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier
a. Au sommet de la station de La Plagne, l’enneigement est supérieur à 95 cm pendant environ les
¾ de la saison
Faux Q1 La plagne<95
b. Pendant au moins un quart de la saison, l’enneigement de La Plagne est supérieur à
l’enneigement maximal observé à Vars.
Vrai Q3 La plagne > Max Vars
Exercice 2 - Fonctions 3,5 points
Soit f une fonction dérivable en a ℝ. On rappelle que la tangente à la courbe représentative de f au point
A a; f a  est la droite passant par A et de coefficient directeur f a  . Démontrer par la méthode de votre
choix, que l’équation réduite de cette tangente est donnée par y  f a x  a   f a  .
1) On peut rechercher une équation de la tangente sous la forme
avec
On a donc
. Pour trouver on écrit que
appartient à cette tangente donc ses coordonnées
vérifient son équation :
L’équation réduite de la tangente est donc :
2)On considère la fonction définie sur ℝ par : f x   x 2  3x  1.
a)Montrer que pour tout a∈ ℝ,
.
b) En déduire que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point A est :
y  2a  3x  a 2  1
L’équation réduite de la tangente étant :
Avec
En remplaçant, on obtient :
Soit
, d’où le résultat.
c) En quel point la tangente est-elle parallèle à la droite d’équation
. Justifiez.
On cherche à résoudre
, ce qui équivaut à
soit
, abscisse du point
recherché.
Ce point a donc pour coordonnées (2 ;-3)
d) Pourquoi n’existe-t-il aucun point en lequel la tangente passe par l’origine du repère ?
Il faudrait pour cela que l’ordonnée à l’origine de cette tangente puisse être nulle or l’équation
n’admet pas de solution dans ℝ.
Exercice 3 - Parallélisme de deux droites 4 points
Soit A, B et C trois points non alignés.

4 
⃗⃗⃗⃗⃗
Soit D et E les points tels que BD  BC et ⃗⃗⃗⃗⃗
3
Le but de l’exercice est de démontrer que la droite  AB  est parallèle à la droite CE 
1) Construire une figure
2) Première méthode : calcul vectoriel






a. Exprimer le vecteur AB en fonction des vecteurs BC et AD
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
b. Exprimer le vecteur CE en fonction des vecteurs BC et AD .
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
c. En déduire que les droites  AB  et CE  sont parallèles
⃗⃗⃗⃗⃗ , ces deux vecteurs sont colinéaires, les droites
et
sont parallèles.
3) Deuxième méthode : avec les coordonnées


On se place dans le repère  B; BC , BA 


a. Donner les coordonnées des points A, B, D dans ce repère et en déduire les coordonnées du
point E.
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
et donc ⃗⃗⃗⃗⃗
En égalisant on trouve
et


b. Calculer les coordonnées des vecteurs BA et CE .
et ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗
c. Conclure
Les deux vecteurs précédents sont colinéaires d’où la conclusion.
Exercice 4 - Suites 5 points
On étudie l’évolution de deux fourmilières A et B. Chaque mois 20% de fourmis de la population A
passent en B et 30% des fourmis de la population B passent en A.
On notera u n et vn le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les fourmilières A
et B.
Le nombre initial de fourmis est u0  320 milliers et v0  180 milliers.
1) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
4
3

u n1  5 u n  10 vn

1
7
 vn1  u n  vn
5
10

a. Chaque mois la population A perd 20% de son effectif, il en reste donc 80% du mois précédent et
elle reçoit 30% de l’effectif de B du mois précédent, d’où la première ligne du système.
De même pour la deuxième ligne, la population B reçoit 20% de la population A du mois précédent
et il lui reste 70% de sa population.
b.
2) On pose sn  un  vn et t n  2un  3vn pour tout entier n.
a. Exprimer
en fonction de
et , puis en fonction de . En déduire que la suite sn 
est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
. La suite s est donc constante. Cette constante est égale à
.
b. Montrer que la suite t n  est une suite géométrique de raison . Préciser le premier terme. .
Exprimer en fonction de .
La suite
est donc géométrique de raison et de premier terme
( )
On a donc
3) Montrer que les suites
et
définies respectivement par :
( ) et
( ) sont solutions du problème.
On doit résoudre le système : {
( )
Ce qui par addition donne les résultats donnés.
4) A l’aide d’une calculatrice, conjecturer vers quelle valeur tend ( ) lorsque le nombre de mois
devient très grand.
On trouve 0.
5) Conjecturer quel sera l’effectif des populations A et B au bout d’un très grand nombre de mois.
Les populations se stabilisent à 300 milliers d’individus pour la fourmilière A et à 200 milliers pour la
fourmilière B.
Exercice 5- Algorithme et suites 1,5 point
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
VARIABLES
A
B
C
N
EST_DU_TYPE
EST_DU_TYPE
EST_DU_TYPE
EST_DU_TYPE
NOMBRE
NOMBRE
NOMBRE
NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
A PREND_LA_VALEUR -6
B PREND_LA_VALEUR -1
N PREND_LA_VALEUR 2
AFFICHER «0______ -6»
AFFICHER «1______ -1»
TANT_QUE (N est différent de 21) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
C PREND_LA_VALEUR B
B PREND_LA_VALEUR 5*B-4*A
A PREND_LA_VALEUR C
AFFICHER N
AFFICHER «______»
AFFICHER B
N PREND_LA_VALEUR N+1
FIN_TANT_QUE
22
FIN_ALGORITHME
Exercice 6 - 2 points
 x 3  3x 2  1
et soit Cf sa courbe représentative dans un
3
repère orthogonal. En combien de points de cette courbe la tangente est-elle parallèle à la droite
d’équation y  x ?
a) en trois points
b) en deux points
c) en un seul point d) en aucun point
1) Soit f la fonction définie sur ℝ par f x  
Réponse c
2) Soit A 5;3 , B  2;7  et C 6;9 . La médiane du triangle ABC issue de A a pour équation
11
a) 10 x  7 y  29  0
b) 11x  3 y  46  0
c) y  x  23
d) 4 x  3 y  11  0
2
I milieu de [BC] a pour coordonnées (2 ;8)
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
et en écrivant la condition de colinéarité on obtient b)
 
3) Dans un repère 0; i , j , on donne les points A 3;5 , B 2;4 et C  2;3 . La droite d’équation
admet comme vecteur directeur




a)  73 AB  17 AC
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗


b) 12 AB  6 AC


c)  4 AB  2 AC


d) 5 AB  7 AC
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗


 73 AB  17 AC (73-85 ;73-34) soit (-12 ;39)
Un vecteur directeur de la droite s’écrit (-4 ;13). Il est donc colinéaire à ce vecteur. La réponse est donc a)
n
4)
 1  2k  =
k 1
nn  1
2
Réponse b)
a) 1 
b) n  nn  1
c) n  1n  2
d) n  2n