Traitement des images (préparer pour révéler

Transcription

Traitement des images
(préparer pour révéler - part. 1)
O. Wilk
Calcul scientifique/Math/Cnam
(sur la base du cours de Ph. Destuynder [1])
(préparer pour révéler - part.
1)
1)
O. Wilk
O. Wilk
Lissages - Restauration
Bande annonce
Le problème de base
Lissage ”Fourier”
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage non linéaire
Lissage tixotrope
Restauration
Bibliographie - Contact
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
UE CSC110
Cnam
mars 2008
Bande annonce
1)
1)
Bande annonce
O. Wilk
Lisser ... mais sans détruire
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
radiographie d’un fémur (rayons X)
photo rayée
Restaurer pour rénover
1)
O. Wilk
min
v

J(u) = min1 J(v )



v ∈H0

Z
Z

ε
1

2

|v − f | dΩ +
|∇v |2 dΩ.
 J(v ) =
2 Ω
2 Ω
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
1
2
Z
|v − f |2 dΩ +
Ω
ε
2
Z
Ω
équivalent au problème faible (form. var.) :
Z
Z
Z
1
∀v ∈ H0 (Ω), uv dΩ + ε ∇u.∇v dΩ =
fv dΩ.
Ω
Ω

Ω
(1)
u = 0 sur ∂Ω
Exercices :
une base de Fourier
équivalent au problème fort :

 −ε∆u + u = f dans Ω

le calcul de la solution ”Fourier”
la troncature de la série ”Fourier”
u = 0 sur ∂Ω
Application numérique ”Fourier”
1)
min
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
Lissage ”Différences Finies”
O. Wilk
v
1
2
Z
|v − f |2 dΩ +
Ω
ε
2
Z
|∇v |2 dΩ.
Ω
Résolvons le problème suivant à l’aide de l’approximation par
différences finies :

−ε∆u + u = f dans Ω



(2)
u = f sur ΓDirichlet


 ∂u
∂n = 0 sur ΓNeumann
Exercices :
une écriture matricielle ”DF”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle :
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Résolvons le problème suivant à l’aide de la méthode de
Fourier :

Rappel de cours :
O. Wilk
|∇v |2 dΩ.
Chevauchement des sous images, ...
ou DCT avec u = f au bord, ...
la condition limite de Dirichlet ”DF”
la condition limite de Neumann ”DF”
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
Application numérique ”DF” (1/2)
1)
Application numérique ”DF” (2/2)
O. Wilk
Résolution du problème (2) avec la condition de Dirichlet
u = f sur tout le bord par la méthode de Jacobi :
Algorithme :
Initialisation : u 0 = f , f ∈ lRN×M
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
O. Wilk
Problème au bord :
amélioration en utilisant la C. L. de Neumann
∂u
∂n
= 0.
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
puis boucle en p :
∀i = 2, N − 1 et ∀j = 2, M − 1,
p+1
ui,j
=
ε p
1
p
p
p
[fi,j + 2 (ui+1,j
+ ui,j+1
+ ui,j−1
+ ui−1,j
)]
4 hε2 + 1
h
Evolution de J(u p )
Image originale
Image lissée
1)
Lissage ”Eléments Finis”
min
v
1
2
Z
|v − f |2 dΩ +
Ω
ε
2
Z
|∇v |2 dΩ.
Ω
Résolvons le problème faible (formulation variationnelle) à
l’aide de la méthode des éléments finis :
Z
Z
Z
∀v ∈ H01 (Ω), uv dΩ + ε ∇u.∇v dΩ =
fv dΩ.
Ω
Rappel de cours et exercices :
Interpolation
Assemblage
Résolution
Ω
O. Wilk
Ω
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Maillage ”EF”
1)
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Maillage ”EF”
1)
Maillage ”EF”
O. Wilk
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Maillage ”EF”
1)
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Maillage ”EF”
1)
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Application numérique ”EF”
1)
O. Wilk
Lissage couleur :
La résolution s’effectue à l’aide d’une seule factorisation
suivie de trois ’descente-remontée’.
min
v
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
1
2
Z
|v − f |2 dΩ +
Ω
ε
2
Ω
Problème équivalent à :

