Physique des Marchés Introduction

Transcription

Physique des Marchés
Introduction : Faits stylisés
Ioane Muni Toke
Ecole Centrale Paris
Option Mathématiques Appliquées
Majeure Mathématiques Financières
15 février 2011
Ioane Muni Toke (ECP - OMA Finance)
Physique des Marchés: Introduction
15 février 2011
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Introduction
Modélisation stochastique / probabiliste
Inadéquation avec les observations empiriques
Données empiriques, informatisation, haute-fréquence
Microstructure, “éconophysique”
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Données financières
Figure: Extraits de fichiers de données “trades” (gauche) et “quotes” (droite)
pour le titre BNP Paribas.
⇒ bid, ask, mid, last, . . . : quel prix ?
15 février 2011
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Echelle d’observation
67.2
66.02
67
66
66.8
65.98
66.6
66.4
65.96
66.2
65.94
66
65.8
65.92
65.6
65.9
65.4
65.2
30000
35000
40000
45000
50000
55000
60000
65000
65.88
36000
36010
36020
36030
36040
36050
36060
Figure: (Haut) Valeur du titre BNPP.PA pour la période 2003-2011 (Source:
finance.yahoo.com). (Bas) Prix de transactions pour le titre BNPP.PA le 27 mai
2008. Journée entière (gauche) et zoom sur une minute à 10h00 (droite).
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Plan de la séance
1
Distribution des rendements
Observations empiriques
Quelques distributions utiles
Exemples de calibration
2
Corrélation des rendements et volatilité
Marche aléatoire et théorème central limite
Subordination et changement de temps
3
Volatilité et corrélations en haute-fréquence
Volatilité et “signature plots”
Corrélation et effet Epps
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Plan de la séance
1
2
3
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Plan de la séance
1
2
3
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Rendements financiers
On note p le prix d’un actif financier.
On définit le rendement à la date t sur la période τ par:
rτ (t) =
p(t) − p(t − τ )
p(t − τ )
(1)
Incréments, rendements et log-rendements:
δτ p(t) = p(t) − p(t − τ )
p(t)
− 1 ∼ ln(p(t)) − ln(p(t − τ ))
rτ (t) =
p(t − τ )
(2)
(3)
Approximation: ln 1.01 ≈ 9.95 × 10−3 , ln 1.10 ≈ 9.53 × 10−2
√
Cadre de Black & Scholes: r
N (µτ, σ τ )
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Distributions empiriques des rendements (I)
Figure: Distribution des log-rendements normalisés pour une période
d’échantillonnage τ = 5 minutes pour le titre BNP Paribas pour la période
01/01/2007 - 30/05/2008.
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Distributions empiriques des rendements (II)
Figure: Distribution des log-rendements journaliers normalisés de l’indice SP500
pour la période 1950-2009. Source des données: finance.yahoo.com
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Plan de la séance
1
2
3
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Lois normale et log-normale (I)
Loi normale N (µ, σ)
1
(x − µ)2
fN (x) = √ exp −
2σ 2
σ 2π
(4)
2
Décroissance en e −x très rapide:
P(|X | > 3σ) < 0.2%,
(5)
−23
P(|X | > 10σ) < 2.10
(6)
Loi log-normale ln N : ln X
N (µ, σ)
1
(ln x − µ)2
√ exp −
fln N (x) =
2σ 2
xσ 2π
(7)
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Lois normale et log-normale (II)
Figure: Comparaison des lois normale et log-normale de (log-)moyenne 100 et
(log-)écart-type 15 en échelle linéaire (gauche) et linéaire-log (droite).
⇒ Bachelier vs. Black & Scholes . . .
