Correction des systèmes linéaires continus asservis (2)

UV Automatique
Cours 7
Correction des systèmes linéaires
continus asservis (2)
ASI 3
Automatique
1
Contenu
q Exemples de synthèse de correcteurs dans le domaine
fréquentiel
u Correcteur PI et retard de phase
u Correcteur à avance de phase
u Correcteur PID
q Méthodes empiriques de réglage des correcteurs
u Méthode de Ziegler-Nichols
u Méthode de Broïda
q Techniques de correction parallèle et par anticipation
Automatique
2
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Système asservi
yc
+-
ε
C(s)
H(s)
y
H (s) =
K
(1 + Ts )2
T =1
C ( s) = ?
q Cahier de charges
§ Erreur statique nulle
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
q Eléments de réglage
Système non corrigé est de classe 0 ⇒ introduction d'un
intégrateur en BO ⇒ utilisation d'un correcteur PI
Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4
Automatique
3
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponses fréquentielles
50
A m plitude (dB)
Réglage de PI
0
H BONC
-50
PI
-100
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
Phase (°)
-60
mϕ=60°
PI
-180
10
1 ωc 0
≤
Ti 10
HBONC
-120
-2
Automatique
10
Le correcteur PI
est placé de façon
à ne pas modifier
sensiblement
le
réglage de la
marge de phase
-1
10
0
10
1
10
2
4
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse fréquentielle du système corrigé
50
Amplitude (dB)
§Le diagramme de gain
0
de HBOC a une pente de
–1 aux basses
fréquence ⇒ annulation
erreur statique
HBONC
-50
HBOC
-100
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
Phase (°)
-50
-100
HBONC
-150
HBOC
-200
-2
10
Automatique
10
-1
§ Le correcteur PI a
modifié légèrement
le réglage de la
marge de phase
10
0
10
1
10
2
5
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse temporelle du système asservi
1.2
1
εp
0.8
0.6
S a n s c o rre c t e u r P I
0.4
A v e c c o rre c teur PI
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
§ Le correcteur PI a annulé l'erreur statique
§ La réponse est lente pour atteindre la valeur de consigne.
Pour y remédier, on baisse Ti mais cela modifiera le réglage
de la marge de phase
Automatique
6
Exemple : correcteur à retard de phase
Reprenons l'exemple précédent
q Cahier des charges
§ Erreur statique de 5%
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
q Réglage du correcteur à retard de phase
§ Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4
1
= 20%
§ Erreur statique pour K=4 : ε p =
1+ K
§ FT du correcteur : C ( s ) = b 1 + Tc s
1 + bT cs
1 + Tc s
⇒ H BOC = Kb
(1 + bTc s )(1 + Ts ) 2
1
⇒εp =
= 5% ⇒ b = 4.75
1 + Kb
Automatique
7
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponses fréquentielles
Amplitude (dB)
20
0
Réglage du RP
-20
H BONC
-40
RP
-60
-80 -2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
1 ωc 0
≤
Tc 10
Phase (°)
-60
H BONC
-120
Le correcteur à RP
est placé de façon
à ne pas modifier
le réglage de la
marge de phase
m ϕ =60°
RP
-180
10
-2
Automatique
10
-1
10
0
10
1
10
2
8
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse fréquentielle du système corrigé
40
Amplitude (dB)
20
§Le diagramme de gain
0
-20
H BONC
-40
-60
-80 -2
10
H BOC
10
-1
10
0
10
1
10
2
de HBOC a subi, aux
basses fréquences, une
translation de 20log10b
par rapport à celui de
HBONC
0
Phase (°)
-50
-100
H BONC
-150
H BOC
-200 -2
10
10
Automatique
-1
§ Légère modification
de la marge de phase
10
0
10
1
10
2
9
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse temporelle du système asservi
1.2
εpc
1
εp
0.8
0.6
Sans correcteur PI
0.4
Avec correcteur PI
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
§ Le correcteur à RP a diminué l'erreur statique
§La réponse est un peu lente pour atteindre la
Automatique
valeur de consigne
10
Correcteur à avance de phase
H BONC ( s ) =
100
K
s (1 + τs )
C (s) = K c
1 + aTs
1 + Ts
100
Amplitude (dB)
50
0
50
C
50
HBONC
10
-1
10
ωc 0
0
HBOC
10
2
-50
10
3
Phase (°)
-100 -2
10
-1
10
ϕc,max
0
10
1
10
2
10
3
10
Phase (°)
-80
0
-100
-50
-120
-100
-140
mϕ
-150
-200 -2
10
Amplitude (dB)
0
-50
-100 -2
10
H BOC ( s ) = H BONC ( s )C ( s )
-160
-1
10
Automatique
0
10
ωc0
2
10
3
10
-180 -2
10
mϕ
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
11
Exemple : correcteur PID
q Système asservi
yc
+-
ε
C(s)
H(s)
y
H ( s) =
K
s 2 + 2ξωn s + ωn2
ξ = 0.2, ωn = 3rad/s, K = 300
q Cahier de charges
§ Erreur statique nulle
§ Dépassement de 10%
§ Temps de montée de 0.277s
q Analyse du système à asservir
ξ = 0.2 ⇒ D% = 53%
Le système à asservir a un comportement très oscillatoire
Automatique
12
Exemple : correcteur PID
q Réponse fréquentielle du système à asservir
Bode Diagrams
50
Gm = Inf, Pm=2.303° (at 17.4 rad/sec)
Magnitude (dB)
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
-20
Phase (deg);
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-200
-1
10
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Marge de gain satisfaisante mais marge de phase très petite
Automatique
13
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
§ Compte tenu du cahier des charges (erreur statique nulle,
dépassement de 10%) et des caractéristiques du système
(D=53%), on utilise un PID
§ FT du correcteur
' s )(1 + T ' s )
T
(
1
+