0
 −εdiv (ϕ (|∇u|2 )∇u) + u = f dans Ω

O. Wilk
Z p
1 + a |∇v |2 dΩ.
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
(3)
u = f sur ∂Ω
avec ϕ(t) =
√
1 + a t (a ∈ lR∗ ).
Exercices :
Taylor pour comprendre
Dériver la fonctionnelle
Décomposition de l’opérateur
Résolution
Applications numériques ”non linéaire”
1)
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
1)
O. Wilk
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
Lissage tixotrope
1
min
v 2
...
Z
ε
|v − f | dΩ +
2
Ω
2
Z
2
|∇v | dΩ + g
Ω
O. Wilk
Z
|∇(v − f )|dΩ.
Ω
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
Restauration
min
v
1
2
Z
|v − f |2 dΩ +
B
ε
2
Z
B∪ω
Résolvons le problème suivant :

 −ε(1 − ξB )∆u + ξB u = ξB f dans B
avec ξB = 1 dans B et 0 dans ω

+ C.L.
O. Wilk
|∇v |2 dΩ.
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
(4)
Application numérique ”Restauration”
1)
Bibliographie
O. Wilk
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
1)
O. Wilk
Philippe Destuynder - Analyse et traitement des images numériques - Hermes,
2006.
Rachid Deriche et Olivier Faugeras - Les EDP en traitement des images et
vision par ordinateur - Rapport de recherche de l’INRIA-Sophia Antipolis
RR-2697 - 1995.
P. Lascaux et R. Théodor - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de
l’ingénieur - Masson - 1986.
Philippe Destuynder et Francoise Santi - Analyse et contrôle numérique du
signal - Ellipses - 2003.
Mail de l’auteur : [email protected]
Page web de l’auteur : www.cnam.fr/maths/Membres/wilk
Ce document a été créé en utilisant LaTeX avec le package Beamer (aide pratique).
Bande annonce
Lissage ”DF”
Lissage ”EF”
Lissage tixotrope
Restauration
(extraire l’information - part.
2)
(extraire l’information - part. 2)
O. Wilk
Calcul scientifique/Math/Cnam
(sur la base du cours de Ph. Destuynder [1])
2)
Bande annonce
O. Wilk
O. Wilk
Bande annonce
Bande annonce
Détection de contours
Introduction
Lisser
Gradient ou Laplacien
Erosion - Dilatation
Synthèse de contours
Contours actifs
Serpent
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Détermination de contours
Projets
Projets
UE CSC110
Cnam
mars 2008
Méthode de Hough
Capture de formes quelconques
De la vectorisation aux contours actifs
L’analyse d’image demande parfois l’extraction d’informations
particulières contenues au sein de l’image.
2)
O. Wilk
Bande annonce
2)
Lisser
Pour mieux révéler les contours, il est préférable de réduire le
bruit, avec par exemple :
Différentes méthodes existent pour extraire des informations de
type géométrique (coordonnées, formes d’objets), par exemple :
une méthode de détection d’éléments droits,
une méthode de contours actifs ”snakes”,
la méthode du serpent.
Dans tous les cas, il s’agit de détecter puis de synthétiser sous
forme vectorielle les contours d’objets contenues dans une
image.
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
les méthodes utilisant la convolution (moyenne,
gaussienne, ...) =⇒ Risque de destruction du contour par
étalement.
le filtre médian (bruit impulsionnel dû à une perte
d’information) =⇒ définition
les filtres récursifs =⇒ y (n) = ax(n) + by (n − 1) ou ⇒
les filtres par ”EDP” (linéaire ou non linéaire), par ex. :


