Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux Plan Introduction Exemple 2

Transcription

10/03/2003
10/03/2003
[email protected]
Michel.Quintard@imft
[email protected]
http://mquintard.free.fr
http://mquintard
.free.fr
fr
http://mquintard.free.
O
O
Diffusion/Dispersion
en Milieux Poreux
O
O
M. Quintard
O
D.R. CNRS
O
O
O
1
M. Quintard
Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux
stabilité des déplacements (“fingering”)
prise en compte des hétérogénéités, méthodes de
changement d’échelle, application aux milieux
fracturés
méthodes de récupération: miscible, injection de
mousse, méthodes thermiques, injection d’acide
...
pollution des ressources en eau
sûreté nucléaire
séchage
applications industrielles
M. Quintard
10/03/2003
Plan
O
O
O
O
O
2
10/03/2003
Introduction
Introduction
Diffusion/AdvectionH en milieu fluide
Diffusion en milieu poreux
Dispersion
Exemples
O Milieux
poreux: notions, applications
O Changement d’échelle
O Grandeurs et équations
macroscopiques
β
σ - phase
β - phase
V
M. Quintard
3
M. Quintard
10/03/2003
Exemple 1: Ecoulement multiphasique
multicomposant dans un aquifère
eau
+
air
+
hydroc.
eau
+
air
β
α
σ γ
σ
10/03/2003
Exemple 2: Réservoir Pétrolier
α
σ β
Zone non saturée
zone saturée
eau
4
eau
+
hydroc.
γ
σ β
β
σ
M. Quintard
β
5
M. Quintard
6
1
10/03/2003
Exemple 3: Colonne de Réacteur Chimique
Packed Bed
Reactor
10/03/2003
Exemples 4: Filtres
Filter
Porous Medium
Macro Pores
- phase
Adsorbed Islands
Micro Pores
- phase
- phase
- phase
M. Quintard
7
Boundary
Condition
8
M. Quintard
10/03/2003
Différents Types de Milieux Poreux
10/03/2003
Changement d’Echelle
l
Fibres
- description à une
échelle supérieure?
l
UNIT CELL
Milieu non-consolidé
- physique à une échelle
donnée (ex. Échelle du
pore)
η
ω
2
1
↓
L
Grandeurs
macroscopiques?
Milieu consolidé
M. Quintard
9
M. Quintard
10/03/2003
10/03/2003
Ech. Pore
O
O
O
10
physique à l’échelle du
pore: existe-t-il une
description
macroscopique locale
description détaillée
(mesurée, estimée)
prise en compte dans une
modélisation à grande
échelle
Ech. Locale
ϑ*(〈Ψ〉)=0
ϑ(Ψ)=0
Ψ=g(x)
〈Ψ〉=g*(x)
O Objectif: obtenir les équations macroscopiques, les
propriétés effectives, et les conditions aux limites
macroscopiques
M. Quintard
11
M. Quintard
12
2
10/03/2003
Prise de Moyenne
10/03/2003
Grandeurs Moyennes
O Définitions
yβ
O Théorèmes
β-phase
O Exemple:
indicatrice de phase et
porosité
O Rappel: écoulement monophasique
nβσ
rβ
x
ψβ
M. Quintard
V
σ-phase
13
x
=
1
ψ β ( x + y )dV
V V∫β
M. Quintard
10/03/2003
O Indicatrice
macrohétér.
+
non-linéarités
〈ψβ〉β
10/03/2003
Indicatrice de phase et Fraction
volumique
Séparation des échelles
Microhétér.
O Fraction
r0
β
RS1 M ∈ V
|T0 M ∉ V
β
β
volumique
εβ = γ β
lH
ε β + εσ = 1
<< r0 << lH << R0 << L
M. Quintard
de phase
γβ =
homogène
lβ
15
M. Quintard
Si 2 phases
10/03/2003
Porosité
ε = 1− εσ
50 à 60%
O Grès: 10 & 20%
O Gravier et sable:
30 à 35%
O Fibres de verre:
>90%
16
10/03/2003
Porosité (cont.)
(cont
.)
(cont.)
O Sols:
M. Quintard
14
O Sols:
Porosité fermée
Porosité ouverte
Pore cul-de-sac
(dead-end pore)
17
50 à 60%
O Grès: 10 & 20%
O Gravier et sable: 30 à 35%
O Fibres de verre: >90%
M. Quintard
18