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Lois α-stables (I)
Lois de Lévy / α-stable L(α) (queues de Pareto)
fL(α) (x) ∼x→∞
Symétrie : β =
α
Aα
+ −A−
α
+A
Aα
+
−
αAα±
|x|1+α
(8)
∈ [−1, 1]
Fonction caractéristique d’une loi stable symétrique centrée :
ΦL (t) = exp (−Cα |t|α ) ,
C α ∝ Aα constante
(9)
Si α < 2, Var[X ] = +∞
Si α ≤ 1, même la moyenne n’est pas définie
Cas particulier α = 1: Cauchy fL(1) (x) =
A
x 2 +π 2 A2
Cas particulier α = 2: Gaussienne fL(2) (x) = fN (0,σ) (x)
15 février 2011
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Lois α-stables (II)
Figure: Densités de probabilités des lois stables pour α = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, en
échelle linéaire (gauche) et linéaire-log (droite).
15 février 2011
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Loi de Student (I)
Densité de probabilité de S(ν)
1 Γ 1+ν
2
fS (x) = √
νπ Γ ν2
x2
1+
ν
− 1+ν
2
(10)
Queues de distribution en loi puissance
Convergence en loi vers la loi normale pour ν → +∞
Si ν ≤ 2, la variance n’est pas définie
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Loi de Student (II)
Figure: Densité de probabilités de la loi de Student pour ν = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 10
et +∞, en échelle linéaire (gauche) et linéaire-log (droite).
15 février 2011
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Autres distributions utiles
Loi gamma inverse i Γ
x0α
exp
fi Γ (x) =
Γ(α)x 1+α
−x0
x
(11)
Variable positive, queues de distribution en loi puissance
Loi hyperbolique H
q
1
2
exp −α x0 + x 2
fH (x) =
2x0 B(αx0 )
(12)
Queues de distribution exponentielles
et beaucoup de lois composées: Student hyperbolique, Lévy
tronquées,. . .
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Plan de la séance
1
2
3
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Calibration de quelques distributions (I)
01/01/2007 - 30/05/2008.
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Calibration de quelques distributions (II)
01/01/2007 - 30/05/2008.
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Empirical cumulative distribution
Influence de la fréquence d’échantillonnage
100
τ = 1 day
τ = 1 week
τ = 1 month
Gaussian
10-1
10-2
10-3
0
1
2
3
4
5
6
Normalized return
Figure: Distribution des log-rendements normalisés de l’indice SP500 pour la
période 1950-2009, pour différentes périodes d’échantillonnage.
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Plan de la séance
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2
3
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Plan de la séance
1
2
3
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Absence de corrélation des rendements
BNPP.PA 1-minute return
Autocorrelation
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Lag
Figure: Autocorrélation des log-rendements pour le titre BNP Paribas pour la
période 01/01/2007 - 30/05/2008.
15 février 2011
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“Clustering” de volatilité
1
Autocorrelation
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Lag
Figure: Autocorrélation des valeurs absolues des log-rendements pour le titre
BNP Paribas pour la période 01/01/2007 - 30/05/2008.
15 février 2011
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Mandelbrot (1963)
Référence
The Variation of Certain Speculative Prices, Benoit Mandelbrot, The
Journal of Business, Vol. 36, No. 4 (Oct., 1963), pp. 394-419
“the empiricald distributions of price changes are usually too
”peaked” to be relative to samples from Gaussian populations”
“large changes tend to be followed by large changes – of either sign –
and small changes tend to be followed by small changes”
15 février 2011
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Effet “leverage” de volatilité
Première observation par Black (1976) (Studies of stock price volatility
changes, Proceedings of the 1976 Meetings of the American Statistical
Association, pp. 177-181. Non consulté).
Figure: Corrélation des rendements et des valeurs absolues des log-rendements
pour les futures S&P500 pour la période 1998-1999. Tiré de (Bollerslev et al.,
2006).