1
i
d
C ( s ) = K c 1 +
+ Td s  ⇒ C ( s ) = K c'
Ti' s
 Ti s

§ Traduction du cahier de charges
DBF % = 10% ⇒ ξ BF = 0.6
ξ BF = 0.6 ⇒ ωn, BF t m = 2.77 ⇒ ωn, BF = 10rad/s
Formules d'approximation
mϕ = 100ξ BF ⇒ mϕ = 60°
Automatique
ωc 0 = ω n, BF = 10rad/s
14
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
§ FT du système corrigé en BO
' s )(1 + T ' s )
+
(
1
T
K
i
d
H BOC ( s ) = C ( s ) H ( s ) = K c' 2
s + 2ξωn s + ωn2
Ti' s
§ Paramètres du correcteur
1 ωc 0
' = 1s
≤
⇒
T
i
Ti' 10
mϕ = π −
π
π
+ arctan(ωc 0Ti' ) + arctan(ωc 0Td' ) + ϕ BONC (ωc 0 ) =
2
3
Td' = 0.19s
C ( jωc 0 ) H ( jωc 0 ) = 1 ⇒ K c' = 0.2
Automatique
15
Exemple : correcteur PID
q Réponses fréquentielle et temporelle du système corrigé
Bode Diagrams
Gm = Inf, Pm=60.085° (at 10 rad/sec)
1.4
Magnitude (dB)
80
60
1.2
40
20
1
0
-20
0.8
-40
Phase (deg);
-50
0.6
-100
0.4
-150
0.2
-200
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
0
1
2
3
4
5
Frequency (rad/sec)
Automatique
16
Méthode de Ziegler-Nichols
q Principe
Détermination du réglage d'une correction P, PI, PID associée
à un système sans connaissance précise de la FT du système
q Approche 1 : système stable en boucle ouverte
Si le système admet une réponse indicielle apériodique, on
caractérise le système par un modèle simplifié identifié ci-dessous
E0
Tangente au
point d’inflexion
M
α
Tr
Automatique
L
Intégrateur avec retard
a
H ( s ) = e −Tr s
s
a = tan(α )
Tr et a s'obtiennent à partir
du tracé de la tangente au
point d'inflexion M
17
Méthode de Ziegler-Nichols
q Approche 2 : système instable en boucle ouverte
On étudie le comportement du système en boucle fermé avec un
correcteur proportionnel de gain k.
On augmente le gain k jusqu'à l'obtention d'oscillations entretenues :
c'est le phénomène de pompage
Phénomène de pompage
Schéma d'asservissement
E
+-
ε
k
Processus
y
Le phénomène de pompage est
caractérisé par le gain limite kosc et
la période des oscillations Tosc.
Automatique
Tosc
18
Méthode de Ziegler-Nichols
q Réglage des paramètres des correcteurs
A partir des paramètres identifiés précédemment, Ziegler et Nichols
ont proposé des réglages qui assurent un dépassement de 30 à 50%
de la réponse indicielle du système en BF
Correcteurs C(s)
Kc
P
PI
1 + Ti s
Kc
Ti s
Essai indiciel en BO
(a, Tr)
Kc =
0 .9
Kc =
aTr
1 .2
K
=