3
10/03/2003
10/03/2003
Rappel Ecoulement
Monophasique:
Monophasique: Loi de Darcy
Rappel Ecoulement
Monophasique:
O Echelle
O Couplage
du pore
micro-macro
1
β
p β = pβ
+ pβ
0.9
moyenne déviation
?
pβ = f
Exemple: vx et p, treillis de cylindre
(p
β
β
direct simul.
0.8
β
, ∇ pβ
,...
)
pressure
– équations de Stokes si Re<1
averaged behavior
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
pβ : lβ -périodique?
0.2
0.1
Loi macroscopique?
M. Quintard
19
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
M. Quintard
10/03/2003
20
10/03/2003
Rappel Ecoulement
Monophasique:
Rappel Ecoulement Monophasique
O Darcy
O Vitesse
(1856)
de Filtration, vitesse
insterstitielle
P2
Q/A=
1
µβ
K
P1 − P2 − ρ β gH
A
V
H
K≈
O K: perméabilité intrinsèque
P1
[K] = m2
M. Quintard
=ε
filtration
H
10
-20
10
Roches: granite
Q
Sols:
21
(V = Q / A)
U
insterstitielle
-16
dolomie
-11
10
10
-7
m
2
grès
argile sables argileux sables fins sables graviers
M. Quintard
10/03/2003
10/03/2003
Diffusion
Concentrations
O Concentrations
O Concentration
phase β
nβa
cβa = lim
Vβ →0 Vβ
X
cβ =
cβa
O Bilan
de masse
O Exemples
a
mβa
ρβa = lim
Vβ →0 Vβ
X
ρβ =
ρβa
espèce a
Va(t=0)
espèce b
a
M. Quintard
;
O Concentration
Va(t)
23
22
M. Quintard
a = 1,..., n (n constituants)
et fractions molaires
xβa =
X
cβa
cβ
xβa = 1
a
et fraction massiques
ωβa =
X
ρβa
ρβ
ωβa = 1
a
24
4
10/03/2003
10/03/2003
Concentrations (suite)
Vitesses et Flux de Diffusion
O Masse
O Vitesses
molaire
Mβ =
P
cβa Ma
a
cβ
=
X
vβ =
xβa Ma
vβ =
molaire
massique
molaire
∗
X
25
∗
jβa = cβa (vβa − vβ )
jβa = 0 ;
a
M. Quintard
xβa vβa
de diffusion de a
jβa = ρβa (vβa − vβ )
Ma
Mβ
X
a
barycentrique
O Flux
ρβa = cβa Ma ; ρβ = cβ Mβ
ωβa = xβa
∗
ωβa vβa
a
a
O Relations
moyennes
X
X
∗
jβa = 0
a
M. Quintard
10/03/2003
Loi de Fick (cas binaire, traceur)
jβa = −ρβ Dβab ∇ωβa
O Coefficient
10/03/2003
Loi de Fick (cas binaire, traceur)
∗
O Coefficient
jβa = −cβ Dβab ∇xβa
de diffusion (gaz)
Eau − benzène : 1.02 10−9 m 2 / s (T=25 °C)
Air − CO2 : 1.4 10−5 m 2 / s (T=276 K, 1 bar)
Eau − Hémoglobine : 0.069 10−9 m 2 / s (T=25 °C)
Air − benzène : 0.96 10−5 m 2 / s (T=298 K, 1 bar)
Air − toluène 0.86 10−5 m 2 / s (T=299 K, 1 bar)
Ê avec T et Ì avec µ
Ê avec T et Ì avec P
de diffusion (liquides)
Eau − Air : 2. 10−9 m 2 / s (T=25 °C)
Air − H 2O : 2.8 10−5 m 2 / s (T=289 K, 1 bar)
M. Quintard
27
M. Quintard
10/03/2003
Bilan de matière et exemples
∂c
∂ 2c
=D 2
∂t
∂x
O Forme
Pb.
Pb. du mur Stationnaire
avec c = cβ a
D
j * = ( c2 − c1 )
L
avec x ' = x / L et t ' = t /( L2 / D)
stationnaire
O Diffusion instationnaire (milieu semiinfini)
c1
O Flux:
O Diffusion
M. Quintard
28
10/03/2003
adimensionnelle
∂c ∂ 2 c
=
∂t ' ∂x '2
26
29
O Cas
c2
du tube
c1
D
q = A j = A ( c2 − c1 ) avec A = π r 2
L
*
*
M. Quintard
c2
30
5
10/03/2003
Pb.
Pb. du mur Instationnaire
c( x, t ) = erfc(
10/03/2003
Diffusion/Advection (traceur, cas
binaire)
x
)
2 Dt
O Equation
O Forme
de bilan
∂c
∂c
∂ 2c
+v = D 2
∂t
∂x
∂x
adimensionnelle (v=cte)
∂c
∂c ∂ 2c
+ Pe ' = '2
∂t '
∂x ∂x
avec x ' = x / L et t ' = t /( L2 / D )
vL
D
Pe =
M. Quintard
31
(Nombre de Péclet)
M. Quintard
10/03/2003
Milieu Infini (Dirac)
(Dirac
(Dirac))
c ( x, t ) =
M
2 π Dt
e
 x −Vt 
−