15 février 2011
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Plan de la séance
1
2
3
15 février 2011
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Marche aléatoire et TCL
Marche aléatoire pour le log-prix :
pt = pt−1 + ǫt
(13)
avec E[ǫt ] = 0 et E[ǫt ǫs ] = 0 si t 6= s
Version classique
Soit (Yi )i ∈N une suite de variable aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées,
P de moyenne E[Yi ] = 0 et de variance
E[Yi2 ] = 1. Soit Sn = ni=1 Yi .
√
Alors la distribution de Sn / n converge en loi vers la loi normale centrée
réduite N (0, 1) quand n → +∞.
⇒ contradiction avec les résultats empiriques: quelle hypothèse doit-on
abandonner ?
15 février 2011
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Théorème Central Limite généralisé (Gnedenko et
Kolmogorov, 1968)
Une version simplifiée d’un TCL généralisé
Soit (Yi )i ∈N une suite de variable aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées selon une loi dontPla densité décroı̂t en loi
puissance |x|−(1+α) , 0 < α < 2. Soit Sn = ni=1 Yi .
Alors il existe des constantes An > 0 et Bn telles que la distribution de
Sn /An − Bn converge en loi vers la loi stable L(α) quand n → +∞.
Notion de domaine d’attraction
Exemple de la loi de Student
Notion de “scaling”
Mandelbrot (1963) et le prix du coton
15 février 2011
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Plan de la séance
1
2
3
15 février 2011
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Idée: variance et nombre de transactions
Number of trades
100
Average variance
Average number of trades
10-1
10-2
10-3
10-4
10
100
1000
10000
Time period τ
Figure: Variance des rendements et nombre de trades (divisé par 104 ) en fonction
de la période d’échantillonnage (en secondes) pour le titre BNPP.PA sur la
période 01/01/2007 - 28/05/2008.
15 février 2011
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Subordination
Définition
Soit (X (t))t≥0 un processus stochastique à valeur dans R. Soit (T (t))t≥0
un processus stochastique croissant à valeur dans R+ . Alors X (T (t)) est
appelé processus subordonné de X et T (t) est appelé processus directeur.
Théorème (Clark, 1973)
Si X est à accroissements indépendants et stationnaires centrés de
variance σ 2 et si T à accroissements indépendants et stationnaires positifs
de moyenne µ, indépendants de X ,
Alors le processus subordonné X (T (t)) est centré de variance µσ 2 .
15 février 2011
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Subordination par le nombre de transactions
Référence
Stochastic volatility of financial markets as the fluctuating rate of
trading: An empirical study, A. Christian Silva, Victor M. Yakovenko,
Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Volume 382, Issue
1, 1 August 2007, Pages 278-285.
Processus directeur t.q. ξN = VarN [r ]
Subordination gaussienne:
(x − µ)2
1
fN (x) = √ √ exp −
2ξN
ξN 2π
(14)
Distribution des rendements pour une période τ par subordination:
Z ∞
(x − µ)2
1
√
exp
−
fτ (x) =
Kτ (N)dN
(15)
√
2ξN
ξN 2π
0
avec Kτ (N) distribution du nombre de transactions sur une période τ
15 février 2011
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Distribution des rendements en temps de transaction
INTC, 1999
INTC, 1999
1
CN(x/σN) and 1−CN(x/σN)
0.9
0.8
−1
10
−2
10
−3
10
−4
−3
−2
N
2600
3500
4500
5500
8100
N/η
0:41 h
0:55 h
1:11 h
1:27 h
2:07 h
9500
2:48 h
−1
0
x/σN
N/η
0:41 h
3500
4500
0:55 h
1:11 h
0.6
0.5
N
N
C (x/σ )
0.7
N
2600
0.4
N
N/η
5500
8100
9500
1:27 h
2:07 h
2:29 h
0.3
0.2
0.1
1
2
3
4
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
CDF[Normal(0,1)]
Figure: Fonction de répartition des log-rendements normalisés après N
transactions (gauche) et graphe paramétrique des quantiles empiriques et
gaussiens (droite), pour le titre INTC (Intel) pour l’année 1999. Tiré de (Silva &
Yakovenko, 2007).