 c
1
aTr

K
1
+
+
T
s
PID c 
d 

 Ti s

Ti = 2Tr
Automatique
1
aTr
Ti = 3.3Tr
Essai de pompage (kosc,
Tosc)
K c = 0.5k osc
K c = 0.45k osc
Ti = 0.83Tosc
K c = 0.6k osc
Ti = 0.5Tosc
Td = 0.5Tr
Td = 0.125Tosc
19
Autres méthodes de réglage simplifié
a
q Réglage type d'un système intégrateur avec retard H ( s ) = e −Tr s
s
Correcteur
P
PI
PID série
PID mixte
Paramètres
0.8
aTr
Kc
Ti
Td
§ PID série
(1 + Ti s )(1 + Td s )
Kc
Automatique
Ti s
0.8
aTr
0.85
aTr
0 .9
aTr
5Tr
4.8Tr
5.2Tr
0.4Tr
0.4Tr
§ PID mixte


1
K c 1 +
+ Td s 
 Ti s

20
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système
1er
−Tr s
ae
ordre avec retard H ( s ) =
1 + τs
Si le système admet une réponse indicielle apériodique en BO, on
identifie un modèle du système sous la forme d'un 1er ordre avec retard
Méthode de Broïda
ae −Tr s
H (s) =
1 + τs
Paramètres du modèle
a=
E∞
y∞
E∞
τ = 5.5(t 2 − t1 )
y∞
Tr = 2.8t1 − 1.8t 2
0.4y∞
0.28y∞
Automatique
t1 t2
21
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système
1er
ae −Tr s
ordre avec retard H ( s ) =
1 + τs
Correcteur
P
PI
PID série
PID mixte
Paramètres
0.8τ
aTr
Kc
τ
Ti
Td
§ PID série
(1 + Ti s )(1 + Td s )
Kc
Automatique
0.8τ
aTr
Ti s
0.85τ
aTr