 2 Dt 
10/03/2003
Milieu Infini (Dirac)
(Dirac
(Dirac))
2
c ( x, t ) =
Pe=10
M. Quintard
M
2 π Dt
e
 x −Vt 
−

 2 Dt 
2
Pe=100
33
M. Quintard
10/03/2003
Milieu Infini (échelon)
x
erf ( x ) = 2 π ∫ e − t dt
2
0
32
c ( x, t ) =
∞
1
 x − Vt 
erfc 

2
 2 Dt 
34
10/03/2003
c ( x, t ) =
1
 x − Vt 
erfc 

2
 2 Dt 
erfc ( x ) = 2 π ∫ e − t dt = 1 − erf ( x )
2
x
2
d
erfc ( x ) = 4π e − x
dx
Pe=2
M. Quintard
35
M. Quintard
36
6
10/03/2003
1
 x − Vt 
c( x, t ) = erfc 

2
 2 Dt 
10/03/2003
Pe=10
Pe=100
M. Quintard
1
 x − Vt 
c( x, t ) = erfc 

2
 2 Dt 
37
M. Quintard
10/03/2003
10/03/2003
Diffusion en Milieu poreux
(exemple)
Milieu Semi-Infini
Semi-Infini
c( x, t ) =
38
xV
1
 x − Vt  1 D
 x + Vt 
erfc 
 + e erfc 

2
 2 Dt  2
 2 Dt 
O Cas
du tube droit
D
j = ( c2 − c1 ) dans le tube
L
D
*
q = A f ( c2 − c1 ) pour la section A
L
D
*
jeff = ε ( c2 − c1 ) avec ε = A f / A
L
*
D* = D
M. Quintard
39
A Af
L
coeff. de diffusion effectif
M. Quintard
10/03/2003
10/03/2003
Diffusion en Milieu poreux
(exemple)
Tortuosité
O Cas
O Tortuosité
du tube tortueux
D
j = * ( c2 − c1 ) dans le tube
L
D
q* = Af * ( c2 − c1 ) pour la section A
L
*
L*
O Facteur
2
 L   c −c 
*
jeff
= εD *   2 1 
L   L 
D* = D / τ
et τ =
M. Quintard
L*
τ = f ( L* / L)
A Af
40
de formation
avec ε = L* A f / LA
F=
L
Archie (1942):
coeff. de diffusion effectif
tortuosité
41
M. Quintard
L
1
τ
−
F =ε m
avec m, facteur de cémentation (m ≈ 2).
42
7
10/03/2003
Diffusion en milieux poreux
t=10s
10/03/2003
Diffusion en milieux poreux
O Concentrations
simulation directe:
exemple pour un
treillis de cylindre
O comportement
macroscopique?
O
1
c =ε c
0.9
t =10 s
Concentration
0.8
O Equation
0.7
0.6
direct simul.
0.5
averaged behavior
ε
0.3
0.2
0.1
M. Quintard
0.2
0.4
x
0.6
0.8
β
= εC
de bilan macroscopique
(ε=cte)
0.4
0
moyennes
∂C
∂ 2C
= ε Dxx*
∂t
∂x 2
Dxx* = coeff. de diffusion effectif
1
43
M. Quintard
10/03/2003
Diffusion en milieux poreux:
anisotropie
O Equation
10/03/2003
Diffusion : milieux non-consolidés
de bilan (ε=cte)
1.2
∂C
∂C
∂C
= Dxx*
+ D*yy 2
∂t
∂x 2
∂x
2
Kim et al.
Currie
Hoogschagen
SC
BCC
FCC
Maxwell
Weissberg
Wakao and Smith
Ryan (2D)
1
0.8
εD/D
2
44
0.6
0.4
D
D
D* = 
 0
*
xx
0 