15 février 2011
36 / 55
Distribution du nombre de transaction par intervalle de
temps
INTC, 1999
1
10
0
10
1 day = 6:30 h
−1
∆t
C (N)
10
3:15 h
−2
10
−3
10
0:30 h
1:05 h
2:10 h
−4
10
0
1
2
3
N
4
5
6
4
x 10
Figure: Fonction de répartition du nombre de transactions Nτ par période τ pour
le titre INTC (Intel) pour l’année 1999. Tiré de (Silva & Yakovenko, 2007).
15 février 2011
37 / 55
Distribution des rendements par subordination
Distribution des rendements pour une période τ par subordination:
Z ∞
(x − µ)2
1
Kτ (N)dN
(16)
fτ (x) =
√ √ exp −
2ξN
ξN 2π
0
Distribution exponentielle du nombre de transaction par intervalle de
temps
e −N/ητ
, avec η t.q. E[Nτ ] = ητ
(17)
Kτ (N) =
ητ
Distribution des rendements par subordination
√
e −|x| 2/ξητ
fτ (x) ≈ √
2ξητ
(18)
Décroissance exponentielle
Lien avec la volatilité stochastique
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38 / 55
Plan de la séance
1
2
3
15 février 2011
39 / 55
Plan de la séance
1
2
3
15 février 2011
40 / 55
Volatilité réalisée
p : prix logarithmique
rτ (j) = p(jτ ) − p((j − 1)τ ) incréments des log-prix
Cadre Black & Scholes / semi-martingales d’Itô :
Z
T
0
T /τ
T /τ
σu2 du = hpiT = lim
τ →0
X
j=1
(p(jτ ) − p((j − 1)τ ))2 = lim
τ →0
X
rτ (j)2
j=1
(19)
Estimateur “naturel” de la variance intégrée avec données
intra-journalières
T /τ
X
rτ (j)2
V̂R (τ ) =
(20)
j=1
⇒ variance réalisée: V̂R (τ ) → hpiT en probabilité quand τ → 0
15 février 2011
41 / 55
Signature plot (I)
Figure: Volatilité réalisée en fonction de la période d’échantillonnage (en minutes)
calculée à partir des prix mid du titre IBM sur le NYSE (trait plein) et
NYSE+Midwest (pointillés) pour février 2002. Tiré de (Bandi & Russell, 2007).
15 février 2011
42 / 55
Signature plot (II)
Figure: Volatilité réalisée en fonction de la période d’échantillonnage (en minutes)
calculée à partir des prix mid des titres Cisco (trait discontinu) et Microsoft (trait
plein) pour février 2002. Tiré de (Bandi & Russell, 2007).
15 février 2011
43 / 55
Observations et microstructure
Un modèle d’observation du prix logarithmique p ∗ semi-martingale, η
bruit : p = p ∗ + η d’où :
rτ (j) = p ∗ (jτ ) − p ∗ ((j − 1)τ ) +η(jτ ) − η((j − 1)τ )
rτ∗ (j)
=
+ǫτ (j)
(21)
(22)
Volatilité réalisée :
T /τ
V̂R =
X
T /τ
2
rτ (j) =
j=1
X
j=1
T /τ
rτ∗ (j)2
+
X
T /τ
2
ǫτ (j) + 2
j=1
X
rτ∗ (j)ǫτ (j)
(23)
j=1
⇒ divergence de l’estimateur quand τ → 0.
