erreur 12031

ESTIMATION DU VOLUME À
PARTIR D’ÉQUATIONS DE
DÉFILEMENT
Mathieu Fortin, Ph.D.
Ph.D.,, AgroParisTech
AgroParisTech,, UMR – LERFoB
3/04/2012
2e réunion CAQSIS – Nogent s/ V.
Le volume des arbres
Un caractéristique essentielle liée
à la valeur économique
m3 de bois d’œuvre
m3 de pâte
Le volume des arbres
Un caractéristique essentielle liée
au contenu en carbone
m3 de bois fort tige
x
facteur d’expansion de biomasse
x
infradensité
x
teneur en carbone
=
contenu en carbone
Problématique du volume
Fastidieux à mesurer
Utilisation des tarifs de cubage à deux entrées
d130 et hauteur
10
20
DIAMETRES à 1,30 (m)
30
40
50
60
70
…
120
HAUTEURS (m)
5
47
10
62
179
15
20
84
114
233
301
643
759
1462
2382
25
384
897
1664
2658
3854
5226
13816
30
35
481
1056
1237
1895
2154
2970
3317
4256
4700
5727
6278
14952
16173
3700
5188
6879
17480
18872
40
45
Tarif bois fort tige de Bouchon (1974) pour le chêne sessile
Problématique du volume
5
Différents types de volume exigent différents tarifs
de cubage
Tarif en volume jusqu’à un
diamètre de 7 cm
Problématique du volume
6
Différents types de volume exigent différents tarifs
de cubage
Tarif en volume jusqu’à un
diamètre de 23 cm
Une solution en perspective…
Fin des années 1970, apparition des modèles de
défilement
d(x)
x2
d(x2)
x1
h
d(x1)
π
2
v( x1 , x2 ) = ∫ (d ( x) ) dx
4
x1
x2
Modèles de défilement
8
Différentes approches
Exposant variable (Kozak 1988)
Polynomiale segmentée (Max et Burkhart 1976)
Trigonométrique (Thomas et Parresol 1991)
Modèles de défilement
9
Beaucoup d’études sur les différents formes
d’équation et sur les performances à différentes
hauteurs dans l’arbre
Un peu moins d’études sur la prédiction du volume à
partir de ces équations
Encore moins d’études sur l’erreur associée à la
prédiction du volume
Gregoire et al. (2000)
Lappi (2006)
Objectif de notre étude
10
Mettre au point des estimateurs du volume et de la
variance de l’erreur lorsqu’on intègre des équations
de défilement
Tester ces estimateurs
Matériel et méthodes
11
Programme d’amélioration des connaissances en
milieu forestier du MRNFQ
1300 placettes échantillons
5 à 10 arbres études par placette
Matériel et méthodes
12
Un total de 13 602 analyses de tiges
9 espèces
Bouleau à papier
Epinette blanche
Epinette rouge
Epinette noire
Peuplier à grandes dents
Peuplier faux-tremble
Pin blanc
Sapin baumier
Thuja
Matériel et méthodes
13
Un total de 13 602 analyses de tiges
Mesure de la hauteur et du d130
Des sections à
0,15 m
0,60 m
1,00 m
1,30 m
3,00 m
5,00 m
et à tous les 2 m jusqu’à l’apex
Matériel et méthodes
14
Modèle de défilement de Schneider et al. (accepté)
 H ij − hijk  hijk 
2
2 


d ijk = (α + bi ,1 + bij ,1 ) ⋅ Dij ⋅
 H − 1.3  1.3 
 ij

d ijk2
Dij
H ij
hijk
2 − ( w ijk γ + bi , 2 + bij , 2 )
+ εijk
diamètre de la section au carré sous écorce (mm2)
d130 sur écorce (mm)
Hauteur de l’arbre (m)
Hauteur de la section (m)
Modèle non linéaire à effets mixtes, structure de
corrélation et fonction de variance (Bref! LA TOTALE)
Matériel et méthodes
15
Plus simplement…
d ijk2 = f (x ijk , β, b ij ) + εijk
Le modèle ne s’intègre pas de façon analytique
On ne connaît pas les effets aléatoires de placette et
d’arbre
On peut utiliser une série de Taylor
1
d ijk2 ≈ f (x ijk , β,0) + z ijk b ij + bTij Z′ijk b ij + εijk
2
Matériel et méthodes
16
Si on intègre numériquement, c’est comme utiliser la
formule de Smalian…
π 2
vijk = L d ijk + d ijk2 +1
8
(
Le
h2
d2
h1
h
d1
)
1 T


 f ( x ijk , β,0) + z ijk b ij + b ij Z′ijk b ij + εijk

π
2

vij ≈ ∑ ( hijk +1 − hijk )