D*yy 
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Porosity
M. Quintard
45
M. Quintard
10/03/2003
Dispersion
46
10/03/2003
Mécanismes
O Introduction
Taylor dispersion
O Equations
macroscopiques
O Courbes de dispersion
O Exemples
A'
B'
convection
diffusion
AB
Retardation due to dead-end pores
M. Quintard
47
M. Quintard
Mechanical dispersion
48
8
10/03/2003
Equations macroscopiques
Equation de conservation de la masse globale +
loi de Darcy + équation de dispersion:
O cas
Notations: Cβ = cβ
∂ε β
ε=cte
ε
10/03/2003
Récapitulatif (forme mathématique
3D)
∂t
∂C
∂C
∂C
+ εU
= ε Dxx*
∂t
∂x
∂x 2
Dxx* = coeff. de dispersion effectif
β
Vβ = v β = ε β U β
∂ε β Cβ
+ ∇i( Vβ ) = 0
∂t
+ ∇ i( Vβ Cβ ) = ∇ i( ε β Di∇Cβ )
2
Vβ = −
* Note: rôle de la vitesse interstitielle
i( ∇Pβ − ρ β g )
49
+ Conditions aux limites
∂Cβ
Si porosité constante
M. Quintard
K
µβ
∂t
+ ∇i( U β Cβ ) = ∇ i( Di∇Cβ )
M. Quintard
10/03/2003
Courbes de Dispersion
(Nb. de Péclet
Pe =
Vβ l
εD
)
10/03/2003
Dispersion Longitudinale
et Transversale
Pfannkuch
Ebach & White
Carberry & Bretton
Edwards & Richardson
Blackwell et al.
Rifai
106
104
Anisotropie induite par l’écoulement:
 DL
D= 0

 0
U β = U 0i
∗
Dxx
Dβ
Random cylinders
102
Exemple d’écriture:
Taylor-Aris Theory
100
In-Line cylinders
10 -2
10 0
102
10
4
106
Pep
M. Quintard
51
Uβ Uβ
Uβ
αT (m) dispersivité transversale
α L (m) dispersivité longitudinale
avec
−4
0 
0 

DT 
0
DT
0
D = D0 + α T U β I + (α L − α T )
10
50
M. Quintard
10/03/2003
Dispersion Longitudinale
et Transversale (cont.)
(cont
.)
(cont.)
52
10/03/2003
Exemples 1D
1
0.8
0.6
 x − Ut 
 x + Ut 
c 1
 x 
=  erfc 
 + exp 

 erfc 
c0 2 
 UD 
 4 Dt 
 4 Dt 
D/D
0.4
0.2
1
0
t=0
DL
t>0
 x − Ut 
c 1
= erfc 

c0 2
 4 Dt 
DT
4
2
π
u
∫e
8
10
0.4
0.2
0
−t
2
2
4
6
x
8
10
12
14
2.6
2.4
dt
2.2
2
1.8
0
erfc(u ) = 1 − erf (u )
Pe
c
=
c0
 ( x − Ut )2
1
exp  −

4 Dt
4π Dt





1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
M. Quintard
6
x
0.6
2.8
erf (u ) =
1
1
2
0.8
53
M. Quintard
4
6
x
8
10
12
54
9
10/03/2003
10/03/2003
Dispersion et Réaction Chimique:
exemple 1 (1er ordre)
O
Radioactivité, modèle simple de biodégradation, …
∂ε C ∂εUC ∂ 2ε DC
+
=
− ε kC
∂t
∂x
∂x 2
O
k=
ln(2)
T1/ 2
exemple (solution par transformée de Fourier, cas
Dirac, milieu infini)
C ( x, t ) = e − k t
 ( x − U t )2 
M
exp  −