Empiriquement: bruit, “bid-ask bounce” et autres effets de
microstructure
15 février 2011
44 / 55
Plan de la séance
1
2
3
15 février 2011
45 / 55
Covariance (I)
Deux processus de prix d’actifs p 1 et p 2
Cadre Black & Scholes / semi-martingales d’Itô :
hp 1 , p 2 iT
=
Z
T
0
ρu σu1 σu2 du
(24)
T /τ
1
2
hp , p iT
=
lim
τ →0
X
(p 1 (jτ ) − p 1 ((j − 1)τ ))(p 2 (jτ ) − p 2 ((j − 1)τ ))
j=1
15 février 2011
46 / 55
Covariance (II)
Estimateur de covariance réalisée :
T /τ
Ĉτ
X
=
j=1
(p 1 (jτ ) − p 1 ((j − 1)τ ))(p 2 (jτ ) − p 2 ((j − 1)τ )) (25)
T /τ
X
=
rτ1 (j)rτ2 (j)
(26)
j=1
Consistance :
Ĉτ → hp 1 , p 2 iT en probabilité quand τ → 0.
(27)
Synchronisation nécessaire. . . et pourtant, transactions/cotations
asynchrones !
15 février 2011
47 / 55
Effet Epps (I)
Epps (1979): “Correlations among price changes [. . . ] are found to
decrease with the length of the interval for which the price changes are
measured.”
Figure: Corrélations des log-rendements pour quatre actifs (AMC, Chrysler, Ford,
GM) pour 125 jours ouvrés au premier semestre 1971. Tiré de (Epps, 1979).
15 février 2011
48 / 55
Effet Epps (II)
0.35
0.3
0.25
ρ∆ t
0.2
0.15
1993
0.1
1997
2000
0.05
2003
0
0
1000
2000 3000
4000 5000
∆ t [sec]
6000 7000
8000
9000
Figure: Corrélations des log-rendements pour de Coca-Cola et Pepsi en fonction
de la période d’échantillonnage pour les années 1993, 1997, 2000 et 2003. Tiré de
(Toth & Kertesz, 2007).
15 février 2011
49 / 55
Effet Epps (III)
Plusieurs explications proposées :
effet “lead-lag” pour les titres d’un même secteur
asynchronicité des transactions
effect de “tick” et autres effets de microstructure
15 février 2011
50 / 55
Estimateur de Hayashi et Yoshida (I)
Référence
On covariance estimation of non-synchronously observed diffusion
processes, Takaki Hayashi, Nakahiro Yoshida, Bernoulli, Volume 11,
Number 2 (2005), 359-379.
Soient ti1 la i -ème observation du prix p 1 et tj2 la j-ème observation
du prix p 2 .
On note I i =]ti1−1 , ti1 ] l’intervalle entre les observations i − 1 et i du
2 , t 2 ] l’intervalle entre les observations j − 1 et j
prix p 1 , et J j =]tj−1
j
du prix p 2 .
15 février 2011
51 / 55
Estimateur de Hayashi et Yoshida (II)
Les variations de prix s’écrivent:
2
∆p 1 (I i ) = p(ti1 ) − p(ti1−1 ), ∆p 2 (J j ) = p(tj2 ) − p(tj−1
),
On construit l’estimateur de covariance :
X
Ĉ HY =
∆p 1 (I i )∆p 2 (J j )1I i ∩J j 6=∅
(28)
(29)
i ,j
Consistance: si p semi-martingale, Ĉ HY →
RT
0
ρu σu1 σu2 duhp 1 , p 2 iT
Recherche active en cours (Griffin & Oomen, 2011)
15 février 2011
52 / 55
Estimateur de Hayashi et Yoshida (III)
Figure: RMSE d’estimateurs de covariance réalisée (RC = Ĉ τ et HY = Ĉ HY )
pour des données simulées et échantillonnées par un processus de Poisson. Tiré
de (Griffin & Oomen, 2011).
15 février 2011
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En résumé
Quelques notions-clés:
Données, prix, fréquence, échelle d’observation
Faits stylisés: rendements non corrélés, queues de distribution épaisses
Faits stylisés:“clustering” de volatilité, “leverage”
Subordination, temps de transactions, temps évènementiel
Corrélation, données asynchrones et effet Epps
Effets/bruit de microstructure et haute fréquence
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Références
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Physique des Marchés Introduction

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