STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE ANALYTIQUE
1 – MISE EN SITUATION
L’hélicoptère proposé évolue horizontalement à vitesse constante suivant l’axe (O, x) ; l’axe (O, z)
→
→
est vertical. La résultante F et le moment résultant M modélisent les actions exercées par l’air sur les
→
→
pales du rotor principal. La résultante F Q et le moment résultant M Q modélisent les actions exercées
→
→
sur le rotor anti-couple, R représente la résistance de l’air sur l’ensemble de l’appareil et P le poids
total de l’hélicoptère.
Données :
→
P
= 30000 N
→
M
= 400 Nm
→
MQ
= 30 Nm
2 – ANALYSE STATIQUE (méthode analytique)
Objectif de votre étude
→
→
→
Déterminer la norme des résultantes R (résistance de l’air), Q (action du rotor anti couple) et F (action
de l’air sur le rotor).
2.1 - Effectuer le bilan des actions mécaniques agissant sur l’hélicoptère ?
2.2 - Appliquer le Principe Fondamental de la Statique à l’hélicoptère ?
2.3 - Ecrire le théorème de la résultante appliqué à l’équilibre d l’hélicoptère ?
2.4 - Ecrire le théorème du moment résultant appliqué à l’équilibre d l’hélicoptère ?
2.5 - Ecrire les équations issues des théorèmes de la résultante et du moment résultant ?
→
→
→
2.6 - Résoudre les équations et déterminer les résultantes (forces) R , Q et F ?
Statique hélicoptère
1/3
CORRIGÉ STATIQUE ANALYTIQUE HÉLICOPTÈRE
2.1 – Bilan des actions mécaniques
Isolons l’ensemble de l’hélicoptère : celui-ci est soumis à l’action de 4 actions mécaniques
extérieures.
Résistance
de l’air
Pesanteur
Hélicoptère
Action sur
rotor
principal
Action sur
rotor de
Lame fixe 3
queue
0
{Tpesanteur → hélico} = {T 1} =  0

G Pz
R x
{Tair → hélico} = {T 2 } =  0

C 0
0
0
 0



0
=  0
0
0(0,x,y,z ) G − 30000 0(0,x,y,z )
0

0
0( 0,x,y,z )
FX
FX
0 
0 




{Tair → rotor principal} = {T 3 } = FY 0 
= FY
0 
F
F
M Z 
400 
A Z
( 0,x,y,z ) A  Z
(0,x,y,z )
 0
 0
0 
0 




{Tair → rotor anti − couple} = {T 4 } = QY M QY 
= Q Y − 30
0
0
0 
0 
B
(0,x,y,z ) B 
(0,x,y,z )
2.2 – Application du Principe Fondamental de la Statique
On écrit le Principe Fondamental de la Statique appliqué à l’hélicoptère.
{Tpesanteur → hélico} + {Tair → hélico} + {Tair → rotor
} + {Tair → rotor
principal
}= 0
anti − couple
nota : pour que cette somme de torseurs soit mathématiquement correcte, il faut que chaque torseur
soit définit au même point. On choisira le point A car celui-ci est le point de définition du torseur qui
possède le plus d’inconnues : {T air → rotor principal}.
Ecriture vectorielle de la somme des torseurs au point A
→
→




 →
P
R
F
→
→  + →
→
→ +
→
→
 0 + AG ∧ P  A  0 + AC ∧ R  A M
A
Statique hélicoptère
→



Q


+  →
→
→ =

M Q + AB ∧ Q 
A
2/3
→ 
0
→ 
 0 
Ecriture des 3 produits vectoriels issus du transport des torseurs au point A :
→
AG
∧
→
→
P
AC
− 0,2
0
0 ∧
− 1,5
0
∧
3
= − 6000
− 30000
0
→
→
R
MQ
RX
0 ∧
− 1,5
0
+
− 30
0
+
0
0
→
∧
− 4,2
0
0 = − 1,5 R X
0
0
→
AB
Q
0
∧
0
Q Y = − 30
0
− 4,2 QY
Ecriture de la somme algébrique des 4 torseurs écrits au point A :
0
0
0
− 6000
− 30000
0
A
RX
0
0
0
− 1,5 R X
0
+
A
FX
+
0
FY 0
F Z 400
A
0
+
QY
− 30
0
− 4,2 QY
A
2.3 – Ecriture des équations issues du PFS
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
les six équations algébriques issues du PFS sont :
:RX+FX=0
: FY+ QY= 0
: -30000 + F Z = 0
:0=0
: -6000 - 1,5 R X - 30 = 0
: 400 – 4,2 Q Y = 0
2.4 – Détermination des inconnues
− 6030
= − 4020
1,5
(1): F X = − R X = 4020
(5): R X =
(3) : F Z = 30000
400
(6): Q Y =
= 95
4,2
(2) : F Y = − Q Y = 30000 = − 95
→
R
→
Q
→
F
= 4020 N
= 95 N
(
)
(
)
= 2 F X 2 + F Y 2 + F Z 2 = 2 40202 + 952 + 300002 = 30268 N
Statique hélicoptère
3/3
0
0 0
=
0 0
0 0