1 T
8
k =1
′
+
f
(
x
,
β
,
0
)
+
z
b
+
b
Z
b
+
ε

ijk +1
ijk +1 ij
ij ijk +1 ij
ijk +1 
2


qij −1
qij −1


f
(
x
,
β
,
0
)
+
f
(
x
,
β
,
0
)
+
2
f
(
x
,
β
,
0
)
+


∑
ij1
ijqij
ij1
π
k =2
 ≡ µ v ,ij
E[vij ] ≈ ∆hij 
qij −1
8
 1

1
′
′
′
tr
(
Z
G
)
+
tr
(
Z
G
)
+
tr
(
Z
G
)
∑
ij1
ijqij
ijk
 2

2
k =2


Matériel et méthodes
17
Et maintenant la variance du volume…
Le
h2
d2
h1
h
d1
… je vous épargne les détails
π2
2
Var (vij − E[vij ]) ≈
∆hij sum Z ij GZTij + Wij + R *ij − c ij cTij ≡ σ v2,ij
64
(
)
Matériel et méthodes
18
Et maintenant la variance du volume…
Le
x2
d2
x1
h
d1
… je vous épargne les détails
π2
2
Var (vij − E[vij ]) ≈
∆hij sum Z ij GZTij + Wij + R *ij − c ij cTij ≡ σ v2,ij
64
(
)
Matériel et méthodes
19
Utilisation du modèle de l’épinette blanche
1971 arbres
Test des estimateurs
Comparaison volume et variance prédites avec un
estimateur Monte Carlo
Comparaison avec les valeurs observées
vij ~ N (µˆ v ,ij , σˆ v2,ij )
Postulat de normalité
Couverture des intervalles de confiance
Matériel et méthodes
20
Test d’estimateurs basés sur une série de Taylor de
premier degré
qij −1


f
(
x
,
β
,
0
)
+
f
(
x
,
β
,
0
)
+
2
f
(
x
,
β
,
0
)
+


∑
ij1
ijqij
ij1
π
k =2
 ≡ µ v ,ij
E[vij ] ≈ ∆hij 
qij −1
8
 1

1
′
′
′
tr
(
Z
G
)
+
tr
(
Z
G
)
+
tr
(
Z
G
)
∑
ij1
ijqij
ijk
 2

2
k =2


x
x
x
π2
2
Var (vij − E[vij ]) ≈
∆hij sum Z ij GZTij + Wij + R *ij − c ij cTij ≡ σ v2,ij
64
(
x
x)
Résultats - MC
21
En gris, estimateur
de premier ordre
En noir, estimateur
de deuxième ordre
Source: Fortin et al. Forest Science, accepté
Résultats – Intervalles de confiance
22
En gris, estimateur
de premier ordre
En noir, estimateur
de deuxième ordre
Source: Fortin et al. Forest Science, accepté
Perspectives de l’approche
23
On peut découper la variance
π2
2
Var (vij − E[vij ]) ≈
∆hij sum Z ij GZTij + Wij + R *ij − c ij cTij ≡ σ v2,ij
64
(
Un arbre dont le diamètre est de 25 cm
et la hauteur de 19 m
4,3 m
vij1
3,3 m
2,3 m
1,3 m
0,3 m
vij 2
h
 23.87 − 0.01 − 0.01 − 2.79 − 2.79 − 4.18 − 4.18 − 4.99
 − 0.01 0.17
0.17
0.21
0.21
0.22
0.22
0.23 

 − 0.01 0.17
0.17
0.21
0.21
0.22
0.22
0.23 


0.21 11.78 11.78 1.24
1.24
1.45 
− 2.79 0.21
− 2.79 0.21
0.21 11.78 11.78 1.24
1.24
1.45 


0.22
1.24
1.24 17.00 17.00 2.05 
 − 4.18 0.22
 − 4.18 0.22
0.22
1.24
1.24 17.00 17.00 2.05 


0.23
1.45
1.45
2.05
2.05 19.39 
− 4.99 0.23
)
Perspective de l’approche
24
On peut découper la variance
π2
2
Var (vij − E[vij ]) ≈
∆hij sum Z ij GZTij + Wij + R *ij − c ij cTij ≡ σ v2,ij
64
(
Un arbre dont le diamètre est de 25 cm
et la hauteur de 19 m
4,3 m
vij1
3,3 m
2,3 m
1,3 m
0,3 m
vij 2
h
 98.0  31.53 1.36  
 vij1 

v ij =   ~ N 2  
,



v
72
.
7
1
.
36
115
.
24
ij
2
 

 

)
Limites de l’approche
25
Temps de calcul moins long que l’approche Monte
Carlo, mais tout de même assez long
Basé sur un modèle de défilement qui fournit le
diamètre au carré et non pas simplement le
diamètre
Publication
26
Fortin, M. , R. Schneider et J.-P. Saucier. Volume and
error variance estimation using integrated stem
taper models. Forest Science. Accepté.
Remerciements
27
Direction des inventaires forestiers du MRNFQ
Direction de la recherche forestière du MRNFQ
MERCI A VOUS TOUS POUR VOTRE ATTENTION!
Perspectives de l’approche
28
On peut découper la variance
π2
2
Var (vij − E[vij ]) ≈
∆hij sum Z ij GZTij + Wij + R *ij − c ij cTij ≡ σ v2,ij
64
(
Un arbre dont le diamètre est de 25 cm
et la hauteur de 19 m
4,3 m
vij1
3,3 m
2,3 m
1,3 m
0,3 m
vij 2
h
 23.87 − 0.01 − 0.01 − 2.79 − 2.79 − 4.18 − 4.18 − 4.99
 − 0.01 0.17
0.17
0.21
0.21
0.22
0.22
0.23 

 − 0.01 0.17
0.17
0.21
0.21
0.22
0.22
0.23 


0.21 11.78 11.78 1.24
1.24
1.45 
− 2.79 0.21
− 2.79 0.21
0.21 11.78 11.78 1.24
1.24
1.45 


0.22
1.24
1.24 17.00 17.00 2.05 
 − 4.18 0.22
 − 4.18 0.22
0.22
1.24
1.24 17.00 17.00 2.05 


0.23
1.45
1.45
2.05
2.05 19.39 
− 4.99 0.23
)