Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015 Test de début d`année Exercice

Lycée Cassini
BTS CGO
2014-2015
Test de début d’année
Exercice 1
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes.
On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration C d’un médicament dans le sang d’un patient. La fonction
C est représentée ci-dessous.
1.5
Concentration (mg/L)
1
0.5
Temps (h)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
1. Quelle est la concentration du médicament dans le sang au bout de 2 h ?
(a) environ 0,5
(b) environ 1
(c) environ 1,5
(d) environ 0,9
2. Laquelle (lesquelles) de(s) (in)équations ci-dessous a pour solution l’intervalle de temps où la concentration du médicament est au plus égale à 1 ?
(a) C (h) > 1
(b) C (h) = 1
(c) C (h) < 1
(d) C (h) É 1
3. À quel(s) moment(s) la concentration dans le sang est-elle de 0.5 mg/L ?
(a) ≈ 40 min
(b) ≈ 2 h 20 min
(c) ≈ 0,667 h
4. Ce médicament est jugé efficace quand la concentration dans le sang dépasse 0,75 mg/L.
Quelle est donc sa période d’efficacité ? (On arrondira grossièrement.)
(a) jusqu’à 2 h
(b) jusqu’à 4 h
(c) dès 45 min
(d) entre 0,75 et 2 h
5. Au bout de combien de temps le médicament est-il le plus concentré ?
(a) ≈ 1 h
(b) ≈ 1 h 30 min
(c) ≈ 1 h 50 min
(d) ≈ 4 h
6. Sur quel intervalle la dérivée de cette fonction est-elle positive ?
(a) [0; 1]
(b) [1; 4]
(c) [0; 4]
(d) On ne peut pas savoir
(c) nul
(d) On ne peut pas savoir
7. Le nombre dérivé de cette fonction en 2 est :
(a) positif
(b) négatif
1
Exercice 2
On donne ci-dessous la représentation graphique C d’une fonction f définie sur [0 ; 10].
La tangente à la courbe C au point A d’abscisse 5 est tracée.
Parmi les quatre courbes proposées, déterminer laquelle représente graphiquement la dérivée f ′ de la fonction f .
3
2
b
C
1
A
-1 0
-1
1
2
3
-2
4
b
5
6
7
8
9
10
b
-3
-4
1
3
2
0
-1
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
2
2
1
1
-2
0
-1
1
2
3
4
5
-3
0
-1
-2
-4
-2
-3
-3
-5
-3
-4
-4
-6
-4
-5
a. Courbe 1
b. Courbe 2
c. Courbe 3
d. Courbe 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
-2
Exercice 3
Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, une seule est correcte. Soit f la fonction définie et
dérivable sur l’intervalle [−3 ; 4] par f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 3.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur [−3 ; 4].
On donne le tableau de variation de la fonction f sur [−3 ; 4] :
x
−3
3
−1
8
4
−17
f
−24
−24
1. L’expression de f ′ (x) est :
a) f ′ (x) = x 2 − 6x − 9
b) f ′ (x) = 3x 2 − 6x − 9
c) f ′ (x) = 3x 2 − 6x − 6
2. Sur l’intervalle [−3 ; 4] la fonction f ′ est :
a) positive
b) négative
c) de signe non constant
3. Le calcul de f (−2) donne :
a) 25
b) −11
c) 1
4. L’équation f (x) = 0 admet sur l’intervalle [−3 ; 4] :
a) aucune solution
b) une unique solution
c) deux solutions
Exercice 4
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.
x +2
.
Soit f la fonction définie pour tout réel x 6= −1 par f (x) =
x +1
1. L’image de 3 par la fonction f est :
A.
14
3
B.
5
4
C. 2
2. Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.
Le point de coordonnées (−2 ; 0) est situé :
A. au-dessous de C ?
B. au-dessus de C ?
2
C. sur C ?
3. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Pour tout réel x 6= −1 :
A. f ′ (x) =
−1
(x + 1)2
B. f ′ (x) = 1
C. f ′ (x) =
1
x +1
Exercice 5
1. Résoudre dans R les équations suivantes :
(a) 2x 2 + x − 3 = 0
(c) −2x 2 − 1 = 0
2
(d) (x + 1)2 − (x − 2)2 = 0
(b) 4x + 3x = 0
2. Résoudre dans R les inéquations suivantes :
(a) (4x + 1)(−3x + 7) É 0
(b) 3x 2 + 5x Ê −2
(c) x 2 + 1 > 0
(d) x 2 − 3x + 1 < 0
Exercice 6
Cet exercice est un QCM. Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte, cochez-la.