1 τ
 + 0.4 
1.2a  Tr

τ
τ + 0.4Tr
0.4Tr
τTr
Tr + 2.5τ
§ PID mixte


1
K c 1 +
+ Td s 
 Ti s

22
Correction série : imbrication des correcteurs
Correcteur
primaire
yc
+-
ε
C1(s)
Correcteur
secondaire
u
+-
Boucle
secondaire
C2(s)
d
d
H1(s)
H2(s)
ys
G1(s)
G2(s)
Boucle primaire
q Intérêts et réglage
§ Boucles internes rapides réalisant des régulations partielles
§ Variables internes du processus bien asservies
§ Elimination rapide des perturbations internes
§ Réglage de la boucle interne en premier (rapidité, bande passante)
§ Réglage de la boucle externe ensuite
Automatique
23
Imbrication des correcteurs : exemples
q Régulation de vitesse d'un moteur à courant continu
ωc
+-
ε
Régulateur u
de vitesse
+-
Régulateur I MCC ω
de courant
Saturation
Dynamo
tachymétrique
q Régulation de position (table traçante, enregistreur, …)
θc +-
Régulateur
de position
+-
ε Régulateur u
+-
de vitesse
Régulateur
de courant
I MCC ω
k/s
θ
Saturation
Dynamo
tachymétriqu
e
Automatique
Potentiomètre
24
Correction parallèle
q Schéma de l'asservissement
d
yc
+-
ε
H1(s)
+-
H2(s)
H3(s)
++
ys
C(s)
G(s)
Boucle interne
H 2 (s)
1 + C (s) H 2 (s)
Boucle ouverte corrigée
H 2 (s)
H BOC ( s ) = H1 ( s )
H 3 ( s )G ( s )
1 + C (s) H 2 (s)
Intérêt
§ rendre la boucle interne plus rapide et donc le
système corrigé plus rapide
Automatique
25
Correction parallèle : exemple
q Correction par retour tachymétrique
Asservissement de position par un moteur à courant continu
Moteur
yc
+-
ε
Kc
+-
Km
1 + Tm s
ω
µ
s
θ
y
λ
Génératrice tachymétrique
Principe : réinjecter à l'entrée du moteur une tension fournie par la
génératrice et fonction de la vitesse de rotation
K m'
Tm
Km
' =
'
avec
T
Boucle interne :
et K m =
m
1 + Tm' s
1 + λK m
1 + λK m
En jouant sur λ, on augmente la rapidité de la boucle interne
K m'
Boucle ouverte corrigée : H BOC ( s ) = K c
µ
'
s (1 + Tm s )
Automatique
26
Correction parallèle : exemple
q Application numérique
Le système sans correction tachymétrique (λ=0) a une marge de
phase mϕ = 45°
ω c0
50
A m p litu d e (dB )
Pour λ>0 le système
corrigé présente une
marge de supérieure
à 45°.
ω c0
0
-5 0
-1 0 0 -2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
P h a s e (°)
-9 0
La bande passante
est alors élargie ⇒
système plus rapide
en BF
λ=0
-1 3 5
m ϕ= 4 5 °
λ=1
λ=5
-1 8 0 -2
10
Automatique
10
-1
10
0
10
1
Si on veut conserver
la valeur de 45°, on
joue sur Kc.
10
2
27
Correction par anticipation
q Schéma de l'asservissement
Wd (s)
Wc(s)
yc
+-
ε
H1(s)
d
F(s)
−
+
−
u
H(s)
Ha(s)
y
++
ys
G(s)
q Expression de la sortie du système asservi
H1 ( s ) H 2 ( s ) − Wc ( s ) H 2 ( s )
F ( s ) − Wd ( s ) H 2 ( s )
Ys ( s ) =
Yc ( s ) +
D( s)
1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s )
1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s )
avec
Automatique
H 2 ( s) = H a ( s) H ( s)
28
Correction par anticipation
q Compensation de la perturbation
H1 ( s ) H 2 ( s ) − Wc ( s ) H 2 ( s )
F ( s ) − Wd ( s ) H 2 ( s )
Ys ( s ) =
Yc ( s ) +
D( s)
1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s )
1 + H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s )
Si la perturbation est mesurable, elle est totalement éliminée
en choisissant le correcteur Wd tel que
F ( s ) − Wd ( s ) H 2 ( s ) = 0 ⇒
Wd ( s ) =
F (s)
H 2 (s)
q Anticipation de la consigne
Le but de l'asservissement est que la sortie ys(t) suive la
consigne yc(t) c'est-à-dire ys(t) = ys(t) ∀ t . Si d(t)=0 on a :
 H1 ( s ) H 2 ( s )G ( s ) = 0
Ys ( s ) = Yc ( s ) ⇒ 
 H1 ( s ) H 2 ( s ) − Wc ( s ) H 2 ( s ) = 1
Wc ( s ) = −
Automatique
1
H 2 ( s )G ( s )
29
Correction par anticipation
q Remarques
u Les correcteurs Wd et Wc ne sont pas en général réalisables
physiquement (contrainte de causalité non satisfaite). On
réalise alors une approximation en ajoutant des pôles
u Une correction par anticipation réalisable physiquement
n'affecte pas la stabilité du système
u Le modèle du système doit être précis pour une bonne
correction par anticipation
u En général, la perturbation n'est pas mesurable d'où la
difficulté de la compenser
Automatique
30