Mais auparavant, il est souvent utile de lisser pour mieux
révéler les contours !
O. Wilk
Bande annonce
u = 0 sur ∂Ω
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
2)
O. Wilk
Deux méthodes principales :
Bande annonce
la méthode du gradient : calculer la norme du gradient
puis dégager les valeurs maximales,
la méthode du Laplacien : calculer le Laplacien puis
déterminer les passages par zéros.
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
2)
O. Wilk
D’abord en recherchant des contours simples (droite, ellipse).
2)
Ensuite, l’utilisation des opérateurs ”érosion” et ”dilatation”
peut parfois parfaire les contours obtenus. Il est possible
d’enlever les points sélectionnés mais isolés par une opération
d’ouverture (érosion puis dilatation). Une fermeture (dilatation
puis érosion) peut par contre connecter les points M
sélectionnés suffisamment proche entre eux.
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Bande annonce
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
...
2)
Contours actifs
O. Wilk
Une première méthode de contours actifs.
Bande annonce
La méthode de Hough :
Illustrons cela avec une recherche de droite :
O. Wilk
Bande annonce
Trouver les formes Γ où |∇f | est maximal. Ainsi comme nous
cherchons à minimiser, nous prenons :
Z
Jf (Γ) =
1
−|∇f (Γ(s))|2 ds
0
Projets
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
Mais si ∇f est constant sur un domaine contenant Γ, la
dérivée de Jf suivant Γ ne donne pas d’info. !
=⇒ Il faut une fonctionnelle supplémentaire.
Par exemple :
Z
JΓ (Γ) =
0
1
0
00
(k1 |Γ (s)|2 + k2 |Γ (s)|2 )ds
Serpent - Une méthode plus globale (1/3)
2)
2)
O. Wilk
Méthode permettant de prendre toute l’information ”image” !
O. Wilk
Bande annonce
Illustrons le problème suivant :
(
∂u
= 0 sur ∂Ω
∂n
Sur une application monodimensionnelle :
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
Détaillons un peu ...
Bande annonce
(
∂u
= 0 sur ∂Ω
∂n
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
2)
2)
O. Wilk
Bande annonce
(
∂u
= 0 sur ∂Ω
∂n
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
O. Wilk
Le problème est équivalent à (pour Γ fixé) :
Z
Z
ε
1
2
(v − f ) dΩ +
|∇v |2 dΩ
J(u) = min
J(v ) =
2 ΩΓ
2 ΩΓ
v ∈H01 (Ω)
Notre problème consiste à trouver le bord Γ qui fait que u se
rapproche le plus de f sur tout ΩΓ , tout en ayant un peu de
régularité sur u.
Le problème revient à minimiser :
Z
Z
Z
ε
1
1
R(Γ) = −
|∇u|2 dΩ −
|u|2 dΩ +
|f |2 dΩ
2 ΩΓ
2 ΩΓ
2 ΩΓ
Etudions un cas analytique (1D).
Calcul du gradient.
”Love” du Serpent en Différences Finies.
Bande annonce
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
2)
Serpent - Level-Sets (3/3)
Serpent - Applications (1/2)
2)
O. Wilk
Une exploitation de la méthode des Level-Sets (courbe de
niveau)
Bande annonce
O. Wilk
G (X )
(1+G 2 (X ))α
cas du rond
cas du demi-rond
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
ϕ > 0 à l’intérieur de Γ,
ϕ = 0 sur le contour fermé Γ,
ϕ < 0 à l’extérieur de Γ.
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
α=0
Projets

∂ϕ


+ GΩ .∇ϕ = 0 dans Ω
∂t


ϕ(0) = ϕ0 .
Projets
α=
Γ
Bande annonce
1
2
1
0
−1
Portion de ϕ où Γ est défini.
α=1
2)
Serpent - Applications (2/2)
Serpent - version à sonnettes
2)
O. Wilk
Bande annonce
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Capture d’une cigogne
Détection d’archipels
Capture de ronds
et d’oiseaux
et de qq chiffres
et d’un très beau cheval
O. Wilk
Bande annonce
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets
Projets
Stages - Mémoires ingénieur - Thèses (1/2)
2)
Stages - Mémoires ingénieur - Thèses (2/2)
2)
O. Wilk
Bande annonce
La stéréoscopie
Arnaud Litrico (stage), Manel Tayachi (thèse).
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
O. Wilk
Bande annonce
Application de la méthode du Serpent :
Extraction d’information issue d’images médicales ’IRM’
Olivier Daniel (mémoire d’ingénieur Cnam).
Projets
Projets
parcours
externe
ε = 100
parcours
interne
ε = 100
fin du
parcours
ε=7
(L’image “IRM” a été préalablement lissée à l’aide du lissage non linéaire.)
Bibliographie
2)
O. Wilk
Philippe Destuynder - Analyse et traitement des images numériques - Hermes,
2006.
Rachid Deriche et Olivier Faugeras - Les EDP en traitement des images et
vision par ordinateur - Rapport de recherche de l’INRIA-Sophia Antipolis
RR-2697 - 1995.
P. Lascaux et R. Théodor - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de
l’ingénieur - Masson - 1986.
Philippe Destuynder et Francoise Santi - Analyse et contrôle numérique du
signal - Ellipses - 2003.
Mail de l’auteur : [email protected]
Page web de l’auteur : www.cnam.fr/maths/Membres/wilk
Ce document a été créé en utilisant LaTeX avec le package Beamer (aide pratique).
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Bande annonce
Introduction
Lisser
Contours actifs
Serpent
Projets

Traitement des images (préparer pour révéler

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