Questions
Réponses
1. u est une suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison 5, alors u6 est égal à :
ä 30
ä 18
ä 33
2. u est une suite arithmétique de premier terme u1 = 4 et de raison 3, alors u12 est égal à :
ä 37
ä 40
43
ä
2
3. u est une suite arithmétique telle que u1 = 4 et u5 = 16 alors sa raison est égale à :
ä 2
ä 3
ä 4
4. u est une suite arithmétique de premier terme u1 = 3 et de raison 1, 5 alors u1 + u2 + ... + u12 est égal à :
ä 135
ä 133,5
ä 136,5
5. u est une suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison
3
, alors u5 est égal à :
2
ä 15,1875
ä 5,375
ä 9,5
6. u est une suite géométrique de premier terme u1 = 3 et de raison 2, alors u7 est égal à :
ä 192
ä 384
ä 15
7. u est une suite géométrique telle que u1 = 5 et u4 = 135 alors sa raison est égale à :
ä 27
ä 3
ä 5,2
8. u est une suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison 3, alors u0 + u1 + ... + u5 est égal à :
ä 2912
ä 968
ä 60
3
Exercice 7
Le tableau ci-dessous donne le nombre de voitures neuves (en milliers) vendues en France durant les six premiers mois
de l’année 2013.
Mois
Rang du mois xi
Nombre de ventes (en milliers) y i
Janvier
1
149
Février
2
144
Mars
3
150
Avril
4
140
Mai
5
139
Juin
6
135
¡
¢
1. (a) Représenter le nuage de points de la série xi ; y i dans le repère fourni en fin d’exercice.
(b) Expliquer pourquoi ce nuage de points permet d’envisager un ajustement affine.
2. Déterminer à l’aide de la calculatrice une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode
des moindres carrés. On arrondira au centième les coefficients.
3. On décide de modéliser l’évolution du nombre y de ventes de voitures neuves en fonction du rang x du mois par
l’expression y = −2, 7x + 152.
(a) Représenter graphiquement dans le repère fourni en annexe, la droite traduisant cette évolution.
(b) Quel nombre de ventes de voitures neuves pouvait-on prévoir pour le mois de décembre 2013 en utilisant ce
modèle ?
(c) À partir de quel mois pouvait-on prévoir que le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur
à 130000 véhicules ?
180
170
160
150
140
130
120
110
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
Exercice 8
Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante
L entreprise SAPIQ commercialise des pots de moutarde de 800 g. Un pot est déclaré « conforme » s’il contient entre 790 g
et 810 g de moutarde.
Partie A
L’entreprise dispose de deux machines m 1 et m 2 .
La première machine m 1 produit 60 % des pots fabriqués par l’entreprise, le reste de la fabrication étant assuré par la
machine m 2 .
7 % des pots produits par la machine m 1 sont non conformes, alors que la proportion de pots non conformes produits
par la la machine m 2 est de 2 % seulement.
On prélève un pot au hasard dans la production totale.
On adopte les notations suivantes :
• M1 désigne l’évènement « le pot provient de la machine m 1 . »
• M2 désigne l’évènement « le pot provient de la machine m 2 . »
• C désigne l’évènement : « le pot est conforme ».
Pour tout évènement E, on note p(E) sa probabilité et E l’évènement contraire de E.
1. Compléter l’arbre de probabilités fourni en fin d’exercice.
´
³
2. (a) Calculer la probabilité p M1 ∩ C ; interpréter cette probabilité.
³
´
(b) Vérifier que p M2 ∩ C = 0, 008.
³ ´
3. Justifier que p C = 0, 05.
4. On prélève au hasard un pot parmi les pots non-conformes.
Déterminer la probabilité qu’il provienne de la machine m 2 .
Partie B
Dans la production d’une journée, On prélève au hasard 50 pots pour effectuer un contrôle. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
On note Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50 pots, associe le nombre de pots conformes.
1. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire Y ?
2. Quelle est la probabilité que, dans un tel lot, au moins 90% des pots soient conformes ?
Partie C
L’ entreprise SAPIQ reçoit un agent commercial vantant les mérites d’une nouvelle machine. La masse de moutarde contenue
dans un pot produit par cette nouvelle machine est modélisée par une variable aléatoire X. On admet que X suit une loi
normale de moyenne 800 et d’écart type 6.
1. Calculer la probabilité arrondie au millième, qu’un pot produit par la nouvelle machine soit conforme.
Ca pourra utiliser le résultat suivant : p(X ∈ [800 ; 810]) = 0, 452.
2. L’agent commercial avance l’argument suivant : « X suit une loi normale de moyenne 800 et d’écart type 6. Cela signifie que tous les pots produits par notre machine contiennent entre 794 et 806 g de moutarde ; ils sont donc tous
conformes. »
L’argument de l’agent commercial est-il exact ? Justifier.
0,6
...
...
C
...
C
...
C
...
C
M1
M2
5