4Dt 
4π D t

M. Quintard
55
M. Quintard
10/03/2003
Dispersion et Réaction Chimique:
exemple 2
O
O
Réactif 1, produit de la
réaction 2 (immobile)
C2 = KC1
Bilan de masse
O
10/03/2003
Dispersion et Adsorption
Adsorbed Islands
Bilan Global
- phase
∂ε (C1 + C2 ) ∂εU1C1 ∂ 2ε D1C1
+
=
∂t
∂x
∂x 2
soit
∂ε C1 ∂εU1C1 ∂ 2ε D1C1
+
=
+ r1 ∂ε (1 + K )C ∂εU C ∂ 2ε D C
2
1
1 1
1 1
∂t
∂x
∂x
+
=
∂t
∂x
∂x 2
∂ε C2
= − r1
O comportement
∂t
apparent
D1
Dapp =
(1 + K )
57
M. Quintard
σ
ro
β
O
O
Attractions électriques
Forces de van der
Waals
M. Quintard
O
O
Forces
intermoléculaires
Chemisorption
(interaction chimique)
10/03/2003
Adsorption: description des
équilibres
Fractions massiques:
Fluide
cβ
10/03/2003
O Fruendlich
(1926):
cσ = b ( ρ β cβ )
Solide
O Langmuir
cσ
linéaire: cσ = K d ρ β cβ
Kd: coefficient de partition
58
Adsorption: description des
équilibres
O isotherme
M. Quintard
56
(1916, 1918):
cσ =
m
a ρ β cβ
1 + b ρ β cβ
O ….
59
M. Quintard
60
10
10/03/2003
10/03/2003
Dispersion et Adsorption
Dispersion et Adsorption:
Equilibre Local
O Bilans
O Bilan
de masse:
∂ρ β ε β Cβ
∂t
(
)
(
de masse Global:
) + ∇. ρ C V = ∇. ρ D .∇C
( β β β) ( β β β)
∂t
O Equilibre Local: cσ = F (cβ ) ⇒ Cσ = F (Cβ )
O Cas linéaire, et facteur de retard:
(
∂ ρ β ε β Cβ + ρσ εσ Cσ
)
+ ∇. ρ β Cβ Vβ = ∇. ρ β D β .∇Cβ − K βσ
∂ρσ εσ Cσ
= − Kσβ
∂t
O Echange
de masse:
K βσ = − Kσβ
1
=−
V
Cσ = K d Cβ
 ε ρ K
∂ρ β ε β 1 + σ σ d

εβ

∂t
∫ nβσ .ρβ Dβ ∇cβ dA
Aβσ
M. Quintard
61
M. Quintard

 Cβ


+ ∇. ρ β Cβ Vβ = ∇. ρ β D β .∇Cβ
(
)
(
)
10/03/2003
Effet des hétérogénéités:
hétérogénéités:
dispersion anormale
62
10/03/2003
Effet des hétérogénéités
O Dispersion
à grande échelle?
O Mesures sur des aquifères:
D*β = f (échelle d'observation)
O cas
Perméabilité
général: pas d’équation de
dispersion à grande échelle
O exemple de cas particuliers:
modèles à double-milieux
Concentration
M. Quintard
63
M. Quintard
10/03/2003
Influence de l’échelle d’observation sur
la dispersivité apparente (Gelhar
(Gelhar and Axness,
Axness, 1983)
64
10/03/2003
Non-Equilibre Local: modèle à
deux équations
10000
Dispersivity (m)
1000
Mobile/immobile
Mobile/Mobile
100
10
1
0.1
ω
η
.01
1
M. Quintard
10
100
1000
Scale (m)
10000
Milieux fracturés
100000
65
M. Quintard
66
11
10/03/2003
10/03/2003
Exemples
Exemples
Dispersion Négligeable
t=1h
Dispersion Importante
t=2h
M. Quintard
67
M. Quintard
68
10/03/2003
10/03/2003
deux équations
deux équations
θm
Traçage miscible échantillon 3
1.100
1.000
0.900
0.800
0.700
C/C0
∂Cω
+ Vω i∇Cω = ∇i( Dω* i∇Cω ) − α ( Cω − Cη )
∂t
∂C
ϕη εη η + Vη i∇Cη = ∇i( Dη* i∇Cη ) − α ( Cη − Cω )
∂t
Modèle à deux équations
0.500
ϕω ε ω
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
9.000
10.000
-0.100
NVp
M. Quintard
Coats et Smith (1964)
Données expérimentales
0.600
-1.000
∂cm
∂c
∂ 2 cm
+ vm m = Dm
− α ( cm − cim )
∂t
∂x
∂x 2
∂c
θ im im = −α ( cim − cm )
∂t
Ahmadi et al. (1998)
69
M. Quintard
10/03/2003
70
10/03/2003
Exercices
Puits dans un aquifère
O Exemples
1D
O Ordres de grandeur (laboratoire,
aquifère)
O Introduction: effet d’une réaction
chimique
15
15
15
14
14
14
13
13
13
12
12
12
11
11
10
10
9
9
8
8
7
M. Quintard
71
10
20
M. Quintard
7
11
10
9
8
10
20
7
10
20
72
12

Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux Plan Introduction Exemple